1、利用导数研究函数的极值有些问题如果采用复合函数的求解方法，对学生逻辑思维能力要求比较高，并且通常集化归和讨论等数学思想于一体，容易使思维陷入混乱，对准确、迅速解题提出了更高的要求.而用导数法求解“双二次函数”的单调区间，方向明确，简单明了，是求“双二次函数”的单调区间的首选方法.下面对两种解法作一比较.例 )2(),28)( xfgxxf ，则 )(g在A 0,1上递减 B 10上递减 C 0,上递增 D(0,2)上递增解法一：直接采用求复合函数单调区间的一般方法思路点拨 容易知道 )(xf在 ),上递增，在 ),1(上递减，为讨论 2x在)1,(及 ),(上的单调性，必须先解不等式： 2x得
2、 1,x，得x或 .当 1x时， 12x， )(f递减；又 2在 )0(上递增，在),0(上递减，故 )(g在 )0,上递减，在 ,0上递增；当 1x或 时，12x， f递增，又 2x在 ),(上递增， ),(上递减，故 )(xg在),(上递增，在 ),(上递减.故选 A.把上面的叙述整理成下面的表格：x的范围 )0,1()1,0()1,(),(2t递增 递减 递增 递减的范围 ),(),()(tf递 减 递 增xg递减 递增 递增 递减评注：讨论“双二次函数”的单调性的根据是：设 nmubaxufy,),(),(都是单调函数，则 )(xgfy在 ba,上也是单调函数.(1)若 )(f是 ,上
3、的增函数，则 )(xgfy的增减性与 )(u的增减性相同；(2)若 )(ufy是 nm,上的减函数，则 )(f的增减性与 )(xg的增减性相反.解法二：利用导数法求单调区间解 )2(),28)( xfgxxf 4g xx)(3当 1或 0时， 0)(g.当 x或 时， x.当 或 1时， )(递增.当 01x或 时， xg递减.故选 A评注：该题直接用导数法求函数的单调区间，简明快捷.一般地，设函数 y f(x)在某个区间内可导如果 f (x)0，则 f(x)为增函数；如果 f (x)0 ，则 f(x)为减函数单调性是导数应用的重点内容，主要有三类问题：运用导数判断单调区间或证明单调性；已知单
4、调性求参数；先证明其单调性，再运用单调性证明不等式等问题下面举例说明一、求单调区间或证明单调性单调区间的求解过程：已知 )(xfy （1）分析 )(xfy的定义域；（2）求导数 ；（3）解不等式 0)(xf，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间例 1 求下列函数单调区间（1） 521)(3xxfy（2）2（3） xky2)0(（4） ln2xy解：（1） 23 )1(3x，),(x),1(时 0y320y ),(， ),(为增区间， )1,32(为减区间（2） 21xy， )0,(， ,为增区间（3） 2k， ),(x),(， 0y0k， ),(， (,
5、)为增区间； ),(k， ),(k减区间（4） xy142，定义域为 ,0),0(xy 减区间；210 增区间二、已知单调性求参数例 2 求满足条件的 a：（1）使 xysin为 R上增函数（2）使 3为 上增函数解：（1） axycos， a， 1时， xyin也成立 ),（2） xy23， 0a， 时， 3xy也成立 ),0a三、证明不等式若 )(xfy， ,ba 0恒成立， )(xfy为 ),ba上 对任意 ),(x 不等式 (f 恒成立（2） f恒成立， )(xfy在 ),上 对任意 ),(bax不等式 (bfa 恒成立例 3 求证下列不等式（1） x2sin ),0(（2） ta )
6、2,(x证： （1）原式 sin，令 sinxf 又 )2,0(x， 0cox， 0ta )tasf ， ),(x， (xf， )2,(，2f， sin（2）令 xxta)(， 0)(f xf 222 cos)in1cosse),0(x， 0(xf ),( sintan重视导数应用的热点题型导数的应用在新高考中已成为新的热点，特别是对实际问题的解答，更应予以重视.下面就具体例题谈谈导数的应用题型及应对策略.1求切线斜率根据导数的几何意义，函数 )(xf在点 0处的导数是曲线 )(xf在点 )(,0xfP处的切线斜率.因此求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数.例 1 求曲线 532
