1、正 态 分 布normal distribution一 种 概 率 分 布 。 正 态 分 布 是 具 有 两 个 参 数 和 2 的 连 续 型 随 机 变 量 的 分 布 ， 第一 参 数 是 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量 的 均 值 ， 第 二 个 参 数 2 是 此 随 机 变 量 的 方 差 ，所 以 正 态 分 布 记 作 N( ， 2 )。 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量 的 概 率 规 律 为 取 与 邻近 的 值 的 概 率 大 ， 而 取 离 越 远 的 值 的 概 率 越 小 ； 越 小 ， 分 布 越 集 中 在 附 近 ， 越 大 ， 分 布
2、 越 分 散 。 正 态 分 布 的 密 度 函 数 的 特 点 是 ： 关 于 对 称 ， 在 处 达 到最 大 值 ， 在 正 （ 负 ） 无 穷 远 处 取 值 为 0， 在 处 有 拐 点 。 它 的 形 状 是 中 间 高 两 边低 ， 图 像 是 一 条 位 于 x 轴 上 方 的 钟 形 曲 线 。 当 0， 2 1 时 ， 称 为 标 准 正 态 分布 ， 记 为 N（ 0， 1） 。 维 随 机 向 量 具 有 类 似 的 概 率 规 律 时 ， 称 此 随 机 向 量 遵 从 多 维正 态 分 布 。 多 元 正 态 分 布 有 很 好 的 性 质 ， 例 如 ， 多 元
3、正 态 分 布 的 边 缘 分 布 仍 为 正 态 分 布 ，它 经 任 何 线 性 变 换 得 到 的 随 机 向 量 仍 为 多 维 正 态 分 布 ， 特 别 它 的 线 性 组 合 为 一 元 正 态 分布 。正 态 分 布 最 早 由 A.棣 莫 弗 在 求 二 项 分 布 的 渐 近 公 式 中 得 到 。 C.F.高 斯 在 研 究 测 量 误差 时 从 另 一 个 角 度 导 出 了 它 。 P.S.拉 普 拉 斯 和 高 斯 研 究 了 它 的 性 质 。生 产 与 科 学 实 验 中 很 多 随 机 变 量 的 概 率 分 布 都 可 以 近 似 地 用 正 态 分 布 来
4、 描 述 。 例 如 ，在 生 产 条 件 不 变 的 情 况 下 ， 产 品 的 强 力 、 抗 压 强 度 、 口 径 、 长 度 等 指 标 ； 同 一 种 生 物 体的 身 长 、 体 重 等 指 标 ； 同 一 种 种 子 的 重 量 ； 测 量 同 一 物 体 的 误 差 ； 弹 着 点 沿 某 一 方 向 的偏 差 ； 某 个 地 区 的 年 降 水 量 ； 以 及 理 想 气 体 分 子 的 速 度 分 量 ， 等 等 。 一 般 来 说 ， 如 果 一个 量 是 由 许 多 微 小 的 独 立 随 机 因 素 影 响 的 结 果 ， 那 么 就 可 以 认 为 这 个 量 具
5、 有 正 态 分 布（ 见 中 心 极 限 定 理 ） 。 从 理 论 上 看 ， 正 态 分 布 具 有 很 多 良 好 的 性 质 ， 许 多 概 率 分 布可 以 用 它 来 近 似 ； 还 有 一 些 常 用 的 概 率 分 布 是 由 它 直 接 导 出 的 ， 例 如 对 数 正 态 分 布 、 t分 布 、 F 分 布 等 。正 态 分 布 应 用 最 广 泛 的 连 续 概 率 分 布 ， 其 特 征 是 “钟 ”形 曲 线 。from http:/(一 )正 态 分 布1.正 态 分 布 若 的 密 度 函 数 （ 频 率 曲 线 ） 为 正 态 函 数 （ 曲 线 ）(3-
6、1)则 称 服 从 正 态 分 布 ， 记 号 。 其 中 、 是 两 个 不 确 定 常 数 ， 是 正 态 分 布 的 参数 ， 不 同 的 、 不 同 的 对 应 不 同 的 正 态 分 布 。正 态 曲 线 呈 钟 型 ， 两 头 低 ， 中 间 高 ， 左 右 对 称 ， 曲 线 与 横 轴 间 的 面 积 总 等 于 1。2 正 态 分 布 的 特 征服 从 正 态 分 布 的 变 量 的 频 数 分 布 由 、 完 全 决 定 。(1) 是 正 态 分 布 的 位 置 参 数 ， 描 述 正 态 分 布 的 集 中 趋 势 位 置 。 正 态 分 布 以 为 对称 轴 ， 左 右
