1、空间中直线与直线之间的位置关系 一、选择题1已知异面直线 a,b 分别在平面 、 内,且 c,那么直线 c 一定( )A与 a、b 都相交; B只能与 a、 b 中的一条相交;C至少与 a、b 中的一条相交; D与 a、b 都平行2、若 a 和 b 是异面直线,b 和 c 是异面直线,则 a 和 c 的位置关系是( )A异面或平行 B异面或相交 C异面 D相交、平行或异面3分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A一定平行 B一定相交 C一定异面 D相交或异面4在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M 和 N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与
2、CN 所成角的余弦值是( )A 2 B 0 C 53D25三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中,正确的结论共有( )这三条直线必共点;其中必有两知是异面直线;三条直线不可能共面;其中必有两条在同一平面内A4 个 B3 个 C2 个 D1 个6空间四边形的两条对角线互相垂直,顺次连结四边中点的四边形一定是( )A空间四边形 B矩形 C菱形 D正方形二填空题7和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条的位置关系是_8在长方体 ABCDA1B1C1D1 中 AA1a,BAB 1B 1A1C130,则异面直线AB1 与 A1C1 所成角的余弦值为_9四面体 ABCD 中,ABCD2,E、F 分别是 A
3、C、BD 的中点,且 EF 3,则AB 与 CD 所成的角为_10已知直线 a、b、ca,直线 a、b、c 是两两异面的三直线,且aa,bb,cc ,若 a、b、c ,两两所成的角均等于 ,则 _11已知 a,b 是一对异面直线,而且 a 平行于ABC 的边 AB 所在直线,b 平行于AC 所在的直线,若 cosBAC 23,则 a,b 所成的角为_三、解答题12如图,已知平面 与平面 相交于直线 m,n,且 mnA,直线 la 且lm证明 n、l 是异面直线13已知直线 ab,a 与平面 相交于 A,求证:b 与平面 必相交14在空间四边形 ABCD 中,已知 AD1,BC 3,且 ADBC
4、,对角线 BD213,AC ,求 AC 和 BD 所成的角15已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边 AB、AD、CB、CD 上的点,并且有 BCA, D,试证 EF、GH、BD 共点或两两平行16在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,若 ABBC3,AA 14,求 A1B 和 B1C 所成角的余弦值四、思考题已知异面直线 a、b 所成的角为 60,在过空间一定点 P 的直线中,与 a,b 所成的角均为 60的直线有多少条?过 P 与 a、b 所成角均为 50,或均为 70的直线又各有多少呢?希望读者通过对上述三个具体问题的求解,总结解题方法,然后再探讨关于与异面直线成等角的
5、直线的存在性问题的一般性情况:已知异面直线 a,b 所成的角为 0 且 090,过空间一点 P 的直线中与 a,b 所成的角均为 的直线有多少条?参考答案一、选择题1C 2D 3D 4D 5D 6B二、填空题7相交、平行或异面;8 ;960;1060;1130三、解答题12证明:若 n、l 共面,设该平面为 ,An,n ,A 又l,平面 经过点 A 和直线 l,平面 与 重合由于 与 重合,且 m,平面 经过直线 m 和 nm 与 n 是相交直线, 与 也重合,于是 与 重合,这就与条件 m 矛盾,故假设不成立n、l 是异面直线13证明:ab,a,b 可确定平面 ,Aa ,A 是 与 的公共点
6、 与 相交,设 l,则 Al,alA在平面 内 b 与 l 必相交,b 与 必相交,交点即为 b 与 l 的交点14证明:AB、CD、AD 的中点 E、G 、F,连接 EF、FG、GE,则EFG 或其补角为异面直线 BD、AC 所成的角,且 EF 21BD 43,FG 21AC 43,再取 AC 的中点H,则 EHBC,HGAD,ADBC,EHHG,EG 2EH 2HG 21在EFG 中,EG 2EF 2FG 21,EFG90,AC 与 BD 所成的角为 9015证明:如图,连 AC、EG、FH,在ABC 中, EBA GC,EGAC同理 FHAC,于是根据公理 4 可知:EGFH E、F、H
7、、G 四点共面于 ,于是 EF 与 HG 只有相交与平行两种可能()若 EF 与 HG 相交,设交点为 P,则 PEF 平面 ACDP平面 ACD,同理可知:P平面 BCDP 是平面 ABD 与平面 BCD 的公共点两平面的交线 BD 必过 P 点FE、GH、BD 共点()若 EF 与 HG 平行,则必有 EFBDEF、BD 平面 ABD,若 EF 与 BD 不平行,则 EF 与 BD 就相交,设交点为 Q,则 EF 平面 EFHG,QBD 平面 BDC,Q 是平面 EFHG 与平面 BDC 的公共点又HG 是这两个平面的交线,QHG,EFHGQ 这就与 EFHG 相矛盾,故假设错误EFBD
8、同理可证:HGBD故由公理 4 知:EF、HG、BD 两两平行16解:如图,连接 A1D,BC,由长方体性质易知,A 1DB 1C,DA 1B 即为 A1B 与 B1C 所成角或其补角由题设易求 A1D5,A 1B5,BD 23cosDA 1B2 58 26A 1B 与 B1C 所成角的余弦值为6四、思考题解:3 条;2 条;4 条如图 10,过点 P 分别作异面直线 a、b 的平行线 a、b设 l1、l 2 是 a、b确定 内,由 a、b所成角的角平分直线于是,当 0时,满足条件的直线不存在;当 时,满足条件的直线仅有一条,就是 l1;当 20 90 20时,满足条件的直线有 2 条;当 90时,满足条件的直线有 3 条;当 90 20 90时,满足条件的直线有 4 条;当 90时,满足条件的直线仅有 1 条