1、2.1.2 指数函数及其性质5 分钟训练 (预习类训练，可用于课前 )1.下列以 x 为自变量的函数中，是指数函数的是( )A.y=（-4） x B.y= xC.y=-4x D.y=ax+2（a0 且 a1）思路解析：从指数函数的定义出发解决此题.由指数函数的定义知，选 B.答案：B2.右图是指数函数y=a x；y=b x；y=c x；y=d x 的图象，则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是( )A.ab1cd B.ba 1 dcC.1a bc d D.ab1 dc思路解析：直线 x=1 与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1，a） 、 （1，b） 、 （1，c） 、（1，d） ，由图象可
2、知纵坐标的大小关系.答案：B3.函数 y=ax-3+3（a0 且 a1）恒过定点_.思路解析：a 3-3+3=a0+3=4.答案：（3，4）4.某种细菌每隔两小时分裂一次（每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计） ，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数 y 是研究时间 t 的函数，记作y=f（t） ，（1）写出函数 y=f（t）的定义域和值域；（2）在所给坐标系中画出 y=f（t） （0t 6=的图象；（3）写出研究进行到 n 小时（n0，nZ）时，细菌的总数有多少个（用关于 n 的式子表示）?解：（1）y=f（t）定义域为 t0，+ ，值域为y|y=2 n，nN *.
3、（2）0t6 时，为一分段函数y= .4,8,tt图象如下图.（3）n 为偶数时，y= ；n 为奇数时，y= .1212ny= .,2,1为 奇 数为 偶 数nn10 分钟训练 (强化类训练，可用于课中 )1.已知镭经过 100 年剩余的质量是原来质量的 0.957 6，设质量为 1 的镭经过 x 年后，剩留量是 y，则 y 关于 x 的函数关系是( )A.y= B.y=（ ） x10957. 0957.C.y=0.957 6100x D.y=1- 142.思路解析：首先应求出经过一年后放射掉其质量的百分比，然后求得放射一年后剩余原来质量的百分比，再根据 x、y 的函数应该是指数函数，就可得正
4、确答案.设镭一年放射掉其质量的 t%，则有 0.957 6=1（1-t%） 100.t%=1-（0.957 6 .y=（1-t%） x=（0.957 610).选 A.10)x答案：A2.当 x0 时，函数 f（x）=（a 2-1） x 的值总大于 1，则实数 a 的取值范围是( )A.1|a| B.|a|12C.|a|1 D.|a| 2思路解析：由指数函数的性质，可知 f（x）在（0，+ ）上是递增函数，所以 a2-11，a 22，|a| .答案：D3.已知函数 f（x）=a x+a-x（a0 且 a1） ，f （1）=3，则 f（0）+f（1）+f（2）的值为_.思路解析：f（0）=a 0
5、+a0=2， f（1）=a+a -1=3，f （2）=a 2+a-2=（a+a -1） 2-2=9-2=7,f（0）+f（1）+f（2）=12.答案：124.函数 y=（2m-1） x 是指数函数，则 m 的取值是_.思路解析：考查指数函数的概念.据指数函数的定义，y=a x 中的底数 a 约定 a0 且 a1.故此 2m-10 且 2m-11，所以 m 且 m1.21答案：m 且 m125.已知 + =3，求 a2+a-2 的值.1a思路解析：本题考查指数的运算.从已知条件中解出 a 的值，再代入求值的方法不可取，应该设法从整体寻求结果与条件 + =3 的联系进而整体代入求值.21解：将 +
6、 =3 两边平方得 a1+a-1+2=9，即 a1+a-1=7.再将其平方，有 a2+a-2+2=49，从而21a得到 a2+a-2=47.6.已知 f（x）= +a 为奇函数.3x（1）求 a 的值；（2）求函数的单调区间.思路解析：本题考查函数的奇偶性、单调性及运算能力.主要是利用和巩固奇偶函数的定义、单调函数的定义.解：（1）f（-x）= +a= +a=-1+a- =-1+2a-f（x） ，由 f（-x ）=-f（x） ，13xx31x得-1+2a=0.a= .2（2）对于任意 x10，x 20，且 x1 ， 0 ；当 0 ， 1， 1.2x1x2xf（x 1）-f（x 2）0.函数的单
