1、19.2.1 正比例函数(第 1 课时)一、内容和内容解析1内容正比例函数的概念2内容解析一次函数是最简单的函数模型之一正比例函数是特殊的一次函数，其特殊性表现在，函数值是自变量的值与一个常数的积小学中，学生学习过正比例关系，正比例函数是用函数观点研究成正比例关系的两个变量而得到的简单函数模型正比例函数是根据函数解析式进行定义的，符合 ykx(k 是常数，k0)的函数叫正比例函数概括函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念；通过图象研究其性质，并用这种函数模型描述和研究现实中的运动变化过程这种研究具体函数模型的方法，在今后的函数学习中还会经常用到基于以上分析，确定本课的教学重点：正比例函数的
2、概念二、目标和目标解析1目标(1)理解正比例函数的概念(2)经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力2目标解析目标(1)要求知道正比例函数的解析式特征，知道正比例函数与正比例的关系，会判断一个函数是否为正比例函数目标(2)要求能独立地写出运动变化过程中的函数解析式，通过归纳一类函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念三、教学问题诊断分析1正比例函数是在学习了函数的概念与函数的图象之后的第一种具体函数模型，对于学生知识水平来说，他们能够判断两个变量是否存在函数关系在得出正比例函数概念时，需要观察函数解析式，归纳
3、其共同特点，得到正比例函数的概念学生在进行这种归纳推理时会遇到一定的困难2学生在小学学习过成正比例的两个量，通过列表探索过成正比例关系的两个量之间的关系，知道两个量成正比例的条件是它们的比始终是一个固定不变的量(常量)，而且也通过方格纸画过成正比例关系的两个量之间关系的图象初中阶段，在学习了函数概念后，用函数的观点研究正比例关系，把成正比例的两个量纳入到函数概念体系，写出其函数解析式，画出图象，研究其性质，并应用于实际这样系统、深入地研究成正比例的两个量，对学生来说有一定的难度同时，正比例函数的研究步骤和方法，适用于一次函数、二次函数和反比例函数等后继学习的函数模型从本内容学习中获得学习具体一
4、类函数的经验，对学生来说有较大困难，需要教师的概括性指导，并在今后学习中一以贯之基于以上分析，确定本课的教学难点：理解正比例函数概念，体会具体函数模型研究的一般方法四、教学过程设计1创设情境，引出课题问题 1 2 011 年开始运营的京沪高速铁路全长 1 318 km设列车的平均速度为300 km/h考虑以下问题：(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)？(2)如果从小学学习过的比例观点看，列车在运行过程中，行程 y(单位：km)和运行时间 t(单位：h)是什么关系？(3)如果用函数的观点看，京沪高铁列车的行程 y(单位：km)是运行时间
5、(单位：h)t的函数吗？能写出这个函数的解析式，并写出自变量的取值范围吗？(4)乘京沪高铁列车从北京南站出发 2.5 h 后，是否已经过了距始发站 1 100 km 的南京南站？师生活动：学生个别回答，教师在黑板上板演学生可能在第(3)问中忽视自变量的取值范围，教师应加以引导设计意图：从现实背景问题中发现正比例关系，引导学生用函数观点看一对成正比例关系的量追问：这个问题中得到的函数解析式有什么特点？函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？问题 2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式(1)圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化 (2)铁的密度为 7.8 g/cm
6、3，铁块的质量 m (单位：g)随它的体积 V(单位：cm 3)的变化而变化 (3)每个练习本的厚度为 0.5 cm，练习本摞在一起的总厚度 h(单位：cm)随练习本的本数 n 变化而变化 (4)冷冻一个 0的物体，使它每分下降 2，物体的温度 T(单位：)随冷冻时间t(单位：min)的变化而变化 师生活动：学生独立写出函数解析式，教师课堂巡视，并进行个别指导设计意图：为抽象正比例函数概念提供典型样例2观察概括，形成概念问题 3 认真观察以上出现的四个函数解析式，说说这些函数有什么共同点师生活动：学生先思考，与小组内同学交流意见；教师通过学生回答不断引导，直至得出“这些函数都是常数与自变量的积
