1、数学归纳法的典型例题分析例 1 用数学归纳法证明等式时所有自然数 都成立。证明 （1）当 时，左式 ，右式 ，等式成立。（2）假设当 时等式成立，即 则 则 时，等式也成立。由（1）（2）可知，等式对 均成立。评述 在利用归纳假设论证 时等式成立时，注意分析 与 的两个等式的差别。 时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由 变到 因此在证明中，右式中的 应与 合并，才能得到所证式。因而，在论证之前，把 时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的。由例 1 可以看出，在数学归纳法证明过程中，要把握好两个关键之外：一是 与 的关系；二是 与 的关系。例 2 用数学归纳法证明对任意自然数
2、， 都能被 17 整除。证明 （）当 时，能被 17 整除，命题成立。（）设 时， 能被 17 整除。则 时，由归纳假设， 能被 17 整除， 也能被 17 整除，所以 能被 17 整除。由（）（）可知，对任意 ， 都能被 17 整除。评述 用数学归纳法证明整除问题，常常把 用 表示。上例中的 还可写成，易知它能被 17 整除。例 3 用数学归纳法证明 证明 （）当 时，左式 右式 即 时，原不等式成立。（）假设 （ ）时，不等式成立，即 则 时，左边 右边 要证左边 右边只要证 只要证 只要证 而上式显然成立，所以原不等式成立。即 时，左式 右式由（）（）可知，原不等式对大于 1 的自然数均成立。评述 用数学归纳法证明不等式时，应分析 与 的两个不等式，找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式的方法。如上题，关键是证明不等式 。除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决。例 4 在数列 中，若它的前 项和 （ ）1）计算 ， ， ， ；2）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论。解 （1）由题意， ，即 即 即 （2）猜想 证明 ） 时，命题成立。）假设 时，命题成立，即 当 时， 又 因而 解得 即 时，命题也成立。由）可知，命题对 均成立。
