1、高一数学必修 3 导学案( 教师版) 编号 周次 上课时间 月 日周 课型 新授课 主备人 使用人课题 1.1.1 算法的概念教学目标1.了解算法的含义，体会算法的思想；2.能够用自然语言叙述算法；3.掌握正确的算法应满足的要求；4.会写出解线性方程（组）的算法.教学重点1.通过实例体会算法思想，初步理解算法的含义；2.解二元一次方程组、判断一个数为质数和用“二分法”求方程近似解的算法设计.教学难点 用自然语言描述算法.课前准备 多媒体课件教学过程：一、创设情境引例 1：解二元一次方程组： 12yx分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，下面用加减消元
2、法写出它的求解过程.（可以让学生上黑板演练）解：第一步，-2 得 5y=3； 第二步，解得 y=3/5；第三步，将 y=3/5 代入，得 x=1/5第四步，得到方程组的解为 531yx评注：1.以上求解的步骤就是解二元一次方程组的算法；2 本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法.引例 2：写出求方程组 的解的算法.01212211 bacybxa解：第一步，a 1 - a 2，得： 12121cyba第二步，解得 ；121bcy第三步，将 代入，得 .121ac121bacx第四步，得到方程组的解为 121212bacyx上述步骤构成了解二元一次方程组的一个算
3、法，我们可以进一步根据这一算法编制计算机程序，让计算机来解二元一次方程组.二、新知探究（一）算法概念在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.说明：1 算法一词出现于 12 世纪，指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程；2 “算法”没有一个精确化的定义，教科书只对它作了描述性的说明；3在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成；4算法的特点：(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限
4、的；(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可；(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题；(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法；(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限是、事先设计好的步骤加以解决（二）典型例题例 1 （1）设计一个算法，判断 7 是否为质数(2)设计一个算法，判断 35 是否为质数算法分析：（
5、1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用 26 除 7，如果它们中有一个能整除 7，则 7 不是质数，否则 7 是质数根据以上分析，可写出如下的算法：第一步，用 2 除 7，得到余数 1因为余数不为 0，所以 2 不能整除 7第二步，用 3 除 7，得到余数 1因为余数不为 0，所以 3 不能整除 7第三步，用 4 除 7，得到余数 3因为余数不为 0，所以 4 不能整除 7第四步，用 5 除 7，得到余数 2因为余数不为 0，所以 5 不能整除 7第五步，用 6 除 7，得到余数 1因为余数不为 0，所以 6 不能整除 7因此，7 是质数（2）类似地，可写出“判断 35 是否为质数”的算法：
6、第一步，用 2 除 35，得到余数 1因为余数不为 0，所以 2 不能整除 35第二步，用 3 除 35，得到余数 2因为余数不为 0，所以 3 不能整除 35第三步，用 4 除 35，得到余数 3因为余数不为 0，所以 4 不能整除 35第四步，用 5 除 35，得到余数 0因为余数为 0，所以 5 能整除 35因此，35 不是质数探究：你能写出“判断整数 是否为质数”的算法吗？)2(n算法分析（一）：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：第一步：判断 n 是否等于 2，若 n=2，则 n 是质数；若 n2，则执行第二步.第二步：依次从 2 至（n-1）检验是不是 n 的因数，即整除 n
7、的数，若有这样的数，则 n 不是质数；若没有这样的数，则 n 是质数.算法分析(二) ：对于任意的整数 ，若用 表示 中的任意整数，则“判断 是否为质)2( i)1(2数”的算法包含下面的重复操作：用 除 ，得到余数 .判断余数 是否为 0，若是，则 不是质数；inrrn否则，将 的值增加 1，再执行同样的操作.这一操作一直要进行到 的值等于 为止.因此， “判i i)1(断 是否为质数”的算法可以写成：n第一步，给定大于 2 的整数 .第二步，令 .i第三步，用 除 ，得到余数 .r第四步，判断“ ”是否成立.若是，则 不是质数，结束算法；否则，将 的值增加 1，仍用 表0rnii示.第五步
8、，判断“ ”是否成立.若是，则 是质数结束算法；否则，返回第三步.)1(ni例 2 写出用“二分法”求方程 的近似解的算法.)0(2x算法分析：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过 0.005，第一步：令 .因为 ，所以设 x1=1，x 2=2.2xf,1ff第二步：令 ，判断 f（m）是否为 0.若是，则 m 为所求；若否，则继续判断1m大于 0 还是小于 0.fx1第三步：若 ，则 x1=m；否则，令 x2=m.1f第四步：判断 是否成立？若是，则 x1、x 2 之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，5.2x则返回第二步.说明：按以上步骤，我们将依次得到课本第 5 页的表 1-1 和图
