1、课题：柱、锥、台和球的体积1.棱柱和圆柱的体积2.棱锥和圆锥的体积教材：人民教育出版社数学 2第一章 1.1.7（第一课时）一、 教学目标：知识目标：掌握棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积的推导方法，理解祖暅原理，会应用棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式。能力目标：通过学习祖暅原理，理解祖暅原理的内涵，体验空间与平面问题互相转化的方法，体会到复杂的体积问题怎样转化为简单的体积问题而得到解决，从而提高学生的数学思维能力。德育目标：学生通过学习祖暅原理，了解我国古代数学家在这方面作出的突出成就，受到爱国主义教育，提高学习数学的兴趣。二、 教学重点与难点：重点是棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的推导方法。难
2、点是对祖暅原理的理解和棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的应用。三、 教学方法与教学手段：教学方法：本节课的课型为“新授课” 。虽然学生初中已经学习了圆柱、圆锥的体积的公式，但用的是实验验证的方法，并没有从根本上理解圆柱、圆锥的体积公式的由来，本课采用推导的方法，以长方体的体积公式和祖暅原理为基础推导出几种几何体的体积公式，通过不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中。教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。四、 教学过程：教学环节教学内容 师生互动 设计意图课题引入提出问题：（1）在初中的几何学习中，我们曾经学
3、习过哪些几何体的体积公式？ （2）还记得初中时你们的数学老师是如何验证棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的吗？（3）棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式是怎样得到的？学 生 积 极 回 忆 ，回 答 问 题 。 针对 问 题 （ 3） ，教 师 提 出 ： 这是 这 节 课 要 研究 的 内 容 “如何 推 导 棱 柱 、圆 柱 、 棱 锥 、圆 锥 的 体 积 公式 ”。从复习初中几何体的体积公式引入，自然、得体。 教学环节教学内容 师生互动 设计意图新课讲解我们已经学习过了长方体体积公式 ，其ShV中， 表示长方体的底面积， 表示长方体的高。Sh实际上，由长方体体积公式可以推导出求其它一些几何体
4、的体积公式，长方体体积公式是推导棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的一个基础。我国古代对几何体的体积研究，取得过辉煌的成就，并建立了完整的理论体系，这个理论的基础是：祖暅原理：幂势既同，则积不容异。教师提问：（1）你对祖暅了解多少？（2） “幂势既同，则积不容异”这句话该做何解释？教师讲解：祖暅是我国古代南北朝时期的数学家，受父亲祖冲之的影响，他从小就热爱科学，对数学具有浓厚的兴趣，祖冲之在 462 年编制的“大明历”就是在祖暅三次建议的基础上完成的。祖暅原理是祖暅一生最有代表性的发现。祖暅沿用了刘徽的思想，得出“幂势既同，则积不容异”的结论。 “幂”是面积， “势”即是高，意思是，夹在两个平行
5、平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 “祖暅原理”是在独立研究的基础上得出的，17 世纪由意大利数学家卡瓦列里重新发现，但比祖暅晚一千余年。祖暅原理是非常浅显易懂的，例如，取一摞纸张放在桌面上，将它们如课本图 1-49 所示改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，所以体积也没有发生变化。祖暅原理是我们推导棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的又一基础。1.关于棱柱和圆柱的体积设有一个 棱柱、一个圆柱和一个长方体，它们的n底面积都等于 ，高都等于 ，它们的下底面都在Sh同一平面上，如下图： SSSSSShh
