1、2.2.2 对数函数及其性质5 分钟训练 (预习类训练，可用于课前 )1.函数 f（x）=|log 2x|的图象是 ( )思路解析：考查对数函数的图象及图象变换.注意到 y=|log2x|的图象应是将 y=log2x 的图象位于 x 轴下方的部分翻折到 x 轴的上方，故选 A.答案：A2.若 loga 2log b 20，则 a、b 满足的关系是( )A.1ab B.1ba C.0ab1 D.0ba1思路解析：考查 y= loga x 和 y=logbx 的图象.当 x=2 时，又 loga 2log b20，所以 y= loga x和 y=logbx 为减函数 .a 、b 均小于 1.又由
2、loga 2log b2 知 y= loga x 的图象与 y=logbx 的图象如下图所示.故 0ba1.答案：D3.函数 y= loga（x-2）+1（a 0 且 a1）恒过定点_.思路解析：若 x-2=1，则不论 a 为何值，只要 a0 且 a=1，都有 y=1.答案：（3，1）4.函数 f（x）=log （a-1） x 是减函数，则 a 的取值范围是_.思路解析：考查对数函数的概念、性质.注意到 a-1 既受 a-10 且 a-11 的制约，又受减函数的约束，由此可列关于 a 的不等式求 a.由题意知 0a-1 1，1a2.答案：1a210 分钟训练 (强化类训练，可用于课中 )1.（
3、2006 广东高考）函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是 ( )x132A.(- ,+) B.(- ,1) C.(- , ) D.(-,- )31 3131思路解析：要使函数有意义，则 解得- ，即有 -x1 -x20，lg （ -12122 1x1）lg（ -x2） ，即 f（x 1）f （x 2）成立.f（ x）在（0，+）上为减函数.又xf（x）是定义在 R 上的奇函数，故 f（x）在（- ，0）上也为减函数 .6.作出下列函数的图象：（1）y=|log 4x|-1；（2）y= |x+1|.31log思路解析：（1）y=|log 4x|-1 的图象可以看成由 y=log4x 的
4、图象经过变换而得到：将函数y=log4x 的图象在 x 轴下方部分以 x 轴为对称轴翻折上去，得到 y=|log4x|的图象，再将y=|log4x|的图象向下平移 1 个单位，横坐标不变，就得到了 y=|log4x|-1 的图象.（2）y= |x+1|的图象可以看成由 y= x 的图象经过变换而得到：将函数 y= x31log31log 31log的图象作出右边部分关于 y 轴的对称图象，即得到函数 y= |x|的图象，再将所得图象向31log左平移一个单位，就得到所求的函数 y= |x+1|的图象.31l解：函数（1）的图象作法如图所示.函数（2）的图象作法如图所示.7.函数 y=lg|x|
5、( )A.是偶函数，在区间（-，0）上单调递增 B.是偶函数，在区间（- ，0）上单调递减C.是奇函数，在区间（0，+ ）上单调递增 D.是奇函数，在区间（0，+）上单调递减思路解析：画出函数 y=lg|x|的草图即得答案.在画函数 y=lg|x|的草图时，注意应用函数y=lg|x|是个偶函数，其图象关于 y 轴对称.比如列表时，要先确定对称轴，然后在对称轴的两侧取值列表.答案：B8.已知 f（x）=1+log x3，g（x）=2log x2，试比较 f（x）与 g（x）的大小.思路解析：要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负，再将
6、商同“1”比较大小.因为本题中的 f（x）与g（x）的正负不确定，所以采取作差比较法.解：f（x）和 g（x）的定义域都是（ 0，1）（1，+ ）.f （x）-g（x）=1+log x3-2logx2=1+logx3-logx4=logx x.43（1）当 0x1 时，若 0 x1，即 0x ，此时 logx x0，即 0x1 时，34f（x）g（x） ；（2）当 x1 时，若 x1，即 x ，此时 logx x0，即 x 时，f（x）g（x） ；43 34若 x=1，即 x= ，此时 logx x=0，即 x= 时，f （x）=g（x） ；4334若 0 x1，即 0x ，此时 logx x
7、0，即 1x 时，f（x）g（x）.3综上所述，当 x（0，1）（ ，+）时，f （x）g（x） ；34当 x= 时，f （x）=g （x） ；34当 x（1， ）时，f（x） g（x）.快乐时光 七个男人和一个女人朋友闲来无事，到街上遛达，看到有一录像点高挂着牌子，写着：今晚精彩录像七个男人与一个女人的故事 ，莫失良机.朋友好奇心发作，买票进场.待人坐齐以后，开始放映.一开场屏幕上出现了真实片名八仙过海.30 分钟训练 (巩固类训练，可用于课后 )1.如下图，当 a1 时，在同一坐标系中，函数 y=a-x 与 y= loga x 的图象是( )思路解析：首先把 y=a-x 化为 y=（ ）
8、x，a 1，0 1.因此 y=（ ） x，即 y=a-xaa1的图象是下降的，y= log a x 的图象是上升的.答案：A2.（2006 福建高考，文）已知 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 00=x|x2 或 x2.G F.答案：A4.已知函数 f（x）=log 2（x 2-ax+3a）在2，+上是增函数，则实数 a 的取值范围是( )A.（-，4） B.（-4 ， 4 C.（-，-4）2，+ D.-4，4) )思路解析：解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.令 u（x）=x 2-ax+3a，其对称轴 x= .2a由题意有 .,034)(u解得-41)的反函数是( )1x
