1、2.5.1 平面几何中的向量方法学习目标：会利用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、距离、夹角等问题培养和发展运算能力和解决实际问题的能力体会几何论证的严谨、优雅，以及它给人的美感和享受，锻炼自己的抽象思维能力教学重点：平面几何中的向量方法教学难点：平面几何中的向量方法教学方法：讨论式教具准备：多媒体投影教学过程：（）新课引入：师：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何意义，所以平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此可以用向量方法解决平面几何中的一些问题本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用（）讲授新
2、课：例 1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和已知：平行四边形 ABCD求证： 222ACBDCDA分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积注意到 ， ，我BDAB们计算 和 2|2|证明：不妨设 a， b，则ABa+b， a-b， |a|2， |b|2CD|A ( a+b)( a+b)2|C= aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2 同理 |a|2-2ab+|b|2 |B+得 2(|a|2+|b|2)=2( )A|AB2|D所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和师：你能用几何方法解决这个问题吗？生：（探索、研究得出
3、本例的几何证法如右图）略师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系例 2，如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AD、DC 边的中点，BE、BF 分别与 AC 交于R、T 两点，你能发现 AR、RT、TC 之间的关系吗？分析：由于 R、T 是对角线 A
4、C 上两点，所以要判断 AR、RT、TC 之间的关系，只需要分别判断 AR、RT、TC 与 AC 之间的关系即可解：设 a， b，则 a+bABDAC 与 共线R 存在实数 m，使得 =m(a+b)R又 与 共线E 存在实数 n，使得 =n = n( b- a)BE12由 = n ，得ARBAm(a+b)= a+ n( b- a)整理得 a b012由于向量 a、b 不共线，所以有 ，解得 1nm132mn所以 3ARC同理 1T于是 所以 ARRTTC说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数发誓用向量方法证明平面几何问题的常用方法例 3 已知ABC 三条高线 AD、BE、
5、CF，求证：AD、BE、CF 交于一点分析：三角形的三条高分别与对应边互相垂直，我们可以借此建立平面直角坐标系，然后运用向量的坐标运算解决问题解：如图，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 A 垂直于BC 的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系设 A、B 、C 三点的坐标分别为 ， ，(0,)a(,)Bb，且 BE、CF 交于点 ，则(,0)c,Hxy， ，(,)Hxby(c， a,) ， ，BAB ，解得 ()0cxyb0x所以，点 H 在 y 轴上，即点 H 在 AD 上，AD 、BE、CF 交于一点（）课后练习：课本 练习 习题 2.5 B 组 125P（）课时小结:几何中的向量方法完全与几
6、何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来替代“数和数的运算”.这就是把点、线等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线的相应结果如果把代数方法简单地表述为形到数数的运算数到形 ，则向量方法可以简单的表述为形到向量向量的运算向量和数到形 （）课后作业：课本 练习 习题 2.5 A 组 125P预习课本 ，思考下列问题：4125怎样把物理问题转化为数学问题？如何用数学模型来解释相应的物理现象？板书设计：2.5.1 平面几何中的向量方法例 用向量法解平面几何 例 2 小结问题的“三步曲” 预习提纲教学后记:2.5.2 向量在物理中
7、的应用举例学习目标：学会运用向量的有关知识解决物理中有关力的分解与合成，速度的分解与合成、位移的分解与合成以及有关功的计算培养探究意识，提高运用数学知识解决实际问题的能力体会学科间的联系，以及数学工具应用的广泛性与重要性教学重点：向量在物理中的应用教学难点：向量在物理中的应用教学方法：讨论式教具准备：用几何画板演示例 3、例 4教学过程：（）新课引入：师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量在物理中的运用（）讲授新课：例 3 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一
8、个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型只要分析清楚 F、G、 三者之间的关系（其中 F 为F1、F 2 的合力） ,就得到了问题的数学解释解：不妨设|F 1|=|F2|， 由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F1|= |2cos通过上面的式子我们发现，当 由 逐渐变大时， 由 逐渐018209变大， 的值由大逐渐变小，因此，|F 1|有小逐渐变大，即 F1、F 2 之间的cos2夹角越大越费力，夹角越小越省力 （用几何画板演示）师：请同学们结合刚才课
9、件的演示，思考下面的问题： 为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？|F 1|能等于|G|吗？为什么？生：当 时，|F 1|最小，最小值是 |G|，当 时，|F 1|=|G|0 1220例 4 如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从 A 处出发到河对岸已知船的5d速度|v 1|=10km/h，水流的速度|v 2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到 0.1min)？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度 v 必须垂直于对岸 （用 几何画板演示水流速度对船的实际航行的影响）解： = (km/h)，|21|96v所以， (min)0.53.1|dt答：行驶航程最短时，所用的时间是 3.1 min（）课后练习：课本 练习 习题 2.5 B 组 126P（）课时小结:用向量知识解决物理问题的一般思路是：物理问题 数学问题 向量运算 物理问题的结论 转 化 利 用 得 到力、速度、位移的分解与合成中，涉及到向量长度的有关问题，通常用平方的技巧，然后转化到向量的数量积上来（）课后作业：课本 练习 习题 2.5 A 组 125P板书设计：2.5.2 向量在物理中的应用举例例 3 例 4 练习 小结预习提纲教学后记:
