1、高中新课标选修（1-2）推理与证明测试题一 选择题（512=60 分）1. 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36 颗珠子应是什么颜色的（ ）A白色 B黑色 C白色可能性大 D黑色可能性大2 “所有 9 的倍数（M）都是 3 的倍数（P） ，某奇数（S）是 9 的倍数（M） ，故某奇数（S）是 3 的倍数（P）.”上述推理是（ ）A小前提错 B结论错 C正确的 D大前提错3F（n）是一个关于自然数 n 的命题，若 F（k） （kN ）真，则 F（k1）真，现已知F（7）不真，则有：F （8）不真；F （8）真；F（6）不真；F （6）真；F（5）不真；F（5）真.其
2、中真命题是（ ）A B C D4.下面叙述正确的是（ ）A综合法、分析法是直接证明的方法 B综合法是直接证法、分析法是间接证法 C综合法、分析法所用语气都是肯定的 D综合法、分析法所用语气都是假定的5类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ） 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。A B C D6 （05春季上海，15）若 a，b，c 是常数，则“a0 且 b24ac0”是“对 xR，有ax2bxc0 ”的（
3、 ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D不充分不必要条件7 （04全国，理 12）设 f（x ） （xR）为奇函数，f （1） ，f（x2）f （x ）12f（2） ，f（5）（ ）A0 B 1 C D5528设 S（n） ，则（ ）1n 1n 1 1n 2 1n 3 1n2AS（n）共有 n 项，当 n2 时，S（2） 12 13BS（n）共有 n1 项，当 n2 时，S（2） 12 13 14CS（n）共有 n2n 项，当 n2 时，S（2） 12 13 14DS（n）共有 n2n1 项，当 n2 时，S（2） 12 13 149在 R 上定义运算：x y ，若关于 x 的不
4、等式（ xa）（x1a）0 的解x2 y集是集合x2x 2，xR的子集，则实数 a 的取值范围是（ ）A2a2 B1a1 C 2a1 D1a210已知 f（x）为偶函数，且 f（2x）f （2x） ，当 2x0 时，f （x ）2 x，若nN *，a nf（n） ，则 a2006（ ）A2006 B4 C D41411函数 f（x）在 1，1上满足 f（x）f （x）是减函数， 、 是锐角三角形的两个内角，且 ，则下列不等式中正确的是（ ）Af（sin）f（sin） B f（c os）f（sin）Cf（cos）f（cos ） D f （sin）f （sin）12有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛
5、，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖” ，乙说：“甲、丙都未获奖” ，丙说：“我获奖了” ，丁说：“是乙获奖” 。四位歌手的话只有两名是对的，则奖的歌手是（ ）A甲 B乙 C丙 D丁二 填空题（44=16 分）13 “开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数： ,- , ,- , ,它的第 8 个数可以是 。1212381453214在平面几何里有射影定理：设ABC 的两边 ABAC，D 是 A 点在 BC 边上的射影，则 AB2=BD.BC.拓展到空间,在四面体 ABCD 中，DA 面 ABC，点 O 是 A 在面 BCD 内
6、的射影，且 O 在面 BCD 内，类比平面三角形射影定理，ABC，BOC，BDC 三者面积之间关系为 。15 （05天津）在数列a n中，a 11，a 22，且 an2 a n1（1）n，nN *， S10 .16 （05 黄冈市一模题）当 a0，a 1，a 2 成等差数时，有 a02a 1a 20，当 a0，a 1，a 2，a 3成等差数列时，有 a03a 13a 2a 30，当 a0，a 1，a 2，a 3，a 4 成等差数列时，有a04a 16a 24a 3a 40，由此归纳：当 a0，a 1，a 2，a n 成等差数列时有C a0C a1C a2C an0. 如果 a0，a 1，a 2
7、，a n 成等差数列，类比上述方法归0 n 1 n 2 n n n纳出的等式为。 三 解答题（74 分）17 已知ABC 中，角 A、B、C 成等差数列，求证： + = （12 分）1a+b 1b+c 3a+b+c18若 a、b、c 均为实数，且 ax 22x ，by 22y ，cz 22z ，求证： 2 3 6a、b、c 中至少有一个大于 0. （12 分）19数列a n的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，a n1 Sn（n1，2，3，）.n 2n证明：数列 是等比数列；S n1 4a n. （12 分）Snn20用分析法证明：若 a0，则 a 2.(12 分)21a21设事件 A 发生