6、我们知道长方体的体积 ，那么棱柱和圆柱的V体积应该如何得到呢？学生独立思考，回答问题，教师总结介绍祖暅其人，并给出祖暅原理的正确解释。教师讲解的教师讲解：棱柱、圆柱和长方体的下底面都在同一平面上，因为它们的上底面和下底面平行，并且高都相等，所以它们的过程要注意强调祖暅原理的运教学环节教学内容 师生互动 设计意图新课讲解上底面都在和下底面平行的同一平面内。用与底面平行的任意平面去截它们时，所得的截面面积 都S和等于 ，根据祖暅原理，它们的体积相等，即棱柱、S圆柱的体积都等于长方体的体积。由于长方体的体积等于底面积和高的乘积，于是我们得到柱体体积的计算方法： ；hV柱 体特别地，底面半径是 圆柱体
7、的体积的计算的高 是r,公式是: .圆 柱 22.关于棱锥和圆锥的体积设有一个圆锥、一个 棱锥和一个三棱锥，它们的底n面积都等于 ，高都等于 ，它们的下底面都在同一Sh平面上，如下图：(3)(2)(1)SSShhSSS问题一、它们的体积有何关系呢?教师总结答案与证明过程:它们的体积是相等的.证明:在距底面 处做一个截面,则截面图形)0(h与底面图形相似,图(1)为圆锥，设截面半径为 R，r底 面 半 径 为，设截面面积为 ,Rrh则 S则 ;22)( hS图(2) 和图（3）均棱锥，设截面边长分别为 ,底面tk.连长分别为 则 ,设截面面积为T，K.Ttk,由于面积比等于相似比的平方,所以.用
8、,使学生初步加深对祖暅原理的认识.学生独立思考 2-3 分钟，然后分组讨论，交流。讨论、整理出本组同学所想到的各种思路。教师巡视，关注学生讨论的层次。一段时间后，每组派代表讲解推导的师生互动，突破难点。一方面使学生体会整体代换的思想；另一方面鼓励学生在困难面前要树立信心，多角度分析问题，形成锲而不舍的钻研精神。;22)(hKkS22)(hTtS所以， 由此可见，底面积同为 的圆锥和棱锥，用高 同 为,与底面平行的任意平面去截，所得的截面面积都相同，由祖暅原理，这样的圆锥和棱锥的体积相等，都等于底面积为 的三棱锥的体积，只要我们能求出hS高 为,这过程，教师引导学生体会其中蕴含的数学思想方法,加
9、强对祖暅原理的理解。在整个交流讨论中，教师既要有对正确认识的赞赏，又要有对错误见解的分析及对本人的鼓励。教学环节教学内容 师生互动 设计意图新课讲解样的三棱锥的体积，就能得到底面积为 的hS高 为,圆锥以及棱锥的体积了。问题二、如何求底面积为 的三棱锥的体积？高 为,分析：既然已经推导了棱柱的体积 ，可以构V造如下三棱柱 ，其底面积为 ，DEFABChS高 为,将此三棱柱分为三部分，每部分是一个三棱锥，设 321,VBCADEFAhSFEDCBAV3V2V1三棱锥 底面积相同，BCAEA和 三 棱 锥高相同，所以 ；31V三棱锥 底面积相同，EC和 三 棱 锥高相同，所以 ；2综上， 331S
10、h三 棱 柱学生在合作交流、与人分享、探讨的氛围中倾听、质疑、表述，体验成功的喜悦；学会合作，并在合作中懂得欣赏他人。可见，底面积为 的三棱锥的体积为 ，hS高 为, 3Sh从而得到底面积为 的圆锥以及棱锥的体积高 为均为 ，即 ，3hV31锥 体特别地，如果圆锥的底面半径是 ，hr高 是, （结合课件 2119 学习）圆 锥 r2课堂小结教师总结：这节课我们又认识了我国古代一位非常伟大的数学家祖暅，学习了祖暅原理：幂势既同，则积不容异；并以此原理和长方体的体积公式为基础，得到了棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式，请同学们在课下加以复习、巩固。学生回答，教师总结完善。让学生大胆发言，归纳总结本节课的收获，教师及时点评并归纳总结，通过大屏幕展示出来，使学生对所学内容有一个系统的认识。教学环节教学内容 师生互动 设计意图作业：（1） 课本 P34 习题 1-1A 9.10（2） 课本 P35 习题 1-1B 5.7帮助学生巩固所学知识，反馈课堂教学效果，使下一节课的教学有的放失。将课堂延伸，使学生将课堂所学内容再认识和升华五、板书设计：1.1.7 棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积一.复习引入 二.新课讲解 三.巩固练习长方体体积公式 1.棱柱和圆柱的体积 练习 1：ShV二.介绍祖暅原理 练习 2：幂势既同， 2.棱锥和圆锥的体积 则积不容异 练习 3：作业：
