1、定积分的概念 同步测试说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 74 分，第二卷 76 分，共 150 分；答题时间 120 分钟一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分） 1将和式的极限 表示成定积分 （ )0(.321lim1pnPppn）A B C Ddx10dxp10 dxp10)(dxnp10)(2下列等于 1 的积分是 （ ）A B C Dx0 x10)(x10 x1023 = （ d|4|12）A B C D3232354已知自由落体运动的速率 ，则落体运动从 到 所走的路程为 （ gtv0
2、t0t）A B C D320gt20t20gt620gt5曲线 与坐标周围成的面积 （ 3,cosxy）A4 B 2 C D3256 = （ dxex10)(）A B 2e C Dee17求由 围成的曲边梯形的面积时，若选择为积分变量，则积分区间为1,2yxey（ ）A 0， B 0，2 C 1，2 D 0，18由直线 ，及轴围成平面图形的面积为 （ 1,xy）A B dy10 dx210C D2 x9如果 1N 力能拉长弹簧 1cm，为将弹簧拉长 6cm，所耗费的功是 （ ）A0.18 B0.26 C0.12 D0.2810将边长为 1 米的正方形薄片垂直放于比彼一时为 的液体中，使其上距液
3、面距离为 2米，则该正方形薄片所受液压力为 （ ）A B C D32dx21dx10dx321dx二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分） 11将和式 表示为定积分 )2.(limnnn12曲线 ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 1,02yxy13由 及 轴围成的介于 0 与 2 之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 cos14按万有引力定律，两质点间的吸引力 ，为常数， 为两质点的质量，21rmkF21,m为两点间距离，若两质点起始距离为，质点 沿直线移动至离 的距离为处，1试求所作之功（a） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分
4、) 15（12 分）计算下列定积分的值（1） ；（2） ；3)4(dx215)(dx（3） ；（4） ；20sin2cos16 （12 分）求曲线 与 轴所围成的图形的面积xy2317 （12 分）求由抛物线 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.axy4218 （12 分）一物体按规律 xbt 3 作直线运动，式中 x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求物体由 x0 运动到 xa 时，阻力所作的功19 （14 分）设 y=f（x）是二次函数,方程 f（x ）=0 有两个相等的实根，且f（x）=2x+2.（1）求 y=f（x）的表达式；（2）求 y=f（x）的图象与两坐标
5、轴所围成图形的面积.（2）若直线 x=t（0t1把 y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.20 （14 分）抛物线 y=ax2bx 在第一象限内与直线 xy=4 相切此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S求使 S 达到最大值的 a、b 值，并求 Smax参考答案一、1B；2C ；3C ；4C；5D；6D ；7B；8C；9A；10A；二、11 ；12 ；13 ；14 ；dx10 dx102)(dx20|cos| )1(21bamk三、15（1）（2）（3）（4）16解：首先求出函数 的零点： ， ， .又易判断出在xy231x023x内，图形在 轴下方，在 内，图
6、形在 轴上方，)0 ,1(x) ,0(OxyFABCDEG图所以所求面积为 dxxA0 123)( dx2 023)(123717解：焦点坐标为 ，设弦 AB、 CD 过焦点 F，且 ),aFAB由图得知： ，故 FBDEGCSSDOACS所求面积为： 22 02384ady18解：物体的速度 媒质阻力)(bttxV，其中 k 为比例常数，k042229)3(kbtkvFzu当 x=0 时，t=0；当 x=a 时， ，又 ds=vdt，故阻力所作的功为31)(at327713032002 )111 baktkbdtbkdvkvdsWtttzuz 19解：（1）设 f（x ）=ax 2+bx+c
7、，则 f（x ）=2 ax+b，又已知 f（x） =2x+2a=1，b=2.f（x）=x 2+2x+c又方程 f（x）=0 有两个相等实根，判别式 =44c=0，即 c=1.故 f（x）=x 2+2x+1.（2）依题意，有所求面积= .31|)31()2( 0201 xdxx（3）依题意，有 ，tt )(021 ， t3+t2t+ = t3t 2+t，2t 36t 2+6t1=002312 |)1( tt xx1，2（t1） 3=1，于是 t=1 .32评述：本题考查导数和积分的基本概念.20解 依题设可知抛物线为凸形，它与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1=0，x 2=b/a，所以(1)320261)(badxaSb又直线 xy=4 与抛物线 y=ax2bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组 bxy24得 ax2(b 1)x4=0 ，其判别式必须为 0，即(b1) 216a=0于是 代入（1）式得：,)(62a， ； )0(,)1628)(43bbS 52)1(38(bS令 S(b)=0；在 b0 时得唯一驻点 b=3，且当 0b3 时，S(b)0；当 b3 时，S(b)0故在 b=3 时，S(b)取得极大值，也是最大值，即 a=1，b=3 时，S 取得最大值，且29maxS
