1、柱 、 锥 、 台 、 球 的 表 面 积 和 体 积 计 算 问 题 解 题 指 导研 究 柱 、 锥 、 台 表 面 积 的 关 键 是 明 确 它 们 的 平 面 展 开 图 的 形 状 ,为 此 应 该 复 习 在 小学 、 初 中 所 学 到 的 有 关 知 识 ,还 要 结 合 在 前 面 的 学 习 中 动 手 折 叠 几 何 体 的 体 验 ,理 解展 开 是 折 叠 的 逆 过 程 .认 识 了 测 面 展 开 图 的 形 状 ,自 己 就 可 以 得 出 侧 面 积 公 式 了 对 于 面 积 的 计 算 ,有 些 要 用 表 示 数 字 的 字 母 进 行 计 算 ,有
2、些 可 以 保 留 准 确 值 及 表 示 圆周 率 的 字 母 ,有 些 实 际 应 用 的 问 题 要 根 据 要 求 的 精 确 度 取 值 .在 计 算 中 可 以 恰 当 地 应用 计 算 器 , 但 我 们 要 对 手 算 尤 其 是 对 含 字 母 式 子 的 变 形 进 行 必 要 的 训 练 一、侧面积的计算例 l、 直 平 行 六 面 体 的 底 面 是 菱 形 ,两 个 对 角 面 面 积 分 别 为 ,求 直 平 行 六 面21Q体 的 侧 面 积 解 题 指 导 解 决 本 题 首 先 要 正 确 把 握 直 平 行 六 面 体 的 结 构 特 征 .直 平 行 六
3、面 体 是侧 棱 与 底 面 垂 直 的 平 行 六 面 体 , 它 的 两 个 对 角 面 是 矩 形 解 : 如 上 图 所 示 ,设 底 面 边 长 为 山 侧 棱 长 为 ,两 条 底 面 对 角 线 的 长 分 别 为 ,即adc,则 :dACcBD, )3(21)(2adcQl由 (1)得 ,由 (2)得 ,代 入 (3)得 :lc1l 221alQl 214aQ21Q 21lS侧评 述 与 反 思 :(1)此 题 需 大 胆 设 元 ,为 列 方 程 方 便 ,可 以 将 对 角 线 设 出 ,但 设 而 不 解 .(2)需 大 胆 消 元 ,整 体 代 入 .三 个 方 程 不
4、 能 将 四 个 未 知 数 一 一 解 出 ,也 没 有 必 要 解 出 ,这里 需 要 将 与 的 乘 积 看 作 一 个 整 体 进 行 计 算 al二 、 表 面 积 与 体 积 的 计 算例 2 如 图 , 的 三 边 长 分 别 是 ,以 AB 所 在 直 线 为 轴 ,ABC3,4,5CBA将 此 三 角 形 旋 转 一 周 ,求 所 得 旋 转 体 的 表 面 积 和 体 积 解 题 指 导 :一 直 角 三 角 形 绕 它 的 直 角 边 所 在 直 线 旋 转 一 周 形 成 的 曲 面 所 围 成 的 几何 体 叫 做 圆 锥 ,但 绕 它 的 斜 边 所 在 直 线 旋
5、 转 就 不 再 是 圆 锥 , 这 时 我 们 可 以 自 三 角 形 的直 角 顶 点 C向 斜 边 引 垂 线 CD.垂 足 为 D, 线 段 CD将 这 个 直 角 三 角 形 分 成 两 个 直 角 三 角 形 ,AD、 BD分 别 是 两 个 直 角 三 角 形 的 一 条 直 角 边 ,这 样 线 段 CD旋 转 一 周 形 成 的 面 将 整 个 旋转 体 分 成 了 底 面 重 合 的 两 个 圆 锥 解 :如 图 所 示 ,所 得 的 旋 转 体 是 两 个 底 面 重 合 的 圆 锥 ,高 的 和 为 AB=5.底 面 半 径 ,故 .512ABCD84CBDS全4832
6、V评 述 与 反 思 :求 组 合 体 的 面 积 或 体 积 ,首 先 要 弄 清 它 是 由 哪 些 基 本 几 何 体 构 成 ,再通 过 轴 截 面 分 析 和 解 决 问 题 ;若 以 AC或 BC的 边 为 轴 旋 转 一 周 形 戎 怎 样 的 几 何 体 ?它们 的 体 积 分 别 走 多 少 ?试 比 较 这 三 个 旋 转 体 的 体 积 的 大 小 三 、 求 几 何 体 被 分 割 后 的 体 积 比例 3.如 下 图 ,三 棱 柱 中 ,若 E,F分 别 为 AB、 AC的 中 点 ,平 面1将 三 棱 柱 分 成 体 积 为 、 的 两 部 分 ,求 : .FCEB
7、1 V21V2解 题 指 导 : 对 应 的 几 何 体 是 一 个 棱 台 ,一 个 底 面 的 面 积 与 棱 柱1V1CBAEF的 底 面 积 相 等 ,另 一 个 底 面 的 面 积 等 于 棱 柱 底 面 积 的 ; 对 应 的 是 一 个 不 规 则 的42V几 何 体 ,显 然 的 体 积 无 法 直 接 表 示 ,可 以 考 虑 间 接 的 办 法 ,用 三 棱 柱 的 体 积 减 去2来 表 示 .1解 : 设 三 棱 柱 的 高 为 ,底 面 的 面 积 为 S,体 积 为 , 则hvsh21 E、 F分 别 为 AB、 AC的 中 点 , AEF41sShV127431
