1、18.1.2 平行四边形的判定(第 3 课时)一、内容和内容解析1内容三角形中位线定理2内容解析三角形中位线定理是三角形的重要定理它揭示了连接三角形任意两边中点的线段与第三边的位置关系和倍分关系，与相似等内容有着密切的联系三角形中位线定理的证明以平行四边形的有关性质和判定为依据，是平行四边形知识的综合应用研究平行四边形时，常常把它转化成三角形，应用三角形有关知识研究它本节利用平行四边形研究三角形中的有关问题三角形中位线定理的探索和证明，可以完整地体现“运用合情推理提出猜想、运用演绎推理证明猜想”的过程，发展推理能力基于以上分析，本节课的教学重点是：探索并证明三角形中位线定理二、目标和目标解析1
2、目标(1)理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的内容(2)经历探索、猜想、证明三角形的中位线定理的过程，进一步发展推理论证的能力 2目标解析目标(1)的具体要求是：明确三角形中位线与中线的区别，明确三角形中位线定理的条件与结论，能灵活运用三角形中位线定理解决相关问题目标(2)的具体要求是：理解在定理发现和证明过程中运用的归纳、类比、转化等思想方法三、教学问题诊断分析三角形中位线定理的证明需要添加辅助线，利用平行四边形的判定和性质进行证明虽然学生已经有了平行四边形、三角形的知识，但由于学生在前面的学习中，添加辅助线问题接触不多，因此教师需要适当引导，帮助学生自己寻找添加辅助线的方法教学中
3、，教师需要重点分析添加辅助线的思考过程让学生理解证明的结论既有平行关系，又有数量关系联想学过的知识，可通过添加辅助线，构造平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等证明结论成立基于以上分析，本节课的教学难点是：三角形中位线定理证明的思路分析，以及如何添加适当的辅助线，构造平行四边形四、教学过程设计(一)提出问题，观察猜想问题 1 我们研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题现在我们考虑，能否用平行四边形研究三角形的有关问题？请看下面问题：如图 18.1.2(3)-1，ABC 中，D ，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE像 DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形
4、的中位线DE 与 BC 之间有什么位置关系和数量关系？师生活动：教师直接提出问题，让学生思考问题，测量 DE的长度，作出初步猜想：DE BC，DE BC21设计意图：提出问题，发现结论，提出猜想(二)分析问题，证明猜想问题 2 要确定猜想正确，必须进行证明这首先要对照图形，写出已知、求证你能写出来吗？师生活动：学生画出具体图形并写出已知、求证设计意图：把命题的题设和结论具体化追问 1：怎样分析证明思路？师生活动：教师引导学生分析，判定两条直线是否平行，可以用平行线的判定，也可以用平行四边形的性质由于已知条件是线段相等关系(中点)，而从线段相等出发证明线段平行，应该用平行四边形的判定但是图中没有
5、平行四边形，因此需要构造平行四边形让学生构造不同的平行四边形，如图 18.1.2(3)-2(1)-(5)AB CD EFAB CD EFAB CD EF(1) (2) (3)图 18.1.2(3)-1AB CD E F(4)AB CD EF(5)图 18.1.2(3)-2设计意图：让学生运用把三角形问题转为平行四边形问题的思想，构造出不同的平行四边形，形成不同的证明方案追问 2：上面的五种方案是否可行？如可行，请说出辅助线的画法；如不可行，请说明原因师生活动：学生在独立思考的基础上分小组讨论，教师进行必要的启发设计意图：在上述方案中，方案(1)(2)(3)无法实施，因为根据现有的知识无法判定平
6、行四边形而方案(4)(5)可行让学生经历从失败到成功的过程，体会数学问题的解决过程伴随着挫折，需要持之以恒地理性思考问题 3 请用适当的方法证明猜想师生活动 1：教师引导学生针对方案(4)(5)进行证明方案(4)有以下两种证明方法，方案(5)证明方法与方案 4 类似方法 1：如图 18.1.2(3)-3，延长 DE 至点 F，使EF DE，连接 CF由ADECFE ，可得 ADFC，且ADFC ，因此有 BDFC，BD FC，所以四边形 BCFD是平行四边形所以 DFBC，DFBC因为DE DF，所以 DEBC，且 DE BC2121(也可以过点 C 作 CFAB，交 DE 的延长线于点 F，
