1、平面向量【学法导航】向量是既有大小又有方向的量,从其定义可以看出向量既具有代数特征,又具有几何特征,因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题,又可将某些几何问题转化为代数问题,在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。能否理解和掌握平面向量的有关概念,如:共线向量、相等向量等,它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。这就要求我们在复习中应首先立足课本,打好基础,形成清晰地知识结构,重点掌握相关概念、性质、运算公式 法则等,正确掌握这些是学好本专题的关键在解决关于向量问题时,一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确地进行向量的各种运算,进一步加深对“向量”这
2、一二维性的量的本质的认识,并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想,所以要通过向量法和坐标法的运用,进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时,一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段,通过学习提高解决实际问题的能力因此,在复习中,要注意分层复习,既要复习基础知识,又要把向量知识与其它知识,如:曲线,数列,函数,三角等进行横向联系,以体现向量的工具性【专题综合】1.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理例 1. (2008 湖北文、理)设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3
3、,2),则(a+2b)c=( )A.(15,12) B.0 C.3 D.11解:(a+2b) (1,2)(,4)(5,6),(a+2b)c (5,6)32,选 C点评:本题考查向量与实数的积,注意积的结果还是一个向量,向量的加法运算,结果也是一个向量,还考查了向量的数量积,结果是一个数字例 2、(2008 广东文)已知平面向量 ),2(),1(mba,且 a b,则 32=( )A (-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10)解:由 a b,得 m4,所以,32(2,4)(6,12)(4,8) ,故选(C) 。点评:两个向量平行,其实是一个向量是另一个向量
4、的 倍,也是共线向量,注意运算的公式,容易与向量垂直的坐标运算混淆例 3 (1)如图所示,已知正六边形 ABCDEF, O 是它的中心,若 BA=a, C=b,试用 a, b将向量 OE, BF, D, 表示出来。(1)解析:根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则,用向量 , 来表示其他向量,只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可因为六边形 ABCDEF 是正六边形,所以它的中心 O 及顶点 A, B, C 四点构成平行四边形ABCO,所以 BACOB, =a b,OE= =a+b,由于 A, B, O, F 四点也构成平行四边形 ABOF,所以= = + A=a+b+ =2 +
5、,同样在平行四边形 BCDO 中, BD C BO b( a) a2 b, FD BC 点评:其实在以 A, B, C, D, E, F 及 O 七点中,任两点为起点和终点,均可用 ,表示,且可用规定其中任两个向量为 a, b,另外任取两点为起点和终点,也可用 a,b表示。例 4已知 ABC中,A(2,1),B(3,2),C(3,1),BC 边上的高为 AD,求 AD。解析:设 D(x,y),则 2,13,2,3DxyBxyBCb ,D02631yx得 1yx所以 ,A。2. 向量与三角函数的综合问题例 5、 (2008 深圳福田等)已知向量 (3sin,co),(cs,o)axbx,函数ba
6、 O FEDCBA()21fxab(1)求 ()f的最小正周期; (2)当, 62x时, 若 ()1,fx求 的值解:(1) 2()23sincos1fxx3sincos2in()6x. 所以,T . (2) 由 ()1,fx得si62x,,62,7,56x 3x点评:向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点,但通常难度不大,一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换,以及解三角形等知识点.例 6、 (2007 山东文)在 ABC 中,角 , , 的对边分别为 tan37bcC, , , (1)求 cos;(2)若52CB,且
7、 9ab,求 c解:(1)sintan3737oC,又 22sics1 解得1cs8tan0C, 是锐角oC(2)由52BA, 5cs2ab, 20ab又 9ab81 4122cos36cC c点评:本题向量与解三角形的内容相结合,考查向量的数量积,余弦定理等内容。3. 平面向量与函数问题的交汇例 7已知平面向量 a( 3,1),b( 21, 3).(1) 若存在实数 k 和 t,便得 xa(t 23)b, ykatb,且 xy,试求函数的关系式 kf(t);(2) 根据(1)的结论,确定 kf(t)的单调区间解:(1)法一:由题意知 x( 23t, 23t), y( 2t 3k, 2tk),
8、又 xy故 x y t( 1t 3k) 23t( 2tk)0整理得:t 33t4k0,即 k 4t3 t.法二:a( ,1),b( 21, ), . a2, b1 且 abxy,x y0,即k a2t(t 23) 20,t 33t4k0,即 k 41t343t(2) 由(1)知:kf(t) 41t3 t kf(t) 4t3 ,令 k0 得1t1;令 k0 得 t1 或 t1.故 kf(t)的单调递减区间是(1, 1 ),单调递增区间是(,1)和(1,).归纳 第 1 问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法:一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标,再利用向量垂直的充要条件;二是直接利
9、用向量的垂直的充要条件,其过程要用到向量的数量积公式及求模公式,达到同样的求解目的(但运算过程大大简化,值得注意) 。第 2 问中求函数的极值运用的是求导的方法,这是新旧知识交汇点处的综合运用变式 已知平面向量 a( 3,1), b( 21, 3),若存在不为零的实数 k 和角 ,使向量 c (sin 3) , dk a (sin) b,且 c d,试求实数 k 的取值范围。点拨 将例题中的 t 略加改动,旧题新掘,出现了意想不到的效果,很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。解:仿例 3(1)解法(二)可得k 4( sin 2)2 69,而1sin1, 当 sin1 时,k 取最大值 1;