9、A.y= (x0) B.y= (x0) D.y= (x0,由于 y=log2 (x1)=log2 =log2(1+ ),所以 1+ =2y,x= +1= .将1x1x1x1x21yx,y 对调，可得反函数为 y= (x0).x答案：A6.已知函数 f（x）=log a （a1 且 b0）.（1）求 f（x）的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）判断 f（x）的单调性，并用定义证明 .思路解析：本题考查定义域、单调性的求法及判断方法，注意要利用定义求解.解：（1）由 解得 x-b 或 xb.,0bx函数 f（x）的定义域为（-，-b）（b，+）.（2）由于 f（-x）= loga（ ）= lo
10、ga（ ）= loga（ ） -1=- loga（ ）=-bxbxbxbxf（x） ，所以 f（x）为奇函数.（3）设 x1、x 2 是区间（b，+）上任意两个值，且 x1x 2.则 - = .21 )()()12212121 bxbxb0，x 1-x20，x 2-b0，x 1-b0， - 0.bx21 .21又 a1 时，函数 y= loga x 是增函数，log a log a ，即 f（x 2）f （x 1）.bx21函数 f（x）在区间（b，+）上是减函数.同理，可证 f（x）在（-，-b）上也是减函数.7.已知 f（x）=log a （a0 且 a1）.x1（1）求函数的定义域；（2
11、）讨论函数的单调性；（3）求使 f（x）0 的 x 的取值范围.解：（1）由 0 得-11 时，log a loga ，即 f（x 1）f（x 2）.2x2当 a1 时，f（x）为（-1 ， 1）上的增函数；当 00= loga 1.当 a1 时， 1，即 -1= 0.xx122x（x-1）1 时，f （ x）0 的解为（0，1） ；当 00 的解为（-1，0）.8.设函数 f（x）=x 2-x+b，且 f（log 2a）=b，log 2f（a） =2（a1） ，求 f（log 2x）的最小值及对应的 x 的值.思路解析：关键是利用已知的两个条件求出 a、b 的值.解：由已知得 ,2)(log
12、l2ba即 )(1.4,0(l2ba由得 log2a=1，a=2.代入得 b=2.f（x）=x 2-x+2.f（log 2x）=log 22x-log2x+2=（log 2x- ） 2+ .147当 log2x= 时， f（log 2x）取得最小值 ，此时 x= .19.设 a0，对于函数 f（x）=log 3（ax 2-x+a） ，（1）若 xR，求实数 a 的取值范围；（2）若 f（x）R，求实数 a 的取值范围.思路解析：f（x）的定义域是 R，等价于 ax2-x+a0 对一切实数都成立，而 f（x）的值域为 R，等价于其真数 ax2-x+a 能取遍大于 0 的所有实数值， （1）与（2
13、）虽只有一字之差，但结果却大不相同.解：（1）f（x）的定义域为 R，则 ax2-x+a0 对一切实数 x 恒成立，其等价条件是解得 a .04,2a1（2）f（x）的值域为 R，则真数 ax2-x+a 能取遍大于 0 的所有实数，其等价条件是解得 0a .1,210.已知 a0 且 a1，f（log a x）= （x- ）.12x（1）试证明函数 y=f（x）的单调性.（2）是否存在实数 m 满足：当 y=f（x）的定义域为（-1，1）时，有 f（1-m）+f（1-m 2）1 时， 0；0 ，a 2-11b0）.（1）求 y=f（x）的定义域；（2）在函数图象上是否存在不同两点，使过这两点的
14、直线平行于 x 轴？思路解析：（2）的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题.解：（1）由 ax-bx0，得（ ） x1=（ ） 0.ba 1，x0.b函数的定义域为（0，+）.（2）先证明 f（x）是增函数 .对于任意 x1x20，a1b0， ， - .1xab2lg（ - ）lg（ - ）.1x2xabf（x 1）f（x 2）.f（x）在（0，+）上为增函数.假设 y=f（x）上存在不同的两点 A（x 1，y 1） 、B （x 2，y 2） ，使直线 AB 平行于 x 轴，则x1x 2，y 1=y2，这与 f（x）是增函数矛盾.y=f（x）的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于 x
15、 轴.12.2006 年春节晚会的现场上无数次响起响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到了 90.1 分贝.分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级（spl）来描述声音的大小：把一很小的声压 P0=210-5 帕作为参考声压，把所要测量的声压 P 与参考声压 P0 的比值取常用对数后乘以 20 得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝（dB）.分贝值在 60 以下为无害区，60110 为过渡区，110 以上为有害区.（1）根据上述材料，列出分贝 y 与声压 P 的函数关系式.（2）某地声压 P=0.002 帕，试问该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？思路解析：由已知条件即可写出分贝 y 与声压 P 之间的函数关系式，然后由函数关系式求得当 P=0.002 帕时，分贝 y 的值.由此可判断所在区.解：（1）由已知 y=（lg ）20=20lg （其中 P0=210-5）.0P0（2）将 P=0.002 代入函数关系 y=20lg ，则 y=20lg =20lg102=40（分贝）.0512.由已知条件知 40 分贝小于 60 分贝，所以在噪音无害区，环境优良.