7、 完 全 对 称 。 正 态 分 布 的 均 数 、 中 位 数 、 众 数 相 同 ， 均 等 于 。(2) 描 述 正 态 分 布 资 料 数 据 分 布 的 离 散 程 度 ， 越 大 ， 数 据 分 布 越 分 散 ， 越 小 ，数 据 分 布 越 集 中 。 也 称 为 是 正 态 分 布 的 形 状 参 数 ， 越 大 ， 曲 线 越 扁 平 ， 反 之 ， 越小 ， 曲 线 越 瘦 高 。 (二 )标 准 正 态 分 布1 标 准 正 态 分 布 是 一 种 特 殊 的 正 态 分 布 ， 标 准 正 态 分 布 的 和 2 为 0 和 1，通 常 用 （ 或 Z） 表 示 服
8、从 标 准 正 态 分 布 的 变 量 ， 记 为 Z N（ 0， 1） 。2 标 准 化 变 换 ： 此 变 换 有 特 性 ： 若 原 分 布 服 从 正 态 分 布 ， 则 Z=(x- )/ N(0,1) 就 服 从 标 准 正 态 分 布 ,通 过 查 标 准 正 态 分 布 表 就 可 以 直 接 计 算 出 原 正 态 分 布 的概 率 值 。 故 该 变 换 被 称 为 标 准 化 变 换 。3. 标 准 正 态 分 布 表标 准 正 态 分 布 表 中 列 出 了 标 准 正 态 曲 线 下 从 - 到 X(当 前 值 ） 范 围 内 的 面 积 比 例 。 （ 三 ） 正 态
9、 曲 线 下 面 积 分 布1 实 际 工 作 中 ， 正 态 曲 线 下 横 轴 上 一 定 区 间 的 面 积 反 映 该 区 间 的 例 数 占 总 例 数 的百 分 比 ， 或 变 量 值 落 在 该 区 间 的 概 率 （ 概 率 分 布 ） 。 不 同 范 围 内 正 态 曲 线 下 的 面 积可 用 公 式 3-2 计 算 。 （ 3-2）。 2.几 个 重 要 的 面 积 比 例轴 与 正 态 曲 线 之 间 的 面 积 恒 等 于 1。 正 态 曲 线 下 ， 横 轴 区 间 （ - ， + ） 内的 面 积 为 68.27%， 横 轴 区 间 （ -1.96 ， +1.96
10、 ） 内 的 面 积 为 95.00%， 横 轴 区间 （ -2.58 ， +2.58 ） 内 的 面 积 为 99.00%。（ 四 ） 正 态 分 布 的 应 用某 些 医 学 现 象 ， 如 同 质 群 体 的 身 高 、 红 细 胞 数 、 血 红 蛋 白 量 ， 以 及 实 验 中 的 随 机 误差 ， 呈 现 为 正 态 或 近 似 正 态 分 布 ； 有 些 指 标 （ 变 量 ） 虽 服 从 偏 态 分 布 ， 但 经 数 据 转 换 后的 新 变 量 可 服 从 正 态 或 近 似 正 态 分 布 ， 可 按 正 态 分 布 规 律 处 理 。 其 中 经 对 数 转 换 后
11、服 从正 态 分 布 的 指 标 ， 被 称 为 服 从 对 数 正 态 分 布 。1. 估 计 频 数 分 布 一 个 服 从 正 态 分 布 的 变 量 只 要 知 道 其 均 数 与 标 准 差 就 可 根 据 公式 （ 3-2） 估 计 任 意 取 值 范 围 内 频 数 比 例 。2. 制 定 参 考 值 范 围（ 1） 正 态 分 布 法 适 用 于 服 从 正 态 （ 或 近 似 正 态 ） 分 布 指 标 以 及 可 以 通 过 转 换 后服 从 正 态 分 布 的 指 标 。（ 2） 百 分 位 数 法 常 用 于 偏 态 分 布 的 指 标 。 表 3-1 中 两 种 方
12、法 的 单 双 侧 界 值 都 应熟 练 掌 握 。表 3-1 常 用 参 考 值 范 围 的 制 定概 率（ %） 正 态 分 布 法 百 分 位 数 法双 侧 单 侧 双 侧 单 侧下 限 上 限 下 限 上 限 90 95 99 3. 质 量 控 制 ： 为 了 控 制 实 验 中 的 测 量 （ 或 实 验 ） 误 差 ， 常 以 作 为 上 、 下 警 戒 值 ，以 作 为 上 、 下 控 制 值 。 这 样 做 的 依 据 是 ： 正 常 情 况 下 测 量 （ 或 实 验 ） 误 差 服 从 正 态 分布 。4. 正 态 分 布 是 许 多 统 计 方 法 的 理 论 基 础 。
13、 检 验 、 方 差 分 析 、 相 关 和 回 归 分 析 等多 种 统 计 方 法 均 要 求 分 析 的 指 标 服 从 正 态 分 布 。 许 多 统 计 方 法 虽 然 不 要 求 分 析 指 标 服 从正 态 分 布 ， 但 相 应 的 统 计 量 在 大 样 本 时 近 似 正 态 分 布 ， 因 而 大 样 本 时 这 些 统 计 推 断 方 法也 是 以 正 态 分 布 为 理 论 基 础 的 。一 、 正 态 分 布 的 概 念由 表 1.1 的 频 数 表 资 料 所 绘 制 的 直 方 图 ， 图 3.1（ 1） 可 以 看 出 ， 高 峰 位 于 中 部 ，左 右 两
