1、方案设计型应用方程（组）不等式（组）解决方案设计型例 1 （2009益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用 18 元钱买了1 支钢笔和 3 本笔记本；小亮用 31 元买了同样的钢笔 2 支和笔记本 5 本(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运会后，班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48 件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出解析：此类试题一般涉及二元一次方程组、不等式组在实际问题中的应用 ，以两人的用的总钱数为等量关系，可以列出方程组第二问注意“不少”的含义可以根据总钱数和
2、钢笔与笔记本的数量关系列出不等式组解：（1)设每支钢笔 x 元，每本笔记本 y 元，依题意得： 解得：31528yx53yx所以，每支钢笔 3 元，每本笔记本 5 元(2)设买 a 支钢笔，则买笔记本(48 a)本依题意得： ，解得： ，所以，一共有种方案4820)(524即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24点评：解决问题的基本思想是从实际问题中构建数学模型，寻找题目中的等量关系， （或不等关系）列出相应的方程（或不等式组） 同步检测:1 (2009安顺)在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明
3、与他爸爸的对话（如图） ，试根据图中的信息，解答下列问题：（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由 2.（2009益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用 18 元钱买了 1 支钢笔和 3 本笔记本；小亮用 31 元买了同样的钢笔 2 支和笔记本 5 本(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运会后，班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48 件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出练习参考答案：1. 解：（1）设成人人数为 x
4、 人，则学生人数为(12-x)人 则35x + 235（12 x）= 350 解得： x = 8 故：学生人数为 12 8 = 4 人, 成人人数为 8 人（2）如果买团体票，按 16 人计算，共需费用：350616 = 336 元336350 所以，购团体票更省钱所以，有成人 8 人，学生 4 人；购团体票更省钱2. 解：（1)设每支钢笔 x 元，每本笔记本 y 元，依题意得： 解得：31528yx53yx所以，每支钢笔 3 元，每本笔记本 5 元(2)设买 a 支钢笔，则买笔记本(48 a)本依题意得： ，解得： ，所以，一共有种方案4820)(524即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，
5、28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24 二、应用函数设计方案问题：例 2 （2009安徽） （1）请说明图中、两段函数图象的实际意义（2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大解析：此类试题结合函数图像所提供的信息，对信息加工应用，可以求出函
6、数解析式，分析题意，根据：销售利润 =日最高销售量 每千克的利润（每千克的利润零售价批yx发价） ，由此整理可得到 关于 的二次函数，x解：（）图表示批发量不少于 20kg 且不多于 60kg 的该种水果，可按 5 元/kg 批发；图表示批发量高于 60kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发 （2）由题意得： ，函数图象略 20654mw （ ） ）（由图可知资金金额满足 240 w300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果（3）设日最高销售量为 xkg（ x60）则由图日零售价 p 满足： ，于是3204p3204x销售利润 ,当 x80 时， ，此时 p623201()(8)6
7、4yxx10y最 大 值即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可获得最大利润 160 元点评：注重数形结合，领会通过图形所传递的信息，以及二次函数顶点的意义的理解与应用同步检测:3：（2009四川省南充市）某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：方式 A 以每分钟 0.1 元的价格按上网时间计费；方式 B 除收月基费 20 元外，再以每分钟0.06 元的价格按上网时间计费假设顾客甲一个月手机上网的时间共有 分钟，上网费用x为 元y（1）分别写出顾客甲按 A、 B 两种方式计费的上网费 元与上网时间 分钟之间的函数关y系式，并在图 7 的坐标系中作出这两个函数的
8、图象；（2）如何选择计费方式能使甲上网费更合算？10100y/元O（图7）x/分练习参考答案：练习 3。 （1）方式 A： ，0.1()yx方式 B： ，两个函数的图象如图所示 .62y（2）解方程组 得.0x50y所以两图象交于点 P（500，50） 由图象可知：当一个月内上网时间少于 500 分时，选择方式 A 省钱；当一个月内上网时间等于 500 分时，选择方式 A、方式 B 一样；当一个月内上网时间多于 500 分时，选择方式B 省钱三、 设计图形剪拼方案例 3 （2009浙江省温州市）在所给的 99 方格中，每个小正方形的边长都是 1按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都
9、在方格的顶点上(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数(注：图甲、图乙在答题纸上)解析：本题为图案设计题，在设计前一定要注意到要求,除了要满足所画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上外，还要满足平行四边形的周长是否为整数的要求10100y/元O x/分2050500P方式A 方式B点评：本题考查的是设计图形题，在读清要求后，然后根据要求，进行方案的尝试设计，一般要经历一个不断修改的过程，使问题在修正中得以解决.同步检测:4。 (2009河南）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图
