1、垂线 点到直线的距离一、内容： 对顶角的定义，邻补角的定义，对顶角的性质； 垂线的概念，垂线的性质，点到直线的距离； 同位角、内错角、同旁内角的概念二、技能要求： 1、会过一个已知点画已知直线的垂线。 2、会过已知直线外一点，画已知直线的平行线。 3、会度量点到直线的距离。 4、会识别同位角、内错角、同旁内角。 5、理解对顶角，邻补角概念及性质，并会利用其进行推理与计算。三、重要的数学思想： 1、数形结合的思想：把计算、推理与图形结合起来，以形辅算，以算辅形的思想。 2、方程的思想：利用方程（组）求解几何未知量的思想。四、主要数学能力： 1、空间想象能力：从培养自己观察几何图形的位置关系的能力
2、入手，逐步提高自己认图能力和抽象、概括几何概念的能力，从而培养自己的空间想象能力。 2、运算能力：通过几何计算，在熟练技能的基础上，培养运算能力。 3、逻辑推理能力：在初步掌握推理技能的基础上，逐步培养自己灵活运用各种推理形式的能力。 4、思维能力：在本章的学习中，要从几何语言能力的培养入手，在文字语言，符号语言，图形语言的相互转化训练中，逐步规范自己的演绎思维（因果思维），归纳思维，类比思维等模式，为发展自己的思维能力打下好的基础。五、知识点分析： 1、关于对顶角的概念： （1） 对顶角概念的本质：两条相交直线形成的四个角中，有公共顶点，没有公共边，这样的两个角叫对顶角。 如图：直线 AB、
3、CD 相交于 O（已知） 1 和2 是对顶角，3 和4 是对顶角（对顶角定义）， 用对顶角概念的本质来判断某两个角是否是对顶角。 （2）对顶角的性质：对顶角相等。这就是说：如果这两个角是对顶角，那么这两个角就相等，这个性质反过来不成立，相等的两个角不一定是对顶角。 AOC 和BOD 是对顶角（已知）， AOD 和BOC 是对顶角（已知）， AOC=BOD（对顶角相等） AOD=BOC（对顶角相等） 注意： 既然两条直线相交可有对顶角，就可以直接说两角相等。 直线 AB 和直线 CD 相交于 O（如图）， AOC=DOB（对顶角相等）， AOD=BOC（对顶角相等）， 注意：两条直线相交组成两对
4、对顶角。例 1、判断下列说法是否正确，并举例说明： （1）有公共顶点的两个角是对顶角。 （2）有公共顶点且一边互为反向延长线的两个角是对顶角。 （3）有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角。 （4）相等的两个角是对顶角。 （5）互为对顶角的两个角的余角相等。 （6）顶点相对的角是对顶角。 （7）有公共顶点且相等的两个角是对顶角。 （8）两条直线相交，有公共顶点的两个角是对顶角。 （9）两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角。 解：（1）错，举例如图（1） 1，2 不是对顶角。 （2）错，举例如图（2） 1，2 不是对顶角。 （3）错，举例如图（3） 1，2 不是对顶角。 （
5、4）错，举例如图（4） 图中1=2，但都不是对顶角。 对顶角是两个角处于一种特殊的位置关系，相等的角是两个角的度量关系，这两个是不同范畴的概念，对顶角的大小相等，但相等的角不一定是对顶角。 （5）错。举例如图（5），AOD=BOC 对顶角必相等，但并没有说对顶角一定是锐角，它们也可能是钝角，如图中AOD 和BOC。钝角没有余角。所以对顶角不一定有余角。（6）错，举例如图（6），1 和2 不是 对顶角。 （7）错，举例如图（7），1 和2 不是对顶角。 （8）错，举例如图（8），1 和2 不是对顶角。 （9）对。例 2、如图直线 AB，CD，EF 相交于 O 点，写出图中所有的对顶角。 分析：
6、识别图中的对顶角应从这个较复杂的图形中分解出三个基本图形（即定义图形）即直线 AB、CD 相交于 O；直线 AB，EF 相交于 O；直线 CD，EF 相交于 O。由于两条直线相交组成对顶角，所以上述图中共有 6 对对顶角。 解：图中共有 6 对对顶角，它们是：AOC 和BOD，AOD 和BOC；AOF 和BOE，AOE 和BOF；COF 和DOE，COE 和DOF。 2、关于垂线的概念。 （1）垂线是相交线的特殊情况，当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫另一条直线的垂线。由这点出发来判定两条直线是否垂直，反之若两直线垂直那么交角都是直角。 BO
7、C=90 0（已知）， CDAB 于 O（已知）， CDAB（垂直定义）， BOC=90 0（垂直定义）， 这是判定两条直线互相垂直的依据 这是两条直线垂直的性质 （2）垂线的性质：性质一是说垂线的存在性和唯一性，性质二是说垂线段最短。 3、关于点到直线的距离的概念：由垂线段最短这个性质得到“点到直线的距离”的概念。这个概念与“点到点的距离”一样，是一个数量概念，指的是垂线段的长。（即直线外一点到垂足的距离）例 3、判断下列说法是否正确，若错误请说明理由： （1）画点到直线 L 的距离，（2）作出 A，B 两点距离。 （3）过直线 AB 外一点 C，画 AB 的垂线，并使它过 AB 上一点 D
