1、拨云去“误”探正解均值不等式 （ 均是正实数） ，被称为“垂要不等式” 利用均值不2ab ab，等式求最值等问题时，必须满足三个条件：一正、二定、三相等这三个条件缺一不可，否则就会导致错误1忽视正实数条件例 1 当 时，求函数 的值域0x1yx误： ，2yA函数 的值域是 1x，点拨：误解的原因是忽视了均值不等式 成立的前提条件： 必须是2ab ab，实数由于 与 同号，则需分 ， 两种情况讨论x0x正：当 时， ，当且仅当 时，等号成立：当 时，01y 10x， ， ， ，当且仅当 时，等号成x12x 2yx 1立故所求函数的值域为 ， ，2忽视定值条件例 2 已知 ，求 的最小值3a43a
2、误： ， 均为正实数，当且仅当 ，即 时， 有最小值 423aaA 43a43a8点拨：误解的原因是忽视了利用均值不等式 求“和”的最小值时，其2b“积”必须是定值由 得 ，所以欲使各为定值，需作恒等变形30(3)a正： ，当且仅当444()2(3)373aa时，等号成立，即 时， 有最小值 3a53忽视等式成立条件例 3 求函数 的最小值254xy误： ，2222()114xxx有最小值 254y点拨：误解的原因是忽视了等式成立的条件当难以直接利用均值不等式求最值时，可先作恒等变形，再利用函数的单调性求最值正：设 ，则 2xt2254y2214x(2)t在 上是增函数，1t，当 时， 有最小值 2y52例 4 已知 ， ，且 ，求 的最小值0x19xyxy误： ， ，且 ，y199()212xxyxA故 的最小值为 y点拨：误解的原因是连续两次运用均值不等式，忽视了等号同时成立的条件，这时可通过变形转化为仅一次运用均值不等式正： ，199()0yxxyx910216yxA当且仅当 ，且 ，y即 ， 时， 有最小值 4x12yx16