7、证明方法与上面类似)方 法 2： 如 图 18.1.2(3)-4， 延长 DE 至点 F，使EF DE，连接 CF，CD 和 AF又 AEEC ，所以四边形ADCF 是平行四边形所以 ADFC ，且 ADFC 所以BDFC 又 ADBD ，所以 BDFC所以四边形 BCFD是平行四边形所以 DFBC，且 DFBC 因为DE DF，所以 DEBC，且 DE BC2121FAB CD E图 18.1.2(3)-3FAB CD E图 18.1.2(3)-4设计意图：用演绎推理证明猜想，发展推理能力问题 4 请用自己的语言说出得到的结论师生活动：教师引导学生用自然语言和几何语言描述定理内容：(1)三角
8、形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半(2)结合图形给出定理的几何语言表达形式：在ABC 中，因为 D，E 分别是 AB，AC 的中点，所以 DEBC，且 DE BC21设计意图：把陈述性知识转化为推理程序(三)应用新知，练习巩固如图 18.1.2(3)-5，ABC 中，C90 ，AC8，CB6；D，E，F 分别是 BC，AC，AB 的中点，则 RtABC 的中位线分别是_；四边形 AEDF 的周长为_设计意图：辨析三角形中位线与中线，勾股定理，三角形中位线定理的应用(直角三角形斜边上的中线出现的太早，在矩形中出现)(四)综合应用，发展能力例 1 在四边形 ABCD 中，E，F，G ，H
9、 分别是 AB，BC ，CD，DA 的中点求证：四边形 EFGH 是平行四边形师生活动：教师引导学生分析，因为 E，F，G ，H 分别是线段的中点，我们应用三角形中位线定理由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以通过添加辅助线连接 AC 或 BD，构造“三角形中位线” 图 18.1.2(3)-5证明：如图 18.1.2(3)-6，连接 ACDAC 中，因为 AHHD ， CGGD，所以 HGAC ， HG AC21同理 EFAC， EF ACHGEF，且 HGEF 四边形 EFGH 是平行四边形设计意图：通过添加辅助线，把四边形分为两个三角形，运用三角形中位线定理和平行四边的判定定理
10、，证明平行四边形由此题，我们可以得出一般结论：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形(五)反思小结，深化提高问题 5 通过本节课的研究，你感悟到什么？还有什么疑惑？师生活动：让学生回顾课堂中学到的知识，畅谈由此受到的启发教师在倾听学生的回答时，注意适时的归纳总结设计意图：学生自主小结，提高学生的数学概括表达能力，增强学生学习过程中的反思意识有助于学生在归纳过程中把所学的知识条理化、系统化作业：教科书 49 页练习第 1，2，3 题；习题 18.1 第 11，12 题五、目标检测设计1如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接AC 和 BC，并分别找出 AC 和 BC
11、 的中点 M，N如果测得MN20 m，那么 A，B 两点的距离是 ，理由是 设计意图：考查三角形中位线定理的应用2一个三角形的周长是 135，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线组成的三角形的周长是 设计意图：考查学生作图能力，以及三角形中位线定理的应用3如图，ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点(1)若 EF5，则 AB ；若 BC9，则 DE ；(2)中线 AF 与中位线 DE 有什么特殊的关系？证明你的猜想设计意图：综合考查三角形中位线定理，平行四边形的判定与图 18.1.2(3)-6(第 1 题)(第 3 题)性质4如图，E，F，G，H 分别是 AB，BC ，CD，DA 的中点求证：四边形 EFGH 是平行四边形(第 4 题)设计意图：综合考查三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质参考答案与提示：140，三角形中位线定理22703(1)10，4.5；(2)互相平分，可证四边形 DAEF 为平行四边形4连接 AC，证 EF AC，GH AC 1 2
