1、2019/2/11,1,第三章 分层随机抽样,第一节 分层随机抽样的定义、使用场合以及符号 第二节 估计量及其性质 第三节 样本量的分配原则 第四节 样本量的确定 第五节 分层抽样的若干问题,2019/2/11,2,第一节 引 言,一、定义在抽样之前，先将总体N个单元划分成L个互不重复的子总体，每个子总体称为层，它们的大小分别为 ，这个层合起来就是整个总体 ，然后，在每个层中分别独立地进行抽样，这种抽样就是分层抽样，所得到的样本称为分层样本。 如果每层都是独立按照简单随机抽样进行，则称为分层随机抽样,不重不漏,2019/2/11,3,作用,分层抽样的抽样效率较高，也就是说分层抽样的估计精度较高
2、。这是因为分层抽样估计量的方差只和层内方差有关，和层间方差无关。 分层抽样不仅能对总体指标进行推算，而且能对各层指标进行推算。 层内抽样方法可以不同，而且便于抽样工作的组织。,2019/2/11,4,二、分层原则： 总体中的每一个单元一定属于并且只属于某一个层，而不可能同时属于两个层或不属于任何一个层。,1.估计：层内单元具有相同性质，通常按调查对象的不同类型进行划分。 2.精度：尽可能使层内单元的指标值相近，层间单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精度的目的。 3.估计和精度：既按类型、又按层内单元指标值相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类值以及提高估计精度的目的。 4.实施：抽样
3、组织实施的方便，通常按行政管理机构设置进行分层。,2019/2/11,5,例题,例如，对全国范围汽车运输的抽样调查，调查目的不仅要推算全国货运汽车完成的运量，还要推算不同经济成分（国有、集体、个体）汽车完成的运量。 为组织的方便，首先将货运汽车总体按省分层，由各省运输管理部门负责省内的调查工作。 各省再将省内拥有的汽车按经济成分分层。 为提高抽样效率，再对汽车按吨位分层。 例如，某高校对学生在宿舍使用电脑的情况进行调查，根据经验，本科生和研究生拥有电脑的状况差异较大。 因此，在抽样前对学生按本科生和研究生进行分层是有必要的。,2019/2/11,6,三、符号说明 (关于第h层的记号 ),层号,
4、2019/2/11,7,第二节 估 计 量,一、对总体均值的估计 分层样本，总体均值 的估计分层随机样本，总体均值 的简单估计,2019/2/11,8,估计量的性质,性质1：对于一般的分层抽样，如果 是 的无偏估计（ ），则 是 的无偏估计。 的方差为：只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。 各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。,2019/2/11,9,证明性质1,由于对每一层有因此，估计量的方差由于各层是独立抽取的，因此上式第二项中的协方差全为0，从而有,2019/2/11,10,性质2：对于分层随机抽样， 是 的无偏估计， 的方差为：,2019/
5、2/11,11,证明性质2：,对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽样，对每一层有因此，由性质1，有由第二章性质2，得因此,2019/2/11,12,性质3：对于分层随机抽样， 的一个无偏估计为：,2019/2/11,13,证明性质3：,对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽样，由第二章性质3，得 的无偏估计为：因此， 的一个无偏估计为：,2019/2/11,14,二、对总体总量的估计,总体总量 的估计为： 如果得到的是分层随机样本，则总体总量的简单估计为：,2019/2/11,15,2.估计量的性质,性质4：对于一般的分层抽样，如果 是 的无偏估计，则 是 的无偏估计。 的方差为：,20
