1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1 【05 广东】 给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面 、 的四个命题：若 ；不 共 面与则点 Alm,若 m、l 是异面直线， ；l 则且 ,/若 ；/则若 ./, 则点 l其中为假命题的是A B C D2.【05 江苏】设 为两两不重合的平面， 为两两不重合的直线，给出下列四个, nml,命题：若 ， ，则 ；若 ， ， ， ，则 ；|n|若 ， ，则 ；若 ， ， ， ，|l|llm|l则 其中真命题的个数是 nm|A1 B2 C3 D43 【05 辽宁】已知 m、n 是两条不重合的直线， 、 是三个两两不重合的平面，给出下列四个
2、命题：若 ； /,则若 ；则若 ；/,/,则nm若 m、n 是异面直线， 。其中真命题是/,/,则nA和 B 和 C和 D和4 【05 上海春招】已知直线 及平面 ，下列命题中的假命题是 nl、A若 ， ，则 . B若 ， ，则 ./l/l/nlnC若 ， ，则 . D若 ， ，则 .l/5 【05 北京理】在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是ABC平面 PDF BDF 平面 PAEC平面 PDF 平面 ABC D平面 PAE 平面 ABC6 【05 北京春考理】有如下三个命题：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；垂直于同一个平
3、面的两条直线是平行直线；过平面 的一条斜线有一个平面与平面 垂直其中正确命题的个数为A0 B1 C2 D37 【05 北京春考文】下列命题中，正确的是A经过不同的三点有且只有一个平面B分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D垂直于同一个平面的两个平面平行8 【05 福建理】 已知直线 m、n 与平面 ，给出下列三个命题：,若 若;/,/nm则;,/mn则若 .则其中真命题的个数是A0 B1 C2 D39 【05 湖北文】已知 a、b、c 是直线， 是平面，给出下列命题：若 ；a/,则若 ；c则,/若 ；ba/,则若 a 与 b 异面，且 相交；与则,若
4、a 与 b 异面，则至多有一条直线与 a，b 都垂直.其中真命题的个数是A1 B2 C3 D410 【05 全国理】过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有A18 对 B24 对 C30 对 D36 对11 【05 全国理】正方体 中， 、 、 分别是 、 、1ADBPQRABD1C的中点那么，正方体的过 、 、 的截面图形是PQRA三角形 B四边形 C五边形 D六边形12 【05 全国理】不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的平面 共有A3 个 B4 个 C6 个 D7 个13 【05 天津理】设 为平面， 为直线，则 的一个充分条件是、 lnm、 mA Bl, ,C D
5、m, mn,14 【05 浙江理】设 、 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且 l ，m，有如下的两个命题：若 ，则 lm；若 lm，则 那么A是真命题，是假命题 B 是假命题，是真命题C 都是真命题 D都是假命题15 【05 重庆理】对于不重合的两个平面 与 ，给定下列条件：存在平面 ，使得 、 都垂直于 ；存在平面 ，使得 、 都平行于 ； 内有不共线的三点到 的距离相等；存在异面直线 l、m，使得 l/ ，l/ ，m / ，m/ ，其中，可以判定 与 平行的条件有A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题1 【05 湖南文】已知平面 和直线 m，给出条件：, ； ； ；
6、 ； ./m/（i）当满足条件 时，有 ；/（ii）当满足条件 时，有 （填所选条件的序号）m2 【05 全国理】在正方形 中，过对角线 的一个平面交 于DCBABAE，交 于 F，则C 四边形 一定是平行四边形EBD 四边形 有可能是正方形 四边形 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 四边形 有可能垂直于平面 DB以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）3 【05 全国理】下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥侧棱与底面所成的