10、sin1 时,k 取最小值 2.又k0 k 的取值范围为 ,0)(,2.4. 平面向量在平面几何中的应用例 8、如图在 RtABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以 A 为中点,问 PQ与 BC的夹角 取何值时, BPCQ的值最大?并求出这个最大值 解:以直角顶点 A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c,|AC|=b,则 A(0,0) ,B(c,0) ,C(0,b).且|PQ|=2a,|BC|=a.设点 P的坐标为(x,y) ,则 Q(-x,-y) , .2),() ,() ,() ,( yxPQcyxCycBP .|os.)()
11、()( 22 abycxPBCbyxbx cx-by=a2cos . BPQ=- a2+ a2cos.故当 cos =1,即 =0( 与 方向相同)时, C的值最大,其最大值为 0.点评:本题主要考查向量的概念,运算法则及函数的有关知识,平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。例 9、已知 A、B 为抛物线 pyx2(p0)上两点,直线 AB 过焦点 F,A、B 在准线上的射影分别为 C、D,(1) 若 6O,求抛物线的方程。(2) CD 是否恒存在一点 K,使得 0BAO xACBa例 7 图yACBaQPY A F P B X O D K C 解:(1)提示:记
12、A( 1,yx) 、B ( 2,yx)设直线 AB 方程为 2pkxy代入抛物线方程得 022pkx411,yOBA6232(2)设线段 AB 中点 P 在在准线上的射影为 T,则 )()(BTAT PBAP)(2241CDB 412)FA 412 4120故存在点 K 即点 T,使得 0K实质:以 AB 为直径的圆与准线相切变式(2004 全国湖南文 21)如图,过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m0)作直线与抛物线交于 A,B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点.设点 P 分有向线段 AB所成的比为 ,证明: )(P;解:依题意,可设直线 AB 的方程为 ,mkx
13、y代入抛物线方程 yx42得 .042mkx设 A、B 两点的坐标分别是 ),(1、 12),(则 、 x2是方程的两根.所以 .421mx 由点 P(0,m)分有向线段 AB所成的比为 ,得 .,2121x即又点 Q 是点 P 关于原点的对称点,故点 Q 的坐标是(0,m) ,从而 )2,0(mQP. ).1(,(),( 212121 myxyxyxBA )P212121212 4()(4 xxnxx.0)(221mm所以 ).QBAP【专题突破】一、选择题1 (2004 年湖北卷文)已知点 M1(6,2)和 M2(1,7) ,直线 y=mx7 与线段 M1M2的交点分有向线段 M1M2的比
14、为 3:2,则的值为 ( )A 3 B C 4 D42 (2004 年福建卷理)已知 a,b 是非零向量且满足(a2b)a, (b2a)b,则 a与 b 的夹角是 ( )A 6 B 3 C 3 D 563已知向量 O=(2,0),向量=(2,2) ,向量 A=( 2cos,in) ,则向量与向量 的夹角的范围为 ( )A 0, 4 B , 512 C 512, D 12, 54设坐标原点为 O,抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A,B 两点,则 O B= ( )A 34 B 34 C3 D35 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 O= A+(|), )
15、,0,则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心6已知平面上直线 l 的方向向量 e=( 45, 3) ,点 O(0,0)和 A(1, 2)在上的射影分别是 O/和 A/,则 /,其中 =( )A 15 B 15 C2 D27、 (sin,co),(cos,in),ababA已 知 向 量 向 量 则 ( )A i2 B. i C. D. 18、已知 (3,4), (6,8)b,则向量 a与 ( )A.互相平行 B. 夹角为 0 C.夹角为 30 D.互相垂直9、已知向量 ba与则 向 量与 向 量 ),1(),1(的夹角是( )A 6B 3C 32 D 6510
16、、若向量 (2), , (,4)b=,则 ()a+等于( )A. 0 B. 10, C.54 D.(8,24)11、已知非零向量 ,a若 且 ,b又知 ,3(bka则实数 k的值为 ( )A. 6 B. 3 C. 3 D. 612. 把函数 y 12x的图象按 a(1,2)平移到 F,则 F的函数解析式为A y 37 B y 35xC y 9x D y 2二、填空题13已知向量 a、 b 的夹角为 3,| a|2,| b|1,则| a b|a b|的值是 .14.已知 M、N 是ABC 的边 BC、CA 上的点,且 BM 3 C, N 31 A,设 B a, AC b,则 .15. ABC 中
17、, CABcosinsi,其中 A、B、C 是ABC 的三内角,则ABC 是 三角形。16. 已知 2,1,O为坐标原点,动点 满足 OmAnB,其中,mnR且 n,则 M的轨迹方程为 .三、解答题17. 已知向量 )sin1,(xa, )2cos,(xb.(1)若 2,0(,试判断 a与 b能否平行(2)若 3,0(x,求函数 af)(的最小值.18. 设函数 cbx,其中向量 xbxacos3,in,cos,in,Rxc,sino.(1)求函数 f的最大值和最小正周期;(2)将函数 xy的图像按向量 d平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的 .19. 如图, ABC
18、的顶点 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, A 为圆心,直径 PQ2,问:当 P、Q 取什么位置时, P Q有最大值?20. 已知定点 F(1,0) ,动点 P 在 y 轴上运动,过点 P 作 PM 交 x 轴于点 M,并延长 MP 至点 N,且 MNP,(1)求动点 N 的轨迹方程;(2)直线 l 与动点 N 的轨迹交于 A、B 两点,若 4OB且 4 6 AB 304,求直线 l 的斜率的取值范围21. 已知点 P是圆 21xy上的一个动点,过点 P作 Qx轴于点 ,设OMQ.(1)求点 的轨迹方程;(2)求向量 P和 夹角的最大值,并求此时 P点的坐标22. 在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45且与点A 相距 40 2海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45+(其中 sin = 26, 09)且与点A 相距 10 13海里的位置 C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.专题突破参考答案一、选择题PQOyx