10、案图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形种植花草部分用阴影表示请你在图、图、图中画出三种不同的的设计图案提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图、图只能算一种练习参考答案：解：下面给出参考方案：四、 设计测量方案（解直角三角形应用）例 4 （2009济宁）坐 落 在 山 东 省 汶 上 县 宝 相 寺 内 的 太 子 灵 踪 塔 始 建 于 北 宋 （ 公 元1112 年 ） ， 为 砖 彻 八 角 形 十 三 层 楼 阁 式 建 筑 数 学 活 动 小 组 开 展 课 外 实 践 活 动 ， 在 一 个
11、 阳 光 明 媚 的 上 午 ， 他 们 去 测 量 太 子 灵 踪 塔 的 高 度 ， 携带 的 测 量 工 具 有 ： 测 角 仪 皮尺 小 镜 子 （ 1） 小 华 利用测角仪和皮尺测量塔高 图 1 为小 华 测量塔高的示意图她先在塔前的平地上选择一点 A，用测角仪测出看塔顶 ()M的仰角 35，在 A点和塔之间选择一点 B，测出看塔顶 ()M的仰角 45，然后用皮尺量出 B两点的距离为 18.6m,自 身的高度为 1.6m请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（ tan0.7，结果保留整数）（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影 NP的长为 am（如图 2）,你能否利
12、用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题： 在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ； 要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ 解析：本题以解直角三角形为依托，通过设计实际的测量活动，使学生能够灵活的应用所学知识，解决实际生活的问题，第二问是在解决了第一问的基础上让学生另行设计一种测量方案，但是要注意提供的工具和数据的选择使用解：（1）设 CD的延长线交 MN于 E点， 长为 xm，则 (1.6)MExm 045, 1.6Ex 1.687C 0tant35M, 0.7,解得 45x太 子 灵 踪 塔 ()N的高度为 4m(2) 测角仪皮尺； 站在 P 点看塔顶的仰角自身的高度 (注
13、：答案不唯一)点评：本类试题关键在于画出直角三角形，再分析角边关系，选择合适的三角函数求解，另外要注意设计的方案因为工具的选择不同而方法的多样性，还经常与相似三角形结合ABC D同步检测:5。 （2009四川省成都市）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度如图，他们先在点 C 测得教学楼 AB 的顶点 A 的仰角为 30，然后向教学楼前进 60 米到达点 D，又测得点 A 的仰角为 45.请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度(计算过程和结果均不取近似值)练习参考答案：解：（1）设 C的延长线交 MN于 E点， 长为 x
14、m，则 (1.6)MExm 045, 1.6DEx 1.687C 0tant35M, 0.7,解得 45x太 子 灵 踪 塔 ()N的高度为 4m(2) 测角仪皮尺； 站在 P 点看塔顶的仰角自身的高度 (注：答案不唯一)练习 6.如图，由已知可得ACB=30，ADB=45在 RtABD 中，BD=AB.又在 RtABC 中，tan30= ， = ，即 BC= AB.BCA3BC=CDBD， AB=CDAB，即（ 1）AB=60.3AB= =30（ 1） （米）60答：教学楼的高度为 30（ 1）米.3五、设计游戏方案（概率应用）例 5.(2009重庆）有一个可以自由转动的转盘，被分成了 4
15、个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示） ，另有一个不透明的口袋装有分别标有数 0、1、3 的三个小球（除数不同外，其余都相同） 小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为 0 的概率；（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平解析：修改游戏规则，首先通过列表或树形图求出游戏中的双方的概率，看是否相等，若不相等通过修改规则使得概率对两方相等了
16、，所以应现将两个人的获胜概率计算出来解：列树形图如下：由树形图可见共有 12 种可能，并且每种可能出现的机会均等，而小亮和小红的获胜概率分别为 ， ，由此可见游戏不公平，要使的游戏公平，概率应相等，我们可以修改为：若这两个数的积为奇数，小亮赢；若这两个数的积为偶奇数，小红赢点评：本题以摸球和转盘游戏为背景，设计试题，游戏公平性方案设计，其关键是保证游戏双方获胜的概率相同同步检测:(2009广东省梅州市） “五一”假期，梅河公司组织部分员工到 A、 B、 C 三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图根据统计图回答下列问题： （1）前往 A 地的车票有_张，前往 C 地的车
17、票占全部车票的_%； （2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀） ，那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为_； （3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字 1，2，3，4 的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李 ”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？A B C 地点车票(张)50403020100练习参考答案：（1）30；20 （2）
18、1（3）可能出现的所有结果列表如下：1 2 3 41 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）或画树状图如下：共有 16 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有 6 种： （2，1） ， （3，1） ， （3，2） ， （4，1） ， （4，2） ， （4，3） ， P（小张获得车票） ；则 P（小李获得车票）1 68385这个规则对小张、小李双方不公平随堂检测1 2 3 411 2 3 421 2 3 431 2 3