9、 1.1-1.于是，开区间（1.4140625，1.41796875）中的实数都是满足假设条件的原方程的近似解.（三）随堂练习写出解方程 的一个算法.032x分析：本题是求一元二次方程的解的问题，方法很多，下面分别用配方法、判别式法写出这个问题的两个算法.算法一：第一步：移项，得： ； 32x第二步：式两边同加 1 并配方，得： 412x第三步：式两边开方得： 第四步：解得： 3x或算法二：第一步：计算方程的判别式并判断其符号： =22+43=160；第二步：将 a=1，b=-2，c=-3 代入求根公式 .得： acbx413x或思考：你能举出更多的算法的例子吗？与一般的解决问题的过程相比，你
10、认为算法更重要的特征是什么？三、归纳小结本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时无论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言.四、书面作业 教材第页练习，.1.任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.算法步骤：第一步：输入任意一个正实数 r；第二步：计算以 r 为半径的圆的面积： ；2rS第三步：输出圆的面积 S.2.任意给定一个大于 1 的正整数 n，设计一个算法求出 n 的所有因数.算法步骤：第一步：依次以 2（n-1）为除数去除 n，检查余数是否为 0.若是，则是 n 的因数；若不是，则不是 n的因数；第二步：在 n 的因数中
11、加入 1 和 n；第三步：输出 n 的所有因数.五、板书设计一、算法的概念 二、算法的特点1、2、3、4、5、例 1探究例 2随堂练习六、教后记1.2.七、巩固练习1.写出求 1+2+3+4+5+6 的一个算法.分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式 1+2+n= 进行，也可以根据加法2)1(运算律简化运算过程.算法 1：S1：计算 1+2 得到 3；S2：将第一步中的运算结果 3 与 3 相加得到 6；S3：将第二步中的运算结果 6 与 4 相加得到 10；S4：将第三步中的运算结果 10 与 5 相加得到 15；S5：将第四步中的运算结果 15 与 6 相加得到 21.算法 2：S
12、1：取 n=6；S2：计算 ；)1(nS3：输出运算结果.算法 3：S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=37；S2：计算 37；S3：输出运算结果.解题反思：算法 1 是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+10000，再用这种方法是行不通的；算法 2 与算法 3 都是比较简单的算法，但比较而言，算法 2 最为简单，且易于在计算机上执行操作.2.求 1357911 的值，写出其算法.算法 1：第一步，先求 13，得到结果 3；第二步，将第一步所得结果 3 再乘以 5，得到结果 15；第三步，再将 15 乘以 7，得到结果 105；第四步，再将 105
13、 乘以 9，得到 945；第五步，再将 945 乘以 11，得到 10395，即是最后结果.算法 2：用 P 表示被乘数，i 表示乘数；S1 使 P=1；S2 使 i=3；S3 使 P=Pi；S4 使 i=i+2；S5 若 i11，则返回到 S3 继续执行；否则算法结束.解题反思：由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句.因此，上述算法 2 不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法.在上面的算法中，S3，S4，S5 构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量 P、i 的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤 S5 对 i 的值进行检验，一旦发现 i
14、的值大于 11 时，立即停止循环，同时输出最后一个 P 的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍.3.写出求 1 至 1000 的正数中的 3 倍数的一个算法（打印结果）算法如下：S1 使 i=1；S2 i 被 3 除，得余数 r；S3 如果 r=0，则打印 i，否则不打印；S4 使 i=i+1；S5 若 i1000,则返回到 S2 继续执行，否则算法结束.4.求过 P(a1,b1)、Q(a 2,b2)两点的直线斜率的算法.算法如下：第一步：取 x1= a1，y 1= b1，x 2= a2，y 1= b2；第二步：若 x1= x2；第三步：输出斜率不存在；第四步：若 x1x 2；
15、第五步：计算 ； 12yk第六步：输出结果.5.写出求过两点 M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法.算法如下：第一步：取 x1=-2，y 1=-1，x 2=2，y 2=3；第二步：计算 ；1212第三步：在第二步结果中令 x=0 得到 y 的值 m，得直线与 y 轴交点(0,m)；第四步：在第二步结果中令 y=0 得到 x 的值 n，得直线与 x 轴交点(n,0) ；第五步：计算 S= ；|2nm第六步：输出运算结果.6.写出解不等式 x2-2x-30 的不等式的解的步骤（为方便，我们设 a0）算法如下：第一步：计算= ；acb42第二步：若0，示出方程两根 （设 x1x2） ，则不等式解集为x | xx1acbx242,1或 xx2；第三步：若= 0，则不等式解集为 x | xR 且 x ；ab第四步：若0，则不等式的解集为 R.