7、的形式”为止教师给出正比例函数的概念：一般地，形如 ykx (k 是常数，k0)的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数追问：所有这些正比例函数，函数值与相应的自变量值的比有什么特点？设计意图：概括概念3辨别概念问题 4 下列式子中，哪些表示 y 是 x 的正比例函数？(1) ； (2) ； (3) ；2yx 3 2yx(4) ； (5) ； (6) .5 yx 71 追问：如果 y 是 x 的正比例函数，请你说出其中的比例系数师生活动：判断两个变量是否是正比例函数关系，要回归到定义这种学习方法是学生学习数学所必需掌握的设计意图：及时的练习有利于学生巩固概念，反馈学习效果4学以致用问题
8、5 列式表示下列问题中的 y 与 x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数(1)正方形的边长为 x cm，周长为 y cm；(2)某人一年内的月平均收入为 x 元，他这一年(12 个月)的总收入为 y 元；(3)一个长方体的长为 2 cm，宽为 1.5 cm，高为 x cm，体积为 y cm3师生活动：学生独立完成后，小组内交流成果追问：在(2)中，此人若每月收入 6 000 元，则一年收入是多少？若一年收入是 84 000元，则每月收入又是多少？设计意图：帮助学生进一步理解正比例函数解析式的特点，体会正比例函数解析式的特征与对应关系5回顾总结 教师引导学生带着下列问题回顾总结课堂学习收获：(1
9、)本节课我们学习了哪一种函数？这种函数的解析式有什么特点？(2)正比例函数的函数值与相应的自变量的比值有什么特点？正比例函数与正比例关系有什么相同点和不同点？(3)怎样判断一个函数是否是正比例函数？请举一个生活中正比例函数的实例设计意图：通过学生小结，梳理本节课所学内容，促进形成结构化、简约化的记忆布置作业：教科书第 87 页练习第 1 题五、目标检测设计1下列式子中，哪些表示 y 是 x 的正比例函数？如果 y 是 x 的正比例函数，请指出比例系数(1) ； (2) ； (3) ；0.yx y 2yx(4) ； (5) 2 1x 设计意图：考查正比例函数的概念2写出下列各题中两变量之间的函数
10、关系式，并判断是否为正比例函数？(1)直角三角形中一个锐角的度数为 ，另一个锐角的度数 随 的变化而变化；(2)某种报纸的单价为 1 元，x 表示购买这种报纸的份数，那么购买报纸的总价 y(单位：元)随 x 的变化而变化；(3)某打字店打印文稿的标准为每页 4 元，打印费 y(单位：元)随文稿页数 x(单位：页)的变化而变化；(4)地面气温是 28，如果每升高 1 km，气温下降 6，则气温 y(单位：)随高度x(单位：km)的变化而变化；(5)圆的面积 y(单位：cm 2)与半径 x(单位：cm)的关系设计意图：考查学生先求函数解析式，再判断是否正比例函数的能力3已知ABC 的底边 BC8
11、，移动顶点 A，改变 BC 边上的高线的大小，ABC 的面积也随之变化(1)写出ABC 的面积 y 与高 x 之间的函数解析式，并指明它是什么函数；(2)当 x7 时，求出 y 的值设计意图：考查应用正比例函数解析式描述运动变化过程4已知 y 与 x 成正比例，当 x2 时，y8(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式；(2)当 x2 时，求函数值 y；(3)当 y12，求自变量 x 的值 设计意图：考查正比例函数的解析式特点和用待定系数法求正比例函数解析式参考答案：1(1)(2)(5)是正比例函数，(1)的比例系数为0.1，(2) ，(5)的比例系数为 y(1)122(1)90 ，不是正比例函数；(2)yx，是正比例函数；(3 )y4x，是正比例函数；(4)y286x，不是正比例函数；(5)yx 2，不是正比例函数3(1)y4x，(2)当 x7 时，y 284(1)y4x，(2)y8x， (3)x3
