1、平面向量的实际背景及基本概念平面向量的线性运算教材解读一、要点精讲1向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量，一般用 ， ， ，来表示，abc或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如 。向量的大小，即向量的AB模（长度） ，记作 。AB注：向量与数量不同，数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小。（2）零向量：长度为零的向量，记为 ，其方向是任意的，零向量和任何向0量平行。（3）单位向量：模为 1 个单位长度的向量。（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为 。ab（5）共线向量（平行向量）：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平
2、行。这就是说，共线向量的方向相同或相反，向量 平行于 ，记ab作 。/ab注：对于非零向量 、 ，若 ，包括 与 平行或重合的情况，这与ab/ab几何中的两直线平行是有区别的；对于零向量的规定，解题时要特别注意；两个向量相等一定共线，但共线不一定相等。2向量的加减（1）向量的加法：已知向量 、 ，在平面上任取一点 ，作 ，abABa，再作向量 ，则向量 叫做 与 的和（或和向量） ，记作 ，BCbACb即 = 。a上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则。已知两个不共线的向量 、 ，作 ， ，则 、 、 三点不共abABaDbABD线，以 、 为邻边做平行四边形 ，则对角线上的向量
3、 。ABDCCab这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。向量加法满足交换律和结合律，即： ， 。ab()()abc注：当两个向量不共线时，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的，当两个向量共线时，平行四边形法则就不适用了。（2）向量的减法定义：已知向量 、 （如图） ，作 ， ，则 ，向量abOAaBbAa叫做向量 与 的差，并记作 ，即 。BA OOABbaab两个重要结论如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点a为起点，被减向量的终点为终点的向量。一个向量 等于它的终点相对于点 的位置向量 减去它的始点相对bBAOA于点 的位置向量 ，或简记为“终点向量减起点向
4、量” 。O3向量数乘（1）实数 和向量 的乘积是一个向量，记作 ， 的长 ，aaa的方向：a0,当 时 与 同 方 向 ，当 时 与 反 方 向 。当 或 时， 或 。0a0（2）向量数乘运算满足下列运算律：设 、 为实数，则： ；()a ； 。()b注：数乘向量与数与数的乘法是有区别的，前者是一个向量，后者是一个实数。4平面向量基本定理如果 ，则 ；反之，如果 ，则一定存在一个实数 ，使ab/ab0。注：利用该定理可以解决平面几何中两线段的平行、三角形相似、证明三点共线等问题。5轴上向量的坐标运算（1）设 ， ，若 ，则 ， 。1axe2bab12x12abxe（2）在数轴 上，已知点 的坐
5、标为 ，点 的坐标为 ，有 AB21ABx这就是说，轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。根据公式，又可以得到数轴上两点的距离公式： 。21x二、范例点悟例 1 一辆汽车从 点出发向西行驶了 100 公里到达 点，然后又改变方向AB向西偏北 走了 200 公里到达 点，最后又改变方向，向东行驶了 100 公里到05C达 点。D（1）作出向量 ， ， ；ABD（2）求 。分析：解答本题应首先确立指向标，然后再根据行驶方向确定出有关向量，进而求解。解析：（1）如图所示。05西 A东南北BCD（2）由题意易知， 与 方向相反，故 与 共线。CDABCD又 ，在四边形 中， 且 ，ABCAB
6、/四边形 为平行四边形。故 （公里） 。20D评注：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点。例 2 化简： 。()()ABCBD分析：该例为一基础题目，可有多种解法。解法 1：原式 ABDC()()A= 。0评注：该解法是将向量减法转化为加法进行化简的。解法 2：原式 ABCD= +()()=C= 。0评注：本解法是利用 ， 进行化简的。ABCDBC解法 3：设 为平面内任意一点，则有O原式 ABCD()()()()COADB= 。0评注：本解法是利用 关系进行化简的。MNO例 3 对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？（1）把所
7、有单位向量的起点平行移动到同一点 ；P（2）把平行于直线 的所有单位向量的起点平行移动到直线 的点 ；l lP（3）把平行于直线 的所有向量的起点平行移动到直线 的点 。分析：数学中的向量是自由向量，可以重新选择起点进行平移，只要平移前后两个向量相等即可。解析：（1）是以 点为圆心，以 1 个单位长为半径的圆；P（2）是直线 上与 的距离为 1 个单位长的两个点；l（3）是直线 。评注：本题是有关向量的平移变换、单位向量，以及集合等知识的综合题。例 4 已知非零向量 和 不共线，欲使 和 共线，试确定实数1e212ke12ke的值。k分析：若 与 共线，则一定存在 ，使 = （ ） 。12k12k1212ke解析： 与 共线，存在实数 ，使 = （ ） ，eeke则 。12()()kk由于 和 不共线， ，解得 。1e2 01k1k评注： 本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于的方程，用待定系数法解决问题。k