19、44开始小张小李小李抛到的数字小张抛到的数字1 （2009齐齐哈尔）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20 人准备同时租用这三种客房共 7 间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）A4 种 B3 种 C2 种 D1 种2 （2009襄樊）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县 A、 B两类薄弱学校全部进行改造根据预算，共需资金 1575 万元改造一所 类学校和两所 类学校共需资金 230万元；改造两所 类学校和一所 类学校共需资金 205 万元（1）改造一所 A类学校和一所 B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的 类学校不超过 5 所，则 类学校至少有多少所？
20、（3）我市计划今年对该县 、 两类学校共 6 所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担若今年国家财政拨付的改造资金不超过 400 万元；地方财政投入的改造资金不少于 70 万元，其中地方财政投入到 A、 B两类学校的改造资金分别为每所 10 万元和15 万元请你通过计算求出有几种改造方案？3 （2009天津）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可如图，要设计一幅宽 20cm，长 30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为
21、 23，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为 23，可设每个横彩条的宽为 2x，则每个竖彩条的宽为3x为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图的情况，得到矩形 ABCD结合以上分析完成填空：如图，用含 x的代数式表示：=_cm；=_cm；20cm 20cm30cmD CA B图图30cm矩形 ABCD的面积为_cm 2；列出方程并完成本题解答4 （2009烟台）某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价
22、措施调查表明：这种冰箱的售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台（1）假设每台冰箱降价 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？5(2009达州)（6 分）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度，他们带了以下测量工具：皮具、三角尺、标杆、小平面镜等首先，小明说：“我们用皮尺和三角尺（含 30角）来测量” 于是大家一起动手，测
23、得小明与旗杆的距离 AC 为 15，小明的眼睛与地面的距离为 16，如图 9（甲）所示然后，小红和小强提出了自己的想法小红说：“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度 ”小强说：“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度！”根据以上情景，解答下列问题：（1）利用图 9（甲） ，请你帮助小明求出旗杆 AB 的高度（结果保留整数参考数据：5.03sin， 87.03cos， 58.03tan， 73.1cot） ；（2）你认为小红和小强提出的方案可行吗？如果可行，请选择一中方案在图（乙）中画出测量示意图，并简述测量步骤6(2009漳州)小红与小刚姐弟俩做掷硬币游戏，他们两人同时各掷一枚壹元硬币（1）若游戏规则
24、为：当两枚硬币落地后都正面朝上时，小红赢，否则小刚赢请用画树状图或列表的方法，求小刚赢的概率； （2）小红认为上面的游戏规则不公平，于是把规则改为：当两枚硬币正面都朝上时，小红得 8 分，否则小刚得 4 分那么，修改后的游戏规则公平吗？请说明理由；若不公平，请你帮他们再修改游戏规则，使游戏规则公平（不必说明理由） 随堂检测参考答案：1C 2解：（1）设改造一所 A类学校和一所 B类学校所需的改造资金分别为 a万元和 b万元依题意得： 2305ab解之得 6085b答：改造一所 A类学校和一所 B类学校所需的改造资金分别为 60 万元和 85 万元（2）设该县有 、 两类学校分别为 m所和 n所
25、则608517mn32 A类学校不超过 5 所 17n 即： B类学校至少有 15 所（3）设今年改造 A类学校 x所，则改造 B类学校为 6x所，依题意得：5076401x解之得 x取整数 1234， ， ，即：共有 4 种方案3解（） 206460xx， ， ；（）根据题意，得 21230整理，得 2650x解方程，得 12， （不合题意，舍去） 则 23x， 答：每个横、竖彩条的宽度分别为 53cm， 2cm4 解：（1）根据题意，得 (40)8450xy，即 2435yx （2）由题意，得 2048x整理，得 20x解这个方程，得 120x， 要使百姓得到实惠，取 2x所以，每台冰箱应
26、降价 200 元 （3）对于 4305y，当 21x时， 150(240)84250y最 大 值所以，每台冰箱的售价降价 150 元时，商场的利润最大，最大利润是 5000 元 5 （1）过点 D 作 DEAB 于点 E， 在 RtBDE 中，DE=AC=15m，BDE=30BE=DEtan3015058=870(m) AB=BE+AE=870m+16m=103m10m （2）小红和小强提出的方案都是可行的小红的方案：利用皮尺和标杆：（1）测量旗杆的影长 AG（2）测量标杆 EF 的长度（3）测量同一时刻标杆影长 FH 小强的方案：把小平面镜放在适当的位置（如图点 P 处） ，使得小强可以在镜中看到旗杆 AB 的顶端步骤：（1）测出 AP 的长度（2）测出 NP 的长度（3）测出小强眼睛离地面的高度 MN 6 解：由树形图可见共有 4 种可能，并且每种可能出现的机会均等，而小红与小刚的获胜概率分别为 ，由此可见游戏不公平，要使的游戏公平，概率应相等或者得分相同，我们可以修改为：两枚硬币落地后都正面朝上时，小红赢；若两枚硬币落地后都反面朝上时，小刚赢， （或者当两枚硬币正面都朝上时，小红得 3 分，否则小刚得 1 分）http:/
