1、（二）点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1 【04 安徽理】若二面角 为 1200，直线 ，则 所在平面内的直线与 mlm所成角的取值范围是（A） （B）30 0，60 0 （C ）60 0，90 0 （D ）30 0，90 00(,92 【04 北京 理】设 m、n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个,命题：若 ， ，则/若 ， ， ，则/若 ， ，则n/n/若 ， ，则 其中正确命题的序号是A. 和 B. 和 C. 和 D. 和3 【04 北京春招 理】一个圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，则该圆锥的母线与底面所成A的角为A. B. C. D. 04560754 【04
2、 北京春招 理】两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5cm，4cm ，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是A. B. C. D. 7cm72cmc102cm5 【04 福建 理】如图，A、 B、C 是表面积为 48 的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC=60，O 为球心，则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是Aarcsin 63B arccos 63Carcsin D arccos6 【04 福建 理】 已知 m、n 是不重合的直线，、 是不重合的平面，有下列命题A若 m，n，则 mn；若 m，m，则 ；若 =n，mn，则 m 且 m；若
3、m，m，则 .其中真命题的个数是A0 B1 C2 D37 【04 湖南 理】把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当 A、B C、D 四点为顶点的三棱A锥体积最大时，直线 BD 与平面 ABC 所成的角的大小为A90 B 60 C45 D308 【04 湖北 理】已知平面 所成的二面角为 80，P 为 、 外一定点，过点 P 的与 一条直线与 、 所成的角都是 30，则这样的直线有且仅有A1 条 B 2 条 C3 条 D4 条9 【04 全国理】已知球 O 的半径为 1，A、B、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为 ，则球心 O 到平面 ABC 的距离为2（A） （B） （C） （D
4、）313323610 【04 全国文】正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱与底面所成的角为（A）75 （B）60 （C）45 （D）3011 【04 全国理】 对于直线 m、n 和平面 ，下面命题中的真命题是A如果 、n 是异面直线，那么,/nB如果 、n 是异面直线，那么 相交与C如果 、n 共面，那么,/ /D如果 、n 共面，那么, n12 【04 全国理】已知球的表面积为 20 ，球面上有 A、B、C 三点.如果AB=AC=2，BC= ，则球心到平面 ABC 的距离为32A1 B C D2313 【04 上海理】在下列关于直线 l、m 与平面 、 的命题中,真命题是(A)若 l
5、且 ,则 l. (B) 若 l 且 ,则 l.(C) 若 l 且 ,则 l. (D) 若 =m 且 lm,则 l.14 【04 重庆理】设 P 是 的二面角 内一点，60,PAB平 面 平 面垂足， 则 AB 的长为A,B为 4,2,BA B C D 235274215 【04 重庆文】不同直线 和不同平面 ，给出下列命题：,mn, /mn ,n异 面 /其中假命题有A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个16 【04 天津理】如图，在棱长为 2 的正方体 中，O 是底面 ABCD1CBAAB CAB CAB CAB CP PP P的中心，E、F 分别是 、AD 的中点，那么异面直线 O
6、E 和 所成的角的余弦值1C1FD等于A. B. C. D. 510543217 【04 天津文】如图，定点 A 和 B 都在平面 内，定点 ， ，C 是 内PB异于 A 和 B 的动点，且 那么，动点 C 在平面 内的轨迹是PCA. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点18 【04 浙江理】如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中已知 AB=1，D 在棱 BB1 上，且BD=1，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 =（A） （B）34（C） （D）40arcsin6arcsin19 【04 重庆理】若三