14、 侧 大 致 对 称 。 我 们 设 想 ， 如 果 观 察 例 数 逐 渐 增 多 ， 组 段 不 断 分 细 ， 直 方 图 顶 端 的连 线 就 会 逐 渐 形 成 一 条 高 峰 位 于 中 央 （ 均 数 所 在 处 ） ， 两 侧 逐 渐 降 低 且 左 右 对 称 ， 不 与横 轴 相 交 的 光 滑 曲 线 图 3.1（ 3） 。 这 条 曲 线 称 为 频 数 曲 线 或 频 率 曲 线 ， 近 似 于 数 学 上的 正 态 分 布 （ normal distribution） 。 由 于 频 率 的 总 和 为 100%或 1， 故 该 曲 线 下 横轴 上 的 面 积 为
15、 100%或 1。图 3.1 频 数 分 布 逐 渐 接 近 正 态 分 布 示 意 图为 了 应 用 方 便 ， 常 对 正 态 分 布 变 量 X 作 变 量 变 换 。（ 3.1）该 变 换 使 原 来 的 正 态 分 布 转 化 为 标 准 正 态 分 布 (standard normal distribution)， 亦 称 u 分 布 。 u 被 称 为 标 准 正 态 变 量 或 标 准 正 态 离 差 （ standard normal deviate） 。二 、 正 态 分 布 的 特 征 ：1 正 态 曲 线 （ normal curve） 在 横 轴 上 方 均 数 处
16、最 高 。2 正 态 分 布 以 均 数 为 中 心 ， 左 右 对 称 。3 正 态 分 布 有 两 个 参 数 ， 即 均 数 和 标 准 差 。 是 位 置 参 数 ， 当 固 定 不 变 时 ， 越 大 ，曲 线 沿 横 轴 越 向 右 移 动 ； 反 之 ， 越 小 ， 则 曲 线 沿 横 轴 越 向 左 移 动 。 是 形 状 参 数 ， 当 固 定不 变 时 ， 越 大 ， 曲 线 越 平 阔 ； 越 小 ， 曲 线 越 尖 峭 。 通 常 用 表 示 均 数 为 ， 方 差 为 的 正 态 分布 。 用 N（ 0， 1） 表 示 标 准 正 态 分 布 。4 正 态 曲 线 下
17、 面 积 的 分 布 有 一 定 规 律 。 实 际 工 作 中 ， 常 需 要 了 解 正 态 曲 线 下 横 轴 上 某 一 区 间 的 面 积 占 总 面 积 的 百 分 数 ， 以便 估 计 该 区 间 的 例 数 占 总 例 数 的 百 分 数 （ 频 数 分 布 ） 或 观 察 值 落 在 该 区 间 的 概 率 。 正 态曲 线 下 一 定 区 间 的 面 积 可 以 通 过 附 表 1 求 得 。 对 于 正 态 或 近 似 正 态 分 布 的 资 料 ， 已 知均 数 和 标 准 差 ， 就 可 对 其 频 数 分 布 作 出 概 约 估 计 。查 附 表 1 应 注 意 ：
18、 表 中 曲 线 下 面 积 为 - 到 u 的 左 侧 累 计 面 积 ； 当 已 知 、 和 X 时 先 按 式 （ 3.1） 求 得 u 值 ， 再 查 表 ， 当 、 未 知 且 样 本 含 量 n 足 够大 时 ， 可 用 样 本 均 数 和 标 准 差 S 分 别 代 替 和 ， 按 式 求 得 u 值 ， 再 查 表 ； 曲 线下 对 称 于 0 的 区 间 面 积 相 等 ， 如 区 间 （ - ， -1.96） 与 区 间 （ 1.96， ） 的 面 积 相 等 ， 曲 线 下 横 轴 上 的 总 面 积 为 100%或 1。正 态 分 布 曲 线 下 有 三 个 区 间 的
19、 面 积 应 用 较 多 ， 应 熟 记 ： 标 准 正 态 分 布 时 区 间（ -1,1） 或 正 态 分 布 时 区 间 （ -1 , +1 ） 的 面 积 占 总 面 积 的 68.27%； 标 准 正态 分 布 时 区 间 （ -1.96,1.96） 或 正 态 分 布 区 间 （ -1.96 , +1.96 ） 的 面 积 占 总面 积 的 95%； 标 准 正 态 分 布 时 区 间 （ -2.58,2.58） 或 正 态 分 布 时 区 间 （ -2.58 , +2.58 ） 的 面 积 占 总 面 积 的 99%。 如 图 3.2 所 示 。 （ -3 ） 的 面 积 比 例为 99.74%,( -2 )面 积 比 例 为 95.44%。图 3.2 正 态 曲 线 与 标 准 正 态 曲 线 的 面 积 分 布