7、角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥其中，真命题的编号是_ （写出所有真命题的编号）4 【05 山东理】已知 m、 n 是不同的直线， 是不重合的平面，给出下列命题：,若 则 /,/若 则/n若 ,则,mn/m、n 是两条异面直线，若 则,/,/,mn/上面命题中，真命题的序号是_( 写出所有真命题的序号)5 【05 山东文】 已知 m、 n 是不同的直线， 是不重合的平面，给出下列命题：, 若 ，则 平行于平面 内的任意一条直线 / 若 则 ,/若 ,则/n若 ,则 /,m上面命题中，真命题的序号是_( 写出所有真命题的序号)6 【05 重庆理】连接抛物线上任意四点组成的
8、四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）菱形 有 3 条边相等的四边形 梯形平行四边形 有一组对角相等的四边形三、计算题1 【05 广东】 如图 1 所示，在四面体 PABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB= .F 是线段342PB 上一点， ，点 E 在线段 AB 上，且34175CFEFPB.（）证明：PB平面 CEF；（）求二面角 BCEF 的大小.解（I）证明： 2210643PCACPPAC 是以 PAC 为直角的直角三角形，同理可证PAB 是以 PAB 为直角的直角三角形， PCB 是以PCB 为直角的直角三角形如图 1PA CBFE故 PA平面 ABC又
9、 11|06322PBCS而 PBCSF7453|故 CF PB,又已知 EFPBPB 平面 CEF（II）由（I）知 PBCE, PA平面 ABCAB 是 PB 在平面 ABC 上的射影，故 ABCE在平面 PAB 内，过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1，则 FF1平面 ABC，EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影， EFEC故FEB 是二面角 BCEF 的平面角 35610cottanAPBEB二面角 BCEF 的大小为 35arct2 【05 江苏】如图，在五棱锥 SABCDE 中，SA 底面 ABCDE，SA=AB=AE=2，3DEBC120CDEBA 求异面直线
10、 CD 与 SB 所成的角（用反三角函数值表示）； 证明：BC平面 SAB； 用反三角函数值表示二面角 BSCD 的大小（本小问不必写出解答过程）解（）连结 BE，延长 BC、ED 交于点 F，则DCF=CDF=60 0，CDF 为正三角形， CF=DF又 BC=DE，BF=EF 因此，BFE 为正三角形，FBE=FCD=60 0，BE/CD所以SBE（或其补角）就是异面直线 CD 与 SB 所成的角SA底面 ABCDE，SA=AB=AE=2，SB= ，同理 SE= ，22又BAE=120 0，所以 BE= ，从而，cosSBE= ，346SBE=arccos 46所以异面直线 CD 与 SB
11、 所成的角是 arccos 46PA CBFEF1ABC DESFABC DES() 由题意，ABE 为等腰三角形，BAE=120 0，ABE=30 0，又FBE =60 0， ABC=90 0，BCBASA底面 ABCDE，BC 底面 ABCDE，SABC，又 SA BA=A， BC平面 SAB（）二面角 B-SC-D 的大小 827arcos3 【05 辽宁】 已知三棱锥 PABC 中，E、F 分别是 AC、AB 的中点,ABC，PEF都是正三角形，PFAB.（）证明 PC平面 PAB；（）求二面角 PABC 的平面角的余弦值；（）若点 P、A、B 、C 在一个表面积为 12 的球面上，求
12、ABC 的边长.解 本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法。（）证明： 连结 CF. .,21PCABCEFP, FA平 面., B平 面平 面（）解法一： ,CABPF为所求二面角的平面角 . 设 AB=a，则PFCAB=a，则 aE23,.32cosaPFC解法二：设 P 在平面 ABC 内的射影为 O. PAFPABE,.C得 PA=PB=PC. 于是 O 是ABC 的中心. 为所求二面角的平面角.O设 AB=a，则 231,aF.3cos（）解法一：设 PA=x，球半径为 R. ,PBAPC平 面EA B
13、CPF OEA B CPDF， 的边长为 . 124.23RxABCx.2.3得 2解法二：延长 PO 交球面于 D，那么 PD 是球的直径.连结 OA、AD，可知PAD 为直角三角形. 设 AB=x，球半径为 R. ,23,6tan.32,142 xOPFOP . .2).6()3(2 的 边 长 为于 是 ABCxx4. 【05 上海 春招】 已知正三棱锥 的体积为 ，侧面与底面所成的二P37面角的大小为 。60（1）证明： ；BCPA（2）求底面中心 到侧面的距离. O证明 （1）取 边的中点 ，连接 、DA，PD则 ， ，故 平面 . P . BCA（2）如图， 由（1）可知平面平面