7、棱锥 A-BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的面积与到棱AB 的距离相等，则动点 P 的轨迹与 组成图形可能是ABCA BCA1B1C1DACPBA BCDA1 B1C1D1OFEA B CDA1 B1C1D1二、填空题1 【04 辽宁】如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形，侧棱与底面边长均为 2a，且 ，则侧棱 AA1 和截面601DAB1D1DB 的距离是 . 2 【04 全国理】已知 a、b 为不垂直的异面直线， 是一个平面，则 a、b 在 上的射影有可能是两条平行直线 两条互相垂直的直线同一条直线 一条直线及其外一点在一面结论中，正确结
8、论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.3 【04 全国理】下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号) 4 【04 全国理】 用平面 截半径为 R 的球，如果球心到截面的距离为 ，那么截得2R小圆的面积与球的表面积的比值为_5 【04 浙江理】已知平面 和平面交于直线 ，P 是空间一点， PA，垂足为lA，PB ，垂足为 B，且 PA=1，PB=2，若点 A 在 内的射影与点
9、 B 在 内的射影重合，则点 P 到 的距离为 l6 【04 浙江文】已知平面 ， = ，P 是空间一点，且 P 到 、 的距离分别l是 1、2，则点 P 到 的距离为 l三、计算题1 【04 广东】如右下图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1.(1) 求二面角 CDEC1 的正切值;(2) 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值.解（I）以 A 为原点， 分别,ADB为 x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D(0,3,0)、 D1(0,3,2)、E(3,0,
10、0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是， 设向量 与平面 C1DE)2,4(),231(),03(1FDEC),(zyxn垂直，则有 10nDxyxyzz(,)(,12)2z其 中00 ,nnCDE取 则 是 一 个 与 平 面 垂 直 的 向 量10 1(,),A向 量 与 平 面 垂 直与 所 成 的 角 为 二 面 角 的 平 面 角01026cos 3|4n 2tan（II）设 EC1 与 FD1 所成角为 ，则 142)4(23|cs FDEC2 【04 江苏】 在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 是正方形 A1B1C1D1 的中心，点 P 在棱 C
11、C1 上，且 CC1=4CP.()求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） ；()设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H，求证：D1HAP；()求点 P 到平面 ABD1 的距离 .解 （1） 4arctn7ABD1 C1B1CDBAA1E FB1PACDA1C1D1BOHABCDPFEABCDPFE（2）略 （3） 23 【04 上海 春季】 如图，点 为斜三棱柱 的侧棱 上一点，AP1CBA1交 于点 ， 交 于点 .1BPM1BNCN(1) 求证： ；C1(2) 在任意 中有余弦定理：DEF. 拓展到空EFDcos22间，类比三角形的余弦定理，写出
12、斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.解 (1) 证： ；MNCPCPNMCB 11111 ,/ 平 面(2) 解：在斜三棱柱 中，有 ，A cos21122 ABABAB SSS 其中 为平面 与平面 所组成的二面角. BC11上述的二面角为 ,PMN平 面 NP在 中， cos22M，NPCCcs)()(1111122由于 ，1, BSSS ABABC 有 .os21111122 BA4 【04 辽宁】 已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 是菱形， 平PDA,60面 ABCD，PD=AD，点 E 为 AB 中点，点 F 为 PD 中点.（1）证明平面
13、 PED平面 PAB；（2）求二面角 PABF 的平面角的余弦值. 【解】 本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空间想象能力和推理能力。（1）证明：连接 BD. 为等边三角形.ADBADB,60,是 AB 中点， E.E面 ABCD，AB 面 ABCD， PD.P面 PED，PD 面 PED， 面 PED. ,面 PAB， 面 PAB. AB面AA1B1BC1CMNP（2）解： 平面 PED，PE 面 PED，AB.PEAB连接 EF， PED，EF.EF为二面角 PABF 的平面角. 设 AD=2，那么 PF=FD=1，DE= .3在 ,1,2,7, P