8、shVs2512故 : =7:5.1V2评 述 与 反 思 :本 题 求 不 规 则 的 几 何 体 的 体 积 时 ,是 通 过 计 算 棱 柱EBCF1和 棱 台 的 体 积 的 差 来 求 得 的 CBA1BAEF四 、 相 接 几 何 体 的 体 积 计 算 问 题例 4.已 知 等 边 圆 柱 (轴 截 面 是 正 方 形 的 圆 柱 )的 全 面 积 为 S,求 其 内 接 正 四 棱 柱 的 体积 解 题 指 导 要 解 决 此 题 首 先 要 画 出 合 适 的 轴 截 面 图 来 帮 助 我 们 思 考 ,要 求 内 接 正四 棱 柱 的 体 积 ,只 需 求 出 等 边 圆
9、 柱 的 底 面 团 半 径 ,而 根 据 已 知 条 件 可 以 用 S表 示 r解 : 如 上 图 ,设 等 边 圆 柱 的 底 面 半 径 为 ,则 高 ,rrh2 226Srh全侧 6S 内 接 四 棱 柱 的 底 面 边 长 rra45sin .SrV 2332 9底评 述 与 反 思 :本 题 是 正 四 棱 柱 与 圆 柱 的 相 接 问 题 解 决 这 类 问 题 的 关 键 是 找 到 相 接几 何 体 之 间 的 联 系 ,如 本 例 中 正 四 棱 柱 的 底 面 对 角 线 的 长 与 圆 柱 的 底 面 直 径 相 等 ,正四 棱 柱 的 高 与 圆 柱 的 母 线
10、长 相 等 ,通 过 这 些 关 系 可 以 实 现 已 知 条 件 的 相 互 转 化 针 对 训 练 :1. 如图,斜三棱柱 的底面为直角三角形 , ,点 在1ABC90C2B1下底面上的射影 恰为 的中点,侧棱与底面成 角,侧面 与侧面D61A成的二面角为 ,求此斜三棱柱的侧面积和体积1BC302. 已知四棱锥 VABCD 的高为 h,底面为菱形,侧面 VDA 和侧面 VDC 夹角为 120,且都垂直于底面,另两侧面与底面夹角都是 45,求棱锥的全面积 .3. 一个例圆锥形容器,经过高的截面是等边三角形,向这个容器内注入水,并且放入一个半径为 R 的球,这时水面恰好与球面相切,问将这个球
11、取出后容器内水面的高度.4. 如图,在三棱锥 中, 底面 , , 、 分别是 和ABCP-ABCDGPA的中点, 为 上一点,且 , ABEPE3121:(1)求证: 平面 ;GD(2)求截面 分棱锥 所成两部分的体积之比-5. 如图,已知棱锥 的底面积是 ,平行于底面的截面面积是ABCV264cm,棱锥顶点 在截面和底面上的射影分别是 、 ,过 的三等分点作平24cm1O1行于底面的截面,求各截面的面积参考答案1. 解: ,又 ,ACDBDB11,平 面 B1BCA面过 作 于点 , 为二面角 的平面角,CEE1即 ,632,30 SA侧 321DSVABC2.解:如下图 面 VDA底面 A
12、BCD,面 VDC底面 ABCD,且平面 VDA平面VDCVD,VD底面 ABCD,VDAD,VDCD,ADC 是二面角 A-VD-C 的平面角 ADC120又底面 ABCD 是菱形,DAB60,连 BD,ABD 是等边三角形,取 AB 的中点H,连 DH、VH,则 DHAB,由三垂线定理知 VHAB,VHD 是侧面 VAB 与底面所成角的平面角,30B ADEA B 1C 1VABVCBS 全 2S VAD 2S VAB S ABCD,3. 由题设可知,圆锥的高为 3R,底面半径为 R.设取出球后容器内水面的高度为3x,则这时水面的半径为 x .依题意得 3 322 4)3(1)(1RxR解
13、得: x 3=15R3 即取出球后容器内水面的高度为 .R554. 证明:(1) 平面 ,且 平面PABCPAB平面 平面 ,且相交于B在 中, , 是 边上的中线ACG 平面G 平面 ,EE利用两个平面垂直的性质定理可以证明 平面在 和 中RtP设 ,则 , , ,xAxB2xP3xBEBG2 ,613xP6123xABE , GBEPG , 90A90PBD/利用相似三角形的性质,得到 EG , 平面 CDC(2) ;APBDSPEsin21 APBSAsin21 , PAD21BE32 13sin21APBEDSPEAB 131-PDEABPDECABSGV三 棱 锥三 棱 锥 2-PDECABV三 棱 锥 三 棱 锥三 棱 锥截面 分棱锥 为两部分,三棱锥 与四棱锥 的体积- AB-之比为 1:25.解:设棱锥的高为 ,其顶点到已知截面之距 , 的三等分点为 、h1hO2O,3O由已知得 , ,6421h1hh4 ,VO311而 ,则 32 hO413321 , 4hh413设过 、 的截面面积分别为 、 ,底面面积为 则2O32S3S, ( )2)1(hS 1642cm, ( )34 93两截面的面积分别为 和 2c2