7、调递减区间为（-，0） ， （0，+ ）.7.如果函数 y=a2x+2ax-1（a0，a1）在区间-1，1上的最大值是 14，求 a 的值.思路解析：利用换元法、配方法及等价转化思想.解：设 t=ax，则 y=f（t）=t 2+2t-1=（t+1） 2-2.当 a1 时，0a -1ta，此时 y max =a2+2a-1，由题设 a2+2a-1=14，得 a=3，满足 a1.当 0a1，t a，a -1 ，此时 y max =（a -1） 2+2a-1-1.由题设 a-2+2a-1-1= ，得 a= ，满足 0a 1.故所求的 a 的值为 3 或 .4311快乐时光 传话对说：“听说老王家的鸡
8、刚生出的蛋落地便破壳，马上变出了小鸡.”告诉：“新鲜事，老王家的鸡生出的蛋，壳还没破，就变成了小鸡.”又对说：“真怪，老王家的鸡直接生出了小鸡！”又对说，告诉了，告诉了恰好巧遇，告诉：“奇迹，老王家的鸡生出一只小乌龟！”30 分钟训练 (巩固类训练，可用于课后 )1.若函数 y=ax+b-1（a0 且 a1）的图象经过一、三、四象限，则一定有( )A.a1 且 b0 D.a1 且 b0 且 a1）的图象经过一、三、四象限，则必有 a1；进而可知 .0,10)(1bafa答案：D2.如果函数 y=（a 2-4） x 在定义域内是减函数，则 a 的取值范围是( )A.|a|2 B.|a| 5C.|
9、a|0.思路解析：本题以复合函数为载体判断函数的奇偶性，并利用函数的奇偶性证明不等式.（1）解：函数的定义域为x|x0.f（-x）=-x =-x =x =f（x） ，)12(x)2(x)1(2x函数为偶函数.（2）证明：由函数解析式，当 x0 时，f （x）0.又 f（x）是偶函数，当 x0.当 x0，即对于 x0 的任何实数 x，均有 f（x）0.11.设函数 f（x）是定义在 R 上的增函数，且 f（x）0，对于任意 x1、x 2R，都有f（x 1+x2）=f （ x1）f（x 2）.（1）求证：f（x 1-x2）= ；)(21f（2）若 f（1）=2，解不等式 f（3x）4f（x）.思路
10、解析：由于函数 y=ax 具有本题中 f（x）的条件与结构，因而在解题时可以用指数函数y=ax（a0 且 a1）为模型类比.本题考查抽象函数的性质.（1）证明：f（x 1）=f（x 1-x2+x2）=f（x 1-x2）f （x 2） ，又 f（x）0，f （x 1-x2）=.)(21xf（2）解：f（1）=2，2f（x）=f（1）f（x）=f（1+x） ，4f（x）=22f（x）=f（1）f（1+x ）=f（2+x）.那么 f（3x）4f（x）可化为 f（3x）f（2+x）.又函数 f（x）是定义在 R 上的增函数，由 f（3x）f（2+x ）得 3x2+x，即 x1.故不等式 f（3x）4f
11、（x）的解集是 x|x1.12.定义在 R 上的函数 y=f（x ） ，f（0）0，当 x0 时，f（x）1，且对任意的 a、bR，有 f（a+b）=f （a）f（b） .（1）证明 f（0）=1；（2）证明对任意的 xR，恒有 f（x）0；（3）证明函数 y=f（x）是 R 上的增函数.思路解析：本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助 y=2x 理清解答的思路和方法.证明：（1）取 a=b=0，则 f（0）=f 2（0）.f（0）0，f（0）=1.（2）当 x0 时，f（x）10 成立，当 x0，f（0）=f（x-x ）=f（x）f（-x）=1，f （x）= 0.)(1fxR 时，恒有 f（x）0.（3）法一：设 x10.f（x 2）=f（x 2-x1+x1）=f（x 2-x1）f （x 1）.x 2-x10，f（x 2-x1）1.又 f（x 1）0 ，f（x 2-x1）f （x 1）f（x 1）.f（x）是 R 上的增函数.法二：设 x2=x1+t（t0） ，f（x 2）=f（x 1+t）=f（x 1）f（ t）f（x 1）.或者设 x11.)0()()(111 ffff 又 f（x 1）0 ，f（x 2）0，f（x 2）f（x 1）.高考试-题库