14、中 ,14752)7(cosPEF即二面角 PABF 的平面角的余弦值为 .4755 【04 安徽理】 已知三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面边长和侧棱长均为 a，侧面A1ACC1底面 ABC，A 1B a，26（）求异面直线 AC 与 BC1 所成角的余弦值；（）求证：A 1B面 AB1C.解 （） ；（）略.056 【04 北京 文】 如图，在正三棱柱 中，AB2， ，由顶点AABC1A12B 沿棱柱侧面经过棱 到顶点 的最短路线与 的交点11记为 M，求：（I）三棱柱的侧面展开图的对角线长（II）该最短路线的长及 的值AM1（III ）平面 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大CB
15、1小解 本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力（I）正三棱柱 的侧面展开图是长为 6，宽为 2 的矩形A1其对角线长为 620（II）如图，将侧面 绕棱 旋转B1A1使其与侧面 在同一平面上，点 B120ACABCA1 B1C1MABCA1B1C1DM运动到点 D 的位置，连接 交 于 M，则 就是由顶点 B 沿棱柱侧面经过棱C1ADC1到顶点 C1 的最短路线，其长为A12245， 故DMA1A1AM1（III）连接 DB， ，则 DB 就是平面 与平面 ABC 的交线CBCB在 中6039BAD又 由三垂线定理得CD1平 面 1就是平面
16、 与平面 ABC 所成二面角的平面角（锐角）CMB1侧面 是正方形 1 CB145故平面 与平面 ABC 所成的二面角（锐角）为 7 【04 北京春招 理】 如图，四棱锥 的底面是边长为 1 的正方形，SD 垂ASAD直于底面 ABCD， SB3（I）求证 ； （II）求面 ASD 与面CBSC 所成二面角的大小；（III ）设棱 SA 的中点为 M，求异面直线 DM 与SB 所成角的大小解 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力（I）证明：如题图底面 ABCD 是正方形 BCD底面 ABCD DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影SD由三垂
17、线定理得 S（II）解 底面 ABCD，且 ABCD 为正方形可以把四棱锥 补形为长方体 ，如图 2AASBCD1面 ASD 与面 BSC 所成的二面角就是面 与面 所成的二面角，111/SCBSC，又 为所求二面角的平面角DA在 中，由勾股定理得 在 中，由勾股定理得RtSCBSC2RtSDCSD1即面 ASD 与面 BSC 所成的二面角为D45 45（III）解：如图 3 SDAS190，是等腰直角三角形 又 M 是斜边 SA 的中点SDAMBD， ，面 ASD，SA 是 SB 在面 ASD 上的射影由三垂线定理得 异面直线 DM 与 SB 所成的角为S908 【04 福建 理】 在三棱锥
18、 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面ASAC平面 ABC，SA=SC=2 3，M、N 分别为AB、SB 的中点.（）证明：ACSB；（）求二面角 NCMB 的大小；（）求点 B 到平面 CMN 的距离.解 本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.解法一：（）取 AC 中点 D，连结 SD、DB.SA=SC，AB=BC ， AC SD 且 ACBD，AC平面 SDB，又 SB平面 SDB，ACSB.（）AC平面 SDB，AC 平面 ABC，平面 SDB 平面 ABC.过 N 作 NEBD 于 E，NE平面 ABC，
19、过 E 作 EFCM 于 F，连结 NF，则 NFCM.NFE 为二面角 NCMB 的平面角.平面 SAC 平面 ABC，SDAC，SD平面 ABC. 又NE平面 ABC，NESD.SN=NB，NE= 21SD= 2ADS= 14= 2，且 ED=EB.在正ABC 中，由平几知识可求得 EF= MB= ，在 RtNEF 中，tanNFE= EFN=22，二面角 NCMB 的大小是 arctan2 2.（）在 Rt NEF 中，NF= ENF= 3，S CMN = 21CMNF= 3，S CMB = 21BMCM=2 .设点 B 到平面 CMN 的距离为 h，V B-CMN=VN-CMB，NE平
20、面 CMB， 3SCMN h= SCMB NE，h= CMNBSEA= 324.即点 B 到平面 CMN 的距离为 324.解法二：（）取 AC 中点 O，连结 OS、OB.SA=SC，AB=BC ，ACSO 且 ACBO.平面 SAC 平面 ABC，平面 SAC平面 ABC=ACSO面 ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系 Oxyz.则 A（2，0，0） ，B（0，2 3，0） ，C（2，0，0） ，S（0，0，2 ） ，M(1， ，0)，N(0， 3， ). C=（4，0，0） ， S=（0，2 ，2 ） ， A B=（4，0，0）（0，2 ，2 ）=0，ACSB.（）由（）得 CM=（3， ，0） ， N=（1，0， 2）.设 n=（x，y，z）为平面 CMN 的一个法向量，n=3x+ y=0，则取 z=1，则 x= 2，y=- 6，MNn=x+ 2z=0，
