1、体积计算中的常用方法例析一、转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积例 1 在边长为 的正方体 中，a1ABCD分别是棱 上的点，且满足MNP，11， ， （如图 1） ，试求三112AB2N134P棱锥 的体积分析：若用公式 直接计算三棱锥 的体积，13VSh1AMNP则需要求出 的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥MNP的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥 的体积，便能很容易的求出1A 1其高和底面 的面积，从而代入公式求解1解：111 31121
2、33234AMNPANAMNVShANPaa评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据二、分割法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法例 2 如图 2，在三棱柱 中， 分别为1ABCEF，的中点，平面 将三棱柱分成两部分，求这两部分ABC，EF的体积之比分析：截面 将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台1；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱EF柱的体积减去棱台的体积求得解：设棱柱的底面积为 ，高为 ，其体积 ShVSh则三角形 的面积为 AEF14由于 ，1 732BCV
3、则剩余不规则几何体的体积为 ，17521AEFBCVShSh所以两部分的体积之比为 1:7:5AEFBC评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算年希尧的视学透视法的起源应归功于文艺复兴时期的意大利艺术家这时期的艺术家们的观点改变了，不再像中世纪那样把绘画和雕塑的目的局限于为圣经插图、颂扬上帝，而是把描绘现实世界作为目的他们也热心研究几何，其目的是为了把三维的现实世界真实地绘制在二维的画布上，由此产生了透视法意大利数学家、艺术家阿尔贝蒂（Alberti，14041472）于 1435 年发表论绘画 ，
4、阐述了最早的数学透视法原理，引入了投影线和截景等概念他设想在人眼和景物之间插立一张玻璃平板当眼睛（指一只眼）向景物发出投影线时，由投射线和玻璃平板的交点所形成的点集叫做一个截景截景给人的印象就如同景物本身一样因此，如果所作的画和截景一样，就会显得很逼真阿尔贝蒂的透视法逐渐被画家们采用并加以改进天才艺术家达芬奇（Leonardo da Vinci，14521519）学识渊博，他十分重视数学的作用他在绘画实践中，娴熟地运用了数学透视法原理他写了一本谈透视法的书绘画专论 书中认为一幅画必须是实体的精确的再现，并坚信运用数学透视法能够做到这一点他认为绘画也是一种科学，因为它揭示了自然界的真实性在达芬奇
5、的倡导下，学习和应用透视法成为欧洲画家们的自觉行动中国清代宫廷画师年希尧（？1738）从青年时代起就对数学和制图技术有兴趣他在北京时认识了一名意大利画家郎世宁（Giuseppe Castiglione，16881766） 年希尧向他学习了透视知识，并且从他那里得到一本讲透视的书，爱不释手深入钻研的结果，他不仅洞悉原著，还提出了一些自己的创见于是他以原著为基础，加入自己的见解，并补充了大量的图形，写成了视学一书，于 1729 年出版视学出版之后，年希尧觉得“终不免于肤浅”，于是继续研究一边和郎世宁“往复再四，究其源流”，一边从中国古籍中寻找相关资料经“苦思力索，补缕五十余图，并附图说”，于 17
6、35 年出了修订版视学一书最精彩的部分是图形图形分为两大类：直观图（立体图）和平面图直观图从画法原理上看又分轴测图和透视图，平面图分二视图和三视图，其原理和现代工程制图完全一致年希尧对于透视原理论述清楚，对于投影关系也处理得很好，他想象一个物体悬在空中，各点投影用虚线连接，一看就知道平面上的某个点是物体上哪个点的投影中国古籍中也有立体图和平面图的画法，始于东汉，现在能看到的如北宋时武经总要的兵器图、 新代象法要中的天文仪器图、 营造法式中的建筑图等，而且画得越来越好，但是总的来说还比较粗糙，缺乏透视原理的说明，因而显得不够科学因此，年希尧的视学在中国是前无古人的；在世界上也堪称早期画法几何的代
7、表作，比法国数学家蒙日（Monge，17461818 ）于 1799 年出版的名著 画法几何学早 70 年想 1 想阅读：假设半径为 的圆的面积为 ，我们用下面的方法推出圆的周长公式r2Ar2cr如图，设 是一个正数，考察半径分别为 和 的两个同心圆所围成的圆环（圆中hh阴影区域） 这个圆环的面积为 22()Brr可以看出， ，其中 是以小圆周长为长， 为宽的矩形面积， 是以大12SB1Sh2S圆周长为长， 为宽的矩形面积h所以有 ，即 2crCh2crC若 越来越小（趋于 0） ，那么大圆的周长 趋近于小圆的周长 ，且 趋于 0，因此ch我们看到 从而 r同学们，你们能用类似的方法证明：假设半径为 的球的体积为 ，那么球R34VR面积等于 吗？34R快快开动脑筋想一想，或者同班上的其他同学讨论一下这个问题，相信你们肯定能够得到答案的！
