1、复数中的几个结论及共应用数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.一、中点公式：A 点对应的复数为 11()abiR， B点对应的复数为222()abiR， C点为 AB，两点的中点，则 C点对应的复数为 12abii，即 11i例 1 四边形 BD是复平面内的平行四边形， AB，三点对应的复数分别为32ii，求 点对应的复数解：由已知应用中点公式可得 AC，的中点对应的复数为 32i，所以 D点对应的复数为 (1)352ii二、
2、根与系数的关系：若实系数方程 20()axbca的两复根为 1abi，2abi，则有 12babii， 12()(ii推论：若实系数方程 0xca有两虚数根，则这两个虚数根共轭例 2 方程 2ab的一个根为 i，求实数 a， b的值解：已知实系数方程的一个根为 1，由推论知方程的另一根为 1i，由根与系数的关系可知 (1)i， ()2i三、相关运算性质： z为实数 220zz， z为纯虚数20(0)zz；对任意复数有 ； 1212； 12z，特别地有 2()； 12z； 2z例 3 设 z，且 zi，求证 2z为实数证明：由条件可知 0，则 1，所以 1z，12 2222()()zzzz，所以
3、 21z为实数四、两则几何意义： 0z的几何意义为点 z到点 0的距离； 0()zr中z所对应的点为以复数 0所对应的点为圆心，半径为 r的圆上的点例 4 若 zC，且 21zi，则 2zi的最小值为 解： 21i即 ()i， 对应的点为到点 (2)，的距离为定值 1 的所有的点，即以 ()，为圆心，1 为半径的圆 O上的点 zi即 )zi，为圆 O上的点与点 2之间的距离减去圆 的半径，可得结果为 3复数与平行四边形家族菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径在求解复数问题时，要善于考察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简
4、捷明快、生动活泼的解决方法下面略举几例，以供参考一、复数式与长方形的转化例 1 复数 1z， 2满足 120z， 1212zz，证明：210z解析：设复数 1， 2在复平面上对应的点为 1Z， 2，由 1212zz知，以 1OZ，2OZ为邻边的平行四边形为矩形， 12O ，故可设 2(0)kiR，所以2210zk例 2 已知复数 1z， 2满足 17z， 271z，且 124z，求 12z与12的值解析：设复数 1z， 2在复平面上对应的点为 1Z， 2，由于 22(71)()4，故 21z，故以 1OZ， 2为邻边的平行四边形是矩形，从而 12OZ，则127473zii； 12124zz二、
5、复数式与正方形的转化例 3 已知复数 12z，满足 12z，且 12z，求证： 12z证明：设复数 在复平面上对应的点为 Z， ，由条件知 12z，以 1OZ， 2为邻边的平行四边形为正方形，而 12z在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以 12z点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加法几何意义的运用是本题考查的重点三、复数式与菱形的转化例 4 已知 12z，C， 12z， 123z，求 12z解析：设复数 ， 在复平面上对应的点为 3Z，由 12z知，以1OZ， 2为邻边的平行四边形是菱形， 2za ， z ，考虑到 a时，20za； zai时，2z无意义，故使2(0)为纯虚数的充要条件是，且 ， 复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提通过本文我们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活
