1、回顾“数学归纳法”用数学归纳法证题，三个关键步骤要做到，即“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉” 所以应用数学归纳法时要注意以下三点：（1）验证基础：“找准起点，奠基要稳”是运用数学归纳法的第一个要注意的问题；（2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，在推导过程中，要把归纳假设用上；（3）正确寻求递推关系：递推至关重要，获得递推关系的关键是善于观察式子或命题的变化规律下面我们以一道例题一起回顾数学归纳法例 （2006 年济南模拟试题）已知数列 na是由非负整数组成的数列，满足 10a，23a， 112()nnna， 3， 4， 5， （1）求 3的值；（2）证明： 2n， ， ，
2、 ， ；（3）求 a的通项公式及前 n项和解析：（1）由题设得 3410a，又 3、 4a均为非负整数，故 3a可能的值为 250， ， ， 若 3a，则 4， 52，与题设矛盾若 ，则 ， 3a，与题设矛盾若 310，则 4， 560， 5，与题设矛盾，所以 32a；（2）用数学归纳法证明：当 3n时， 12a，等式成立假设当 *(3)nkN ， 时等式成立，即 k当 1时，由题设 112()()kka，因为 20ka，所以 2ka也就是说，当 n时，等式 1ka成立由和可知，对于所有 *3()nN ，有 2n成立；（3）由 21()12kka且 10和 2(1)k且 3a， 2k， ， ，
3、 得k， ， ， ， ， ，故 (1)nna， 23， ， ， 所以 (1)2nSn， 当 为 偶 数 ， 当 为 奇 数 .点评：本题主要考查等差数列的通项与等差数列的前 n项和等基础知识，以及准确表述、分析和解决问题的能力“公鸡归纳法”与数学归纳法数学归纳法，是数学中一种十分重要的常用的证明方法，人们可以从中领略数学思维的特点五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授（19081996）给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的极其生动的讲解，给我留下了非常深刻的印象他讲了一个“公鸡归纳法”的故事： 某主妇养小鸡十只，公母各半她预备将母鸡养大留着生蛋，公
4、鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐天天早晨她拿米喂鸡到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃 ”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了，虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃 赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法” 接着他举出一个数学中的类似的例子：设 ()fn是一个与正整数有关的命题， 1(2)3(9)0n 此式当 n=1，2，3，99 时都是成立的，即 (1)f，()0f， ()f， ， ()f，而当 n时就不成立了， (10
5、)f，因为19871这个例子说明 n=1，2，3，99 时命题都成立，但不能保证 n时命题也成立用数学归纳法证明一个命题的正确性，必须要求两条：当 n 取第一个值0()nN时，这个命题是正确的；假设 0()nkkN， 且 时，这个命题是正确的，证明当 1k时，这个命题也是正确的这两条是缺一不可的为什么缺一不可呢？要知道，一个命题，哪怕是验算了百次、千次、万次，也只是有限次，并不能肯定这个命题的普遍正确性为了证明命题对于任何一个正整数 n（n 有无限多）都是正确的，必须满足数学归纳法所要求的第二条 “公鸡归纳法”这类例子就是缺了第二条同时，不要以为第一条看似简单就不屑一顾缺了第一条的证明也是错误
6、的，比如：设有命题： 21()nN， 假设当 k时命题成立，即 21k，在此式两端各加 21k，则有221k， 亦即 2()()1k，这表示，当 n时，此命题也成立 可是，当 时，左边是 1，右边是 2，命题显然不成立，因为 1 不等于 2这里虽然推演出了第二条，但不符合第一条，这个证明是错误的可以看出，此式对任何正整数都是不成立的，是一个荒谬的命题 数学归纳法是我国中学数学的一项内容，为了加深对数学归纳法这一重要方法的理解和掌握，华罗庚先生（19101985）曾专门撰写过一本名为数学归纳法的书，作为中学生的数学课外读物他首先指出，像233(1)12n（）这样的公式，用数学归纳法加以证明并不困
7、难，问题是，这样一些公式是从哪里来的？难道是从天上掉下来的吗？当然不是！是有“天才”的人直观地看出来的吗？也不尽然实际上，这些公式是人们从有限的事例中，也就是从有限的经验中摸索出来的一些规律，这些规律可能只在有限范围内具有普遍性，例如，上面所举命题 ()fn只在 9 时是正确的如果某些命题，例如上述的公式（）能用数学归纳法给予证明，即对于任何一个 n 都是正确的，就有了具有无限性的普遍性从这样的意义上说，数学归纳法正是体现了人的认识从有限到无限的飞跃 为了强调数学归纳法的证明过程必须有、这样两个步骤，华罗庚先生在书中加重语气、重复地写道：“两者缺一不可！缺一不可！”有人问：数学归纳法的第一条是不是可以改为“当 n=1，2，3，的时候，这个命题是正确的”？华先生的回答是：“这样的要求是多余的，同时也是不正确的 ”之所以说是“多余” ，是因为验证了 n=1 时的正确性就够了，没有必要还要对 n=2 和 n=3 再作验证；之所以说是“不正确” ，则在于上述这句话中的“” ，如果是表示一直试下去都正确，那么试问到底要试到什么地步才算试完呢？何况，在没有证明第二条，即没有证明对所有的正整数 n 都是正确的以前，就说：“当 n=1，2，3，的时候，这个命题是正确的 ”是不对的，是犯了逻辑上的错误高 考*试题 库