14、，则 是侧面与底面BCP所成二面角的平面角.过点 作 为垂足，则OED,就是点 到侧面的距离. E设 为 ，由题意可知点 在 上，hOA ， .60Ph2, BCOD4,32 ，223)(4hSABC ， .83172 3h即底面中心 到侧面的距离为 3. O5 【05 北京理】如图,在直四棱柱 中,1ABCD,2,3ABDC， 垂足为13EPBCA OED CBABCDA()求证 ;1BDAC()求二面角 的大小;1()求异面直线 与 所成角的大小解 （I）在直四棱柱 ABCDAB 1C1D1 中，AA 1底面 ABCD AC 是 A1C 在平面 ABCD 上的射影 BDAC BDA 1C；
15、（II）连结 A1E，C 1E，A 1 C1与（I）同理可证 BDA1E，BD C 1E， A1EC1 为二面角 A1BDC 1 的平面角 ADDC， A1D1C1=ADC90，又 A1D1=AD2，D 1C1= DC2 ，AA 1=3且 ACBD，3 A 1C14，AE1，EC3， A1E2，C 1E2 ，在A 1EC1 中，A 1C12A 1E2C 1E2， A 1EC190，即二面角 A1BDC 1 的大小为 90（III）过 B 作 BF/AD 交 AC 于 F，连结 FC1，则C 1BF 就是 AD 与 BC1 所成的角 ABAD 2， BDAC，AE1， BF=2，EF1，FC2，
16、BCDC， FC1= ，BC 1 ，75在BFC 1 中， , C 1BF=15475cos2CBF arcos即异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 arcos5解法二：（）同解法一（）如图，以 D 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建1,ADCxyz立空间直角坐标系 连结 11.E与(1)同理可证, , 1,BA 为二面角 的平面角.1AEC1DCED CBABCDA FED CBABCDAxzy由 113(2,03),(2,),0).2ACE得 1(,),E1(,) 即1390,4A1,EAC1.E二面角 的大小为1DC（）如图,由 ,()(2,)A1(,3),(,0)
17、B得 1(2,0)3AB 16,5,DCC 11,615cos, ,2ADCB异面直线 与 所成角的大小为A1Bars.解法三：（）同解法一.（）如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为 E.连结 .11,AEC与（）同理可证 11,BDAEC 为二面角 的平面角1AEC由 11(0,)(,3),(0,).得 1 ,EAC: 即11E二面角 的大小为BD906 【05 北京文】如图, 在直三棱柱 中，1ACB，点 为34,5,4ACBD ED CBAB CDAx z y C1 B1A1A BCD的中点AB()求证 ;1C() 求证 ;1DB:()求异面直线 与 所成角的余弦值A解（I）直三棱柱 A
18、BCA 1B1C1，底面三边长 AC=3， BC=4，AB=5 ， ACBC，且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC， AC BC 1；（II）设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连结 DE， D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中点， DE/AC 1， DE 平面 CDB1，AC 1 平面 CDB1， AC 1/平面 CDB1；（III） DE/AC1， CED 为 AC1 与 B1C 所成的角，在CED 中，ED= AC 1= ，CD= AB= ，CE= CB1=2 ，25252 ，8cosCED 异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.25解法二： 直三棱锥 底面三边长 ，1AB3,4,5ABC两两垂直,C如图建立坐标系，则 C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D( ,2,0)32() ,11(3,0)(4)ABC10,ABCB()设 与 的交点为 E，则 E(0,2,2)1(,2)(3,0)DE1/AC11,BCDB平 面 平 面1/平 面() 11(3,04)(,4)AC 11 2cos, ,5|ACB:EC1 B1A1A BCDEC1 B1A1A BCDxzy