6、19/2/11,16,性质5：对于分层随机抽样， 的方差为：,2019/2/11,17,性质6：对于分层随机抽样， 的一个无偏估计为：,2019/2/11,18,例3.1,调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单位：元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。,2019/2/11,19,2019/2/11,20,2019/2/11,21,三、对总体比例的估计,总体比例P的估计为： 估计量的性质,性质7：对于一般的分层抽样，如果 是 的无偏估计 （ ），则 是 的无偏估计。 的方差为
7、：,2019/2/11,22,性质8：对于分层随机抽样， 是 的无偏估计，,因而 的方差为：,2019/2/11,23,性质9：对于分层随机抽样， 的一个无偏估计为：,2019/2/11,24,例3.2,在例3.1的调查中，同时调查了居民户拥有家庭电脑的情况，获得如下数据（单位：台），要估计该地区居民拥有家庭电脑的比例及估计的标准差。,2019/2/11,25,解：由上表可得，根据前面对各层层权 及抽样比 的计算结果，可得各层估计量的方差：因此，该地区居民拥有家庭电脑比例的估计为：估计量的方差为：估计量的标准差为：,2019/2/11,26,第三节 样本量在各层的分配,确定样本量：总的样本量，
8、各层样本量 估计量的方差不仅与各层的方差有关，还和各层所分配的样本量有关。 实际工作中有不同的分配方法，可以按各层单元数占总体单元数的比例分配，也可以采用使估计量总方差达到最小、费用最小。,2019/2/11,27,【例3.1】,调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单位：元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。,2019/2/11,28,2019/2/11,29,2019/2/11,30,一、比例分配,按各层单元数占总体单元数的比例，也就是按各层的层权进行分配.对于分层随机抽
9、样，这时总体均值的估计是,自加权,2019/2/11,31,总体中的任一个单元，不管它在哪一个层，都以同样的概率入样，因此按比例分配的分层随机样本，估计量的形式特别简单。这种样本也称为自加权的样本。,总体比例的估计是,2019/2/11,32,二、最优分配,（一）最优分配 在分层随机抽样中，如何将样本量分配到各层，使得总费用给定的条件下，估计量的方差达到最小，或给定估计量方差的条件下，使总费用最小，能满足这个条件的样本量分配就是最优分配。,2019/2/11,33,对所有层成立时， 达到极小,常数,2019/2/11,34,简单线性费用函数，总费用由此得出下面的行为准则，如果某一层 单元数较多
10、 内部差异较大 费用比较省 则对这一层的样本量要多分配一些。,2019/2/11,35,（二）Neyman（内曼）分配,如果每层抽样的费用相同，最优分配可简化为这种分配称为Neyman分配。这时，达到最小。,2019/2/11,36,2019/2/11,37,例3.3,（续例3.1），如果样本量仍为40，则按比例分配和Neyman分配时，各层的样本量应为多少？ 按比例分配时，各层的样本量为：,2019/2/11,38,对于Neyman分配，,2019/2/11,39,某些层要求大于100%抽样时的修正,按最优分配时，有时抽样比f较大，某个层的 又比较大，则可能出现按最优分配计算的这个层的样本量
11、 超过 的情况。 实际工作中，如果第 k 层出现这种情况，最优分配是对这个层进行100%的抽样，即取 ，然后，将剩下的样本量 按最优分配分到各层。,2019/2/11,40,第四节 样本量的确定,令 当方差 给定时,2019/2/11,41,当按比例分配时， 实际工作中，n的计算可以分为两步，先计算： 然后进行修正：,2019/2/11,42,当按Neyman分配时，,2019/2/11,43,例3.4,（续例3.1），如果要求在95%置信度下，相对误差不超过10%，则按比例分配和Neyman分配时，总样本量分别为多少？,=267,2019/2/11,44,当按Neyman分配时：,2019/
