1、1.8m1.2m5m几何体表面积与体积的应用在我们的生活中各种各样的物体，都是由一些简单的几何体组合而成。几何体表面积的大小以及所占空间体积的大小，都与我们的生活息息相关。本文准备从以下几个方面来研究空间几何体的表面积和体积。1侧面积（表面积）的计算例 1牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体， 尺寸如图所示。请你计算要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到 0.01m2）解：上部分圆锥的母线长为 ，其侧面积为)(5.12m，)(5.12251S下部分圆柱的侧面积 ，)(8.22S所以，要搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为：21S25.1)(05.12m答：要搭建这样
2、的一个蒙古包至少需要 50.05 平方米的篷布。点评：解实际问题时，要注意区分求的是面积还是体积，是表面积还是侧面积。2体积相关计算例 2现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是 30cm，底面的长是 25cm，宽是20cm。设水箱里盛有深为 acm 的水。若往水箱里放入棱长为 10cm 的正方形铁块，试求现在的水深？解：设放入正方体铁块后水深为 hcm。当放入正方体铁块后，若水面刚好与正方体上面相平时，由 25 20 10=25 20a+1010 10，解得 a=8；当放入正方体铁块后，若水面刚好与正方体水箱相平时，由25 20 30=25 20a+10 10 10，解得 a=28。所以，
3、当 时，放入正方体铁块后没有被水淹没，则 25 20h=25 20a+1080a 10h，解得 h= ；45当 时，放入正方体铁块后被水淹没，则 25 20h=25 20a+10 10 10，28解得 h=a+2；当 时，放入正方体铁块后水箱里的水将溢出，这时 h=30。3028a综上所得， 。)3028(45aha点评：本题是通过体积关系建立方程而求解的。在解题的过程中一定要注意根据实际情形进行分类讨论。割补寻方求积有法一、转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积例
4、1 在边长为 的正方体 中， 分别是棱 、a1ABCDMNP， ， 1AB、 上的点，且满足 （如图 1） ，试求AD11113224MNA， ，三棱锥 的体积1-NP分析：若用公式 直接计算三棱锥 的体积，则需要求出 的13VSh1-AMNPMNP面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥 的顶点和底面转1-换一下，变为求三棱锥 的体积，便能很容易的求出其高和底面 的面积，1-PAN1A从而代入公式求解解： 111- 11332AMNPAAMNVShANP234aa评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据二、分割法 分割法也是体积
5、计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法例 2 如图 2，在三棱柱 中， 分别为 的中点，平面1-ABCEF， ABC，将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比1EBCF分析：截面 将三棱柱分成两部分：一部分是三棱台 ；另一部分1EBCF1-AEFBC是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得解：设棱柱的底面积为 ，高为 ，则其体积 ShVSh则三角形 的面积为 A4由于 ，1 7321EFBCV则剩余不规则几何体的体积为，1 5AEFBCShSh 所以两部分的体积之比为 1-:7:AEFBCV例 3 如图 3（1） ，
6、在多面体 ABCDEF 中，已知 是边长为 1 的正方形，且ABD、 均为正三角形， ， ，则该多面体的体积为（ ） D 2FA B C D 243分析：题中所给几何体显然是非简单几何体，不能直接利用现有公式求体积，可考虑将其分割或补成几个常见或熟悉的简单几何体再求体积解法一：取 的中点 ，连结 如图 3（2） ，这样将多面体EFGBCAGD， ， ，分割成正四面体 、 和正四棱锥 ，ABCDADF-BC， ，21ADEGBCFV1236GABCDVABCDEFAGBCFGABDVV263说明：正三角形的面积为 （边长） ，正四面体的体积为 （棱长） ，记住这42213些结论有利于提高解题速度
7、解法二：延长 交于 ，延长 交于 ，如图 3（3） ，得到棱长为 2EAFB， HEDFC， G的正四面体 ，多面体 是平面 将正四面体 分割成完全相同GABEFH的两部分中的一部分，所以 31221ABCDEFGV评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算蚂蚁的行程问题侧面展开图除了可以帮助我们顺利地求几何体的表面积之外，它还可以帮助我们做什么呢？问题 1：如图 1，长方体的长为 12cm，宽为 6cm，高为 5cm，一只蚂蚁沿侧面从 点向 点爬行，问：爬到 点时，蚂蚁爬过的最短ABB路程是多少？探
8、究：我们来分析一下蚂蚁的爬行路线：（1）当蚂蚁首先沿正对我们的这个面爬行时，下一步有可能沿上面的面爬行也有可能沿右侧面爬行，为了求得最短路程，我们可以分两种情况展开，如图2，此时，最短路程只可能是连结 的线段长AB于是，由勾股定理得 221(56)5或 22(16)5349AB经比较知，此时的最短路程为 cm；（2）当蚂蚁首先沿下底面爬行时，下一步又有两种可能，即沿里面的面或沿右侧面如图 3，得 221(56)5AB或 22(15)635AB比较知，此时最短路程为 cm；（3）当蚂蚁首先沿左侧面爬行时，下一步依然有两种可能，即沿里面的面或沿上面的面如图 4，得 21(5)635AB或 22(6
9、)49此时最短路程为 cm3综合（1） ， （2） ， （3） ，知蚂蚁爬过的最短路程为 cm265问题 2：如图 5，圆锥的侧面展开图是半径为 cm 的半圆，一只蚂蚁沿圆锥侧面从 点向 点爬行，问：（1）爬到 点时，蚂蚁爬过ABB的最短路程；（2）当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点 的最C近距离探究：（1）从图 5 中很难求出蚂蚁爬过的最短路程，我们沿 将A圆锥侧面展开，得到一个半圆，如图 6，此时， 是半圆弧的中点，显B然，蚂蚁沿弦 爬行时，爬行的路程最短AB由 cm，且 ，得 ，即蚂蚁爬2C90CA4过的最短路程为 4cm；（2）自 作 于 ，则 即为爬行路程最短时，蚂蚁离圆锥顶点 的最DDC近距离，由于 是等腰直角三角形斜边上的高，因此， ，即蚂蚁离圆锥12CAB顶点 的最近距离为 2cmC噢！原来侧面展开图不仅可以帮我们求表面积，还可以帮我们求表面上折线（或曲线）的最小值