8、的概率为 P，若在 A 发生的条件下 B 发生概率为 P，则由 A 产生 B 的概率为 PP.根据这一事实解答下题.一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第 0、1、2、100，共 101 站，一枚棋子开始在第 0 站（即 P01） ，由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站.直到棋子跳到第 99 站（获胜）或第 100 站（失败）时，游戏结束.已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第到第 n 站时的概率为 Pn.（1）求 P1，P 2，P 3；（2）设 an=PnP n1 （1n100） ，求证：数列a n是等比数列 (12 分)22(14
9、 分) 在 ABC 中（如图 1） ，若 CE 是ACB 的平分线，则 .其证明过程：作ACBC AEBEEGAC 于点 G，EHBC 于点 H，CF AB 于点 FCE 是ACB 的平分线，EGEH.又 ，ACBC ACEGBCEH S AECS BEC ，AEBE AECFBECF S AECS BEC .ACBC AEBE（）把上面结论推广到空间中：在四面体 ABCD 中（如图 2） ，平面 CDE 是二面角 ACDB 的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是（）证明你所得到的结论.AGFEB H C图 1ACEBD图 2Fh2h11答案：一 1 A 2 C 3 A 4
10、A 5 C 6 A 7 C 8 D C11 分析：因为锐角三角形，所以 + ，所以 0 - ， 2 2 2sin（ -）sin，0cossin1，函数 f（x）在 1，1上满足是减函数 2所以 f（cos） f（sin） 。12 分析：先猜测甲、乙对，则丙丁错，甲、乙可看出乙获奖则丁不错，所以丙丁中必有一个是对的，设丙对，则甲对，乙错，丁错. 答案为 C.二 13 - 14 （S ABC ） 2= SBOC . SBDC 15. 35 13216 a0C a1C a2 C an （1） nC 1.0 n 1 n 2 n n n解析解此题的关键是对类比的理解.通过对所给等差数列性质的理解，类比去
11、探求等比数列相应的性质.实际上，等差数列与等比数列类比的裨是运算级别的类比，即等差数列中的“加、减、乘、除”与等比数列中的“乘、除、乘方、开方”相对应.三 解答题17 (分析法) 要证 + =1a+b 1b+c 3a+b+c需证: + =3a+b+ca+b a+b cb+c即证:c(b+c)+a(a+b)= (a+b) (b+c)即证:c 2+a2=ac+b2因为ABC 中，角 A、B 、C 成等差数列,所以 B=600,由余弦定理 b2= c2+a2-2cacosB即 b2= c2+a2-ca 所以 c2+a2=ac+b2因此 + =1a+b 1b+c 3a+b+c18 (反证法). 证明：
12、设 a、b、c 都不大于 0，a0，b0，c0，abc0，而 abc（x 22y ）（ y22z ）（z 22x ） 2 3 6 （ x2 2x） （ y2 2y） （ z2 2z） （ x 1） 2 （ y 1） 2 （ z 1） 2 3，abc0，这与 abc0 矛盾，故 a、b、c 中至少有一个大于 0.19(综合法) 证明：由 an1 Sn， 而 an1 S n1 Sn 得n 2n SnS n1 S n，S n1 Sn， 2，数列 为等比数列.n 1n 2（ n 1）n Snn由知 公比为 2， 4 ，S n1 4a n.Snn Sn 1n 1 Sn 1n 1 4n 1 an（ n 1
13、）n 120(分析法). 证明：要证 a 2，只需证 2a .21a 1a 2a0，两边均大于零，因此只需证（ 2） 2（a ） 2，1a 2只需证 a2 44 a 2 22 （a ） ，1a2 1a2 2 1a只需证 （a ） ，只需证 a2 （a 2 2） ，1a 1a2 12 1a2即证 a2 2，它显然是成立，原不等式成立.1a221.（1）解:P 01，P 1 , P2 ，P 3 .12 12 12 12 34 12 12 34 12 58（2）证明:棋子跳到第 n 站，必是从第 n1 站或第 n2 站跳来的（2n100） ，所以 Pn=Pn1 Pn212 12P nP n1 P n
14、1 Pn1 Pn2 = （P n1 P n2 ） ，12 12 12a n= an1 （2n100） ，且 anP 1P 0 .12 12故a n是公比为 ，首项为 的等比数列（1n100）.12 1222结论: 或 或 S ACDS BCD AEBE S ACDS BCD S AECS BEC S ACDS BCD S AEDS BED证明：设点 E 是平面 ACD、平面 BCD 的距离分别为 h1，h 2，则由平面 CDE 平分二面角 ACDB 知 h1h 2.又 S ACDS BCD h1S ACDh2S BCD VA CDEVB CDE AEBE S AEDS BED VC AEDVC BED VA CDEVB CDE S ACDS BCD AEBEAGFEB H C图 1ACEBD图 2Fh2h11
