1、第二章 函数( 二)二、指数函数与对数函数知识网络范题精讲一、指数及对数运算【例 1】 (1)已知 =3,求 的值；21x3223x(2)已知 lg(x+y)+lg(2x+3y)lg3=lg4+lgx+lg y,求 的值.(1)分析:由分数指数幂运算性质可求得 和 x2+x 2 的值.32解: =3，21x )(3)(212132 x=3333=18.x2+x2 =(x+x1 )22=( 2 22=(3 22) 22=47.12)x原式= .5478(2)分析:注意 x、y 的取值范围，去掉对数符号，找到 x、y 的关系式.解:由题意可得 x0,y0,由对数运算法则得lg(x+y)(2x+3y
2、)=lg(12xy),则(x+ y)(2x+3y)=12xy.(2xy)( x3y)=0,即 2x=y 或 x=3y.故 或 =3.1评注:条件代数式的求值问题包括以下三个方面 :(1)若条件简单,结论复杂,可从化简结论入手用上条件;(2) 若条件复杂,结论简单,可从化简条件入手,转化成结论的形式;(3)若条件与结论的复杂程度相差无几时,可同时对它们进行化简,直到找出它们之间的联系为止.对于齐次方程的化简,也可在方程两边同除以某一齐次项,把方程转化成要求的代数式为未知数的方程的形式.二、指数函数、对数函数的性质应用【例 2】 已知函数 y= (a2x)loga2( )(2x 4) 的最大值为
3、0，最小值为 ，1log181求 a 的值.解:y= (a2x)loga2( )1log=log a(a2x) loga(ax)= (2+logax)(1+logax)= (logax+ )2 ,13812x4 且 y 0,log ax+ =0,即 x= 时，y min= .2323a81x21, 1 0a1.23又y 的最大值为 0 时，log ax+2=0 或 logax+1=0,即 x= 或 x= . =4 或 =2.21a21又0a1,a= .评注:(1)若不注意发现隐含条件“0 a1“则会造成不必要的分类讨论.(2)在最值问题中以二次函数为内容的最值最常见，而且许多表面上非二次函数最
4、值问题通过适当变形都可以转化为二次函数最值.三、指数函数、对数函数图象的应用【例 3】 已知 a0，且 a1，函数 y=ax与 y=loga(x)的图象只能是下图中的-1-1111111A B C Dx x x x y y y y OOOO解法一:首先，曲线 y=ax只可能在上半平面，y=log a(x )只可能在左半平面上，从而排除 A、C.其次，从单调性着眼,y=a x与 y=loga(x)的增减性正好相反，又可排除 D.应选 B.解法二:若 0a1，则曲线 y=ax下降且过点(0,1)，而曲线 y=loga(x)上升且过( 1，0),以上图象均不符合这些条件.若 a1，则曲线 y=ax上
5、升且过点(0 ，1)，而曲线 y=loga( x)下降且过(1，0) ，只有B 满足条件 .解法三:如果注意到 y=loga(x) 的图象关于 y 轴的对称图象为 y=logax，又 y=logax 与y=ax互为反函数 (图象关于直线 y=x 对称) ，则可直接选定 B.评注:要养成从多角度分析问题，解决问题的习惯，培养思维的灵活性.四、函数应用举例【例 4】 某企业实行裁员增效，已知现有员工 a 人，每人每年可创纯利润 1 万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收 0.01 万元，但每年需付给下岗工人 0.4 万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现
6、有员工的 ，43设该企业裁员 x 人后纯收益为 y 万元.(1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围;(2)当 140a280 时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益.( 注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁)解:(1)由题意可得y=(ax)(1+0.01x) 0.4x= x2+( )x+a.10104ax a x ,43即 x 的取值范围是(0, 中的自然数 .(2)y= x( 70) 2+ ( 70) 2+a1010且 140a280, 70(0, .24a当 a 为偶数时，x= 70,y 取最大值;当 a 为奇数时，x= 70 或 x= 70.121尽可能少裁人，x= 70.a评注:应用题的解题过程:原原原原原原原原原原原原原原 原原原原原原 原原原原原原原原 原原原原高考试题库