7、2 yyx在点 )1,(处的切线方程.分析 利用隐函数求导法则，得出在点 ),(处的切线斜率，从而可求出切线方程.解 对方程 022yxyx两边关于 x求导，得3 .解之得 2yx.易知 )1,(点在曲线上， 72)1,(y.曲线在点 )1,(处的切线方程为7xy，即 097y.评注：(1)两边对 求导，特别要注意 是 x的函数.(2)隐函数的导数表达式中常包含 x，两个变量.2求单调性利用可导函数判断函数单调性的基本方法：设函数 )(xfy在某个区间内可导，如果导数 0)(xf，则函数在这个区间上为增函数；如果导数 0，则函数 )(xf在这个区间上为减函数.例 2 (2004 全国卷理)已知
8、 ,Ra求函数 axef2)(的单调区间.解 函数 f(x)的导数： .)2(axaxaee（I）当 0时，若 ，则 f0.所以当 时，函数 f(x)在区间（，0）内为减函数，在区间（ 0，+）内为增函数.（II）当 ,2,2, xaaa或解 得由时由 .002xx解 得所以，当 时，函数 f(x)在区间（， ）内为增函数，在区间（ a2，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数；（III）当 0a时，由 02ax，解得 ax2,由 2x，解得 或 2.所以当 时，函数 )(xf在区间（，0）内为减函数，在区间（0， a2）内为增函数，在区间（ a2，+）内为减函数.3求极值利用可导函数求函
9、数极值的基本方法：设函数 )(xfy在点 0处连续且 0)(xf.若在点 0x附近左侧 0)(xf，右侧 0)(xf，则 0为函数的极大值；若在点 附近左侧 )(f，右侧 ，则 为函数的极小值.例 3 已知函数 1)(3bxaxf ，当 ， 1x时，取得极值，且极大值比极小值大 4.(1)求 a， b的值；(2)求 )(xf的极大值和极小值.解 (1) bax2435 . 1x时有极值，则 05)1( f. b代入 x得 )3()()( 2axf.且 0532a.对任意实数 x成立， . 35.)1,()1,(),1()xf 0 0 (极大 极小当 1x时取得极大值， 1x时取极小值.即 4)
10、(ff 3ba.再由 53ab，解出 1， 2b.(2) )1(f为极大值， )(f为极小值.4求最值在闭区间 ba,上连续的函数 )(xf，在 ba,上必有最大值与最小值，设函数 )(xf在,上连续，在 )(内可导，先求出 在 )(内的极值，然后将 )(f的各极值与)(f、 f值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例 4 (2004 湖南理)已知函数 eaexf ,0,)(2其 中 为自然对数的底数.（）讨论函数 (xf的单调性；（）求函数 在区间0，1 上的最大值.解 （） )ax（i）当 0a时，令 .0,(f得若 ),(, 在从 而则 xf 上单调递增；若 ,)在从 而则
11、 x上单调递减.（ii）当 a0 时，令 .20,2(, axaf 或故得若 )0,),0)(,在从 而则 xf 上单调递减；若 (20xf在从 而则 上单调递增；若 ,a),2)(,)( af在从 而则 上单调递减.（） （i）当 0时， f在区间0，1上的最大值是 .1)(f（ii）当 2时， x在区间0，1 上的最大值是 ae.（iii ）当 时， )(f在区间0，1 上的最大值是 422f5求实际应用问题中的最值在实际问题中，有时会遇到函数在某区间内只有一个点使 0)(xf，如果函数在这一点有极值，那么可不与区间端点处的函数值比较，即可断定该极值就是最值.例 5 (2000 高考)用总长 8.14m 的钢条制做一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长 50m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.解 设容器底面边长为 xm，另一边长为 )5.0(xm，高为xx2.34).(8.1，由 0.和 61.设容器的容积为 ym3，则有 )6.10)(.)(50y即 xx.2.3令 0y，有 06.1462x即 54,1522 x，(不合题意，舍去)所以当 时， 8.16.maxy(m3).