12、2/11,45,二、最优分配需要考虑费用时,给定V时,2019/2/11,46,给定C时,2019/2/11,47,三、总体参数为P的情形,当方差给定时，如果 都比较大，使得,则总样本量为 （一）按比例分配,2019/2/11,48,（二）Neyman分配计算样本量之前，需要对 作预估计。,2019/2/11,49,例3.5,（续例3.2），如果要求在95%置信度下，绝对误差不超过5%，则按比例分配和Neyman分配时，总样本量分别为多少？按比例分配时：,2019/2/11,50,Neyman分配时：,2019/2/11,51,第五节 分层时的若干问题,一、抽样效果分析 通常分层抽样比简单随机
13、抽样的精度要高. 对于固定样本量的情况，如果 相对1可以忽略如果各层均值差异越大，则采用按比例分配的方式较好; 而当各层的标准差相差很大时，则最优分配更好。 在调查多个目标变量时，按比例分配的分层抽样可能更好些。,2019/2/11,52,2019/2/11,53,二、层的划分,（一）最优分层 按调查目标量进行分层当然是最好的，但我们在调查之前并不知道的值，因此，分层只能是通过与高度相关的辅助指标来进行。 累积平方根法:戴伦纽斯(Dalenius)与霍捷斯(Hodges)提出的，它的做法是将分层变量（例如）分布的累积平方根进行等分来获得最优分层，,2019/2/11,54,例3.6,某地区电信
14、部门在对利用电话上网的居民家庭安装ADSL意愿进行调查时，以辖区内最近三个月有电话上网支出的居民用户为总体（上网电话费为0.02元/分钟），并准备按上网电话费支出（记为）进行分层，试确定各层的分点。,2019/2/11,55,不等距,2019/2/11,56,最终累计频数是2712.949，如果取层数为4，则应每隔2712.949/4=678.237分一层，因此分点应该使得累计 最接近678.237、1357.474、2034.712，即较合理的分层是70。,2019/2/11,57,（二）层数的确定,因为要保证每个层有样本单元，因此层数不能超过样本量n，如果要给出估计量方差的无偏估计，则每层
15、至少两个样本单元，那么层数不能超过n/2。,2019/2/11,58,层数的增加确实能提高估计精度,以最简单的情形为例，是区间 上的均匀分布，则总体方差，样本量为 的简单随机抽样简单估计量的方差为 。将总体分成大小相同的 层，并按比例分配样本量，即 则,2019/2/11,59,除非 与 的相关系数 ，层数一般不超过6为宜。,2019/2/11,60,三、事后分层,实际工作中 没有层的抽样框 总体特别大来不及事先分层 几个变量都适合于分层，要进行事先的交叉分层比较困难，并且我们并不需要交叉分层后每个子层的估计，如需要按年龄分层的结果，还需要按受教育程度分层的结果，但并不需要这两个指标的交叉结果
16、。 出现离群值 提高估计精度,2019/2/11,61,使用事后分层技术时，还应注意事后层不宜太多。 简单随机样本，事后分层落到第层的样本量h,nh固定并都大于0的条件下,n足够大时，为无偏估计,2019/2/11,62,第一项就是按比例分配分层抽样估计量的方差，第二项表示因事后分层而非事先按比例分配分层引起的方差增加量。 只要样本量足够大，事后分层的精度与按比例分配事先分层的精度相当。,2019/2/11,63,如果样本是按某一个辅助指标分层后抽取的，只要这个事先分层抽样是严格按比例分配进行的，则这个样本是自加权的，总体中每个单元被抽中的概率相同，我们可以将这个样本看作简单随机样本，分别对其它指标进行事后分层估计。,2019/2/11,64,例3.7,某高校欲了解在校学生用于课外进修（如各种考证辅导班、外语辅导班等）的开支，在全校8000名学生中抽出了一个200人的简单随机样本，根据学生科的统计，本科生人数为全校学生的70，调查最近一个学期课外进修支出（元）的结果如下：,2019/2/11,65,试估计全校学生用于课外进修的平均开支。,2019/2/11,66,解：全校学生用于课外进修的平均开支为：(元) 估计的方差为：381.83 估计的标准差为： 19.54(元)如果采用简单估计,则估计的方差为：估计的标准差为： 20.57(元),