8、。 （4）过直线 AB 上一点 C，画 AB 的垂线，并使它过 AB 外一点 D。 解：（1）错，因为从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。点到直线的距离是垂线段的长度，所以是不能画的，只能度量。 （2）错，因为连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离，所以两点的距离也要经过度量得到。 （3）错，因为过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，因此过 C 点画 AB 的垂线不一定能过 AB 上的 D 点，除非 D 点正好是垂足。 （4）错， 与（3）题理由相同，过 C 点画 AB 的垂线不一定能过 AB 外的一点 D。例 4、如图按要求作：（1）过 E 点作直线 CD 的垂线。 （
9、2）量出 F 点到直线 AB 的距离。 （3）量出 EF 两点的距离。 解：（1）过 E 作 ENCD 于 N，（注意 EN 要画成垂线，不要画成线段 EN）。 （2）先做出线段 FMAB 于 M，再量出 FM 的长为约 1.2cm，F 点到直线 AB 的距离约为1.2cm。 （3）先连结 EF，再量出线段 EF 的长约为 1.9cm, E、F 两点的距离约为 1.9cm。（不要画垂线） 4、 三线八角的概念：两条直线被第三条直线所截，按其不同的位置构成了同位角、内错角、同旁内角，关键在于辨别哪是第三条截线。 如图，直线 CD、EF 被 AB 所截得的， 同位角：1 和5；2 和6；4 和8；
10、3 和7（共 4 对）。 内错角：4 和6，3 和5（共 2 对）。 同旁内角：4 和5，3 和6（共 2 对）。 通过细心观察进一步归纳概括这三种角的异同。 相同点：每对同位角，内错角或同旁内角都以三条直线为边。 不同点：顶点不同。 如图 甲中直线 AB、CD 被 EF 所截时，将所有的同位角单独移出将是图乙中的形状，每对同位角均有一边落在第三条直线 EF 上，其他两边分别在直线 AB 和直线 CD 上。 图乙：（四个图形多么象字母“F”字。）图丙： 将内错角移出如图丙，（二个图形多么象字母“Z”字）图丁：将同旁内角移出如图丁，（二个图形可想象为字母“U”字）例 5、如图（1） 1 和2 是
11、哪两条直线被哪条直线所截得的什么角，（2）AB、CD 被 BD 所截的内错角是哪些角。 分析：（1）为了排除干扰，可将1 和2 分解出来，如图甲。不难看出1 和2 是由直线 AD，BC 被直线 AC 所截而成的内错角。 （2）也象解（1）一样，将直线 AB、CD 和 BD 这三条直线分解出来，观察分解图乙，可迅速准确做出回答。AB、CD 被 BD 所截的内错角是3 和4。 较复杂的图形中为了观察方便，可将有关的三条直线用色笔描出来，还可把有关的角画上记号，使图形清晰可辨。开始也可以从复杂图形中分解出基本图形，在基本图形上辨认，逐步形成头脑中的想象能力，这是迅速准确观察复杂图形的重要方法。六、简
12、化的“三段论证模式”。 几何命题的推理证明，采用的是 3 段论式，即大前提、小前提、结论。例如： 对顶角相等（大前提）， 1 与2 是对顶角（小前提）， 1=2（结论）， 大前提：一般性的判断。小前提：是与大前提相关联的特殊判断。二个判断做出的新的判断是结论。 在几何命题论证的过程中，则把大前提做为推证的依据，填注在结论后面的括号内，以说明这个结论是根据大前提得来的。一个命题的推证过程要由几个这样的 3 段式构成。 1 和2 是对顶角（已知）， 1=2（对顶角相等）， 1+2=90 0（已知） 又2+3=90 0（已知） (小前提) 1=3（同角的余角相等） 结论 大前提测试选择题1如图， A
13、B 交 CD 于 O，OE 是顶点为 O 的一条射线，图中的对顶角和邻补角各有（ ）组。 （A）1 组，3 组 （B）2 组，4 组 （C）2 组，6 组 （D）3 组，8 组 2 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，且AOD+BOC=100 0. 则AOC 是（ ）度 （A）100 0 （B）90 0 （C）150 0 （D）130 0 3如图， 直线 AB 与直线 CD 相交于 O，OE 平分AOD，BOC=BOD30 0，则COE 的度数是（ ） （A）110 0 （B）142.5 0 （C）150 0 （D）75 0 4已知，在同一平面内，过点 O 作 ONAB，又过点 O 作 OMAB，所以 OM 与 ON 重合，其理由是（ ） （A）过两点只有一条直线 （B）经过一点只有一条直线垂直于已知直线 （C）过一点只能作一条垂线 （D）垂线段最短5直线 AB，CD 相交于点 O，OEAB 于 O，且DOE=4COE，则AOD 的度数是（ ） （A）120 0
