1、备课资料指数函数的一般形式为 y=ax(a0 且1) (xR). 它是初等函数中的一种。它是定义在实数域上的单调、下凸、无上界的可微正值函数。指数函数的一般形式为 y=ax(a0 且1) (xR) ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得 x 能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 如图所示为 a 的不同大小影响函数图形的情况。在函数 y=ax 中可以看到：（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是 a 大于 0 且不等于 1，对于 a 不大于 0 的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时 a 等于函数无意义一般也不考虑。（2） 指数函数的值域
2、为大于 0 的实数集合。（3） 函数图形都是下凸的。（4） a 大于 1，则指数函数单调递增；a 小于 1 大于 0，则为单调递减的。（5） 可以看到一个显然的规律，就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中（当然不能等于 0），函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线 y=1 是从递减到递增的一个过渡位置。（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴,永不相交。（7） 函数总是通过（ 0，1）这点,(若 y=ax+b,则函数定过点(0,1+b)（8） 显然指数函数无界。 （9）
3、指数函数既不是奇函数也不是偶函数。（10）当两个指数函数中的 a 互为倒数时，两个函数关于 y 轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。底数的平移：对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在 f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。即“上加下减，左加右减” 底数与指数函数图像：（1）由指数函数 y=ax 与直线 x=1 相交于点（1，a)可知：在 y 轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。（2）由指数函数 y=ax 与直线 x=-1 相交于点（-1，1/a）可知：在 y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。（3）
4、指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在 y 轴右边“底大图高” ；在 y 轴左边“底大图低”。（如右图） 幂的大小比较：比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2 ）函数单调性法；（3）中间值法：要比较 A 与 B 的大小，先找一个中间值 C，再比较 A 与 C、B 与 C 的大小，由不等式的传递性得到 A 与 B 之间的大小。比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。 例如：y1=34,y2=35，因为 3 大于 1 所以函数单调递增（即 x 的值越大，对应的 y 值越大），因为5 大于 4，
5、所以 y2 大于 y1.（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。例如：y1=1/24,y2=34,因为 1/2 小于 1 所以函数图像在定义域上单调递减；3 大于 1，所以函数图像在定义域上单调递增，在 x=0 是两个函数图像都过（0，1 ）然后随着 x 的增大，y1 图像下降，而 y2 上升，在 x 等于 4 时， y2 大于 y1.（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如：对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与 0、1 的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。在比较两个幂的大小时
6、，如果能充分利用“1”来搭“ 桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小” 。即当底数 a和 1 与指数 x 与 0 之间的不等号同向（例如： a 1 且 x 0 ，或 0 a 1 且 x 0）时，ax 大于 1，异向时 ax 小于 1.3例：下列函数在 R 上是增函数还是减函数？说明理由.y=4x因为 41，所以 y=4x 在 R 上是增函数；y=(1/4)x因为 01/41,所以 y=(1/4)x 在 R 上是减函数定 义 域： 实 数 集 R 值 域 ： （ 0， +）富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言富兰克林
7、利用放风筝而感受到电击,从而发明了避雷针.这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：“一千英镑赠给波士顿的居民,如果他们接受了这一千英镑,那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民,他们得把这些钱按每年 5的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这些款过了 100 年增加到 131000 英镑.我希望那时候用 100000英镑来建立一所公共建筑物,剩下的 31 000 英镑拿去继续生息 100 年.在第二个100 年末了,这笔款增加到 4061000 英镑,其中 1061000 英镑还是由波士顿的居民来支配,而其余的 3000000 英镑让马萨诸塞州的公众来管理.过此之后,我可不敢主张了！”你可曾
8、想过：区区的 1000 英镑遗产,竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱,是“信口开河”,还是“言而有据”呢？事实上,只要借助于复利公式,同学们完全可以通过计算而作出自己的判断.yn=m(1+a)n 就是复利公式,其中 m 为本金,a 为年利率 ,yn 为 n 年后本金与利息的总和.在第一个 100 年末富兰克林的财产应增加到:y 100=1000(1+5%)100=131501（英镑）,比遗嘱中写的还多出 501 英镑.在第二个 100 年末,遗产就更多了：y 100=131 501(1+5%)100=4142421（英镑）.可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的.遗嘱故事启示我们：在指数效应下,微薄的财产,低廉的利率,可以变得令人瞠目结舌.威名显赫的拿破仑,由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪！1797 年,拿破仑参观国立卢森堡小学,赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花,并许诺只要法兰西共和国存在一天,他将每年送一束价值相等的玫瑰花,以作两国友谊的象征.由于连年征战,拿破仑忘却了这一诺言！1894 年,卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“ 玫瑰花悬案 ”,要求法国政府在拿破仑的声誉和 1375596 法郎的债款中,二者选取其一.这笔巨款就是三个金路易的本金,以 5的年利率,在 97年的指数效应下的产物.
