1、1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念5 分钟训练 (预习类训练，可用于课前 )1.（2006 浙江高考，理）设集合 A=x|-1x2,B=x|0x4,则 AB 等于( )A.0,2 B.1,2 C.0,4 D.1,4思路解析：在数轴上表示出两个集合，通过观察公共部分可以得出 AB=A=x|0x2.答案：A2.试判断以下各组函数中，是否表示同一函数?(1)f(x)= ，g(x)= ；2x3x(2)f(x)= ，g(x)=|;01,(3)f(x)= ，g(x)=( )2n-1(nN)；12nx2nx(4)f(x)= ，g(x)= .思路解析：两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别
2、相同.解：(1)由于 f(x)= =x，而 g(x)= =x.故它们的值域、对应法则都不相同，所以23x它们不是同一函数.(2)由于函数 f(x)= 的定义域为 x|x0,xR ，而 g(x)= 的定义域为 R.故它们x| 0,1x不是同一函数.(3)由于当 nN *时，2n1 为奇数，f(x)= =x，g(x)= ( )2n-1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，因此12x12nx它们是同一函数.(4)由于函数 f(x)= 的定义域为xx0 ，而 g(x)= 的定义域为 x2xx-1 或 x0 ，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.3.求下列函数的定义域：(1)f(x)= ；21(
3、2)f(x)= ； 3x(3)f(x)= .1思路解析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出函数解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数 x 的集合.(1)解：x-2=0 ，即 x=2 时，分式 无意义，而 x2 时，分式 有意义，这个21x21函数的定义域是x|x2.(2)解：3x+20，即 x- 时，根式 无意义，而 3x+20，即 x- 时，根式322x32才有意义，这个函数的定义域是x|x- .23x 3(3)解法一：当 x+10 且 2-x0，即 x-1 且 x2 时，根式 和分式 同时有1xx2意义，这个函数的定义域是x
4、|x-1 且 x2.解法二：要使函数有意义，必须 .,121这个函数的定义域是x|x-1 且 x2.4.已知 f(x)= (xR 且 x-1)，g(x)=x 2+2（xR ）.1(1)求 f(2)、g(2)的值;(2)求 f g(2)的值;(3)求 f g(x)的函数解析式.思路解析：在解本题时，要理解对应法则“f”和“g”的含义，在求 fg(x)时，一般遵循先里后外的原则.（1） 、 （2）是求函数值，把自变量的值代入函数解析式即可；（3）是求函数的表达式，解出的是含 x 的式子.解：(1)f(2)= = ，g(2)=2 2+2=6.1(2)fg(2)=f(6)= .76(3)fg(x)=f
5、(x 2+2)= .31)2(1x10 分钟训练 (强化类训练，可用于课中 )1.下列四个图形中，不可能是函数 y=f（x）的图象的是( )思路解析：本题考查函数的定义.对函数 y=f（x） ，x 为自变量，y 为函数值.在选项 D 中，一个 x 值对应两个 y 的值，所以不满足函数多对一或一对一的条件.故选 D.答案：D2.已知函数 f（x）= 的定义域为 F，g（x）= 的定义域为 G，那么集合32x31F、G 的关系是 ( )A.F=G B.F G C.G F D.FG=G思路解析：函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的值.F=x|x 2-2x-30=x|x-1或 x3，G=x 0
6、且 x-30=x|x -1 或 x3，G F，选 C.31x 答案：C3.函数 f（x）的定义域为0 ，2 ，则函数 f（x+1）的定义域是 ( )A.-2，2 B.-1，1 C.0，2 D.1，3思路解析：f（x）与 f（x+1）的定义域都是指的 x 的取值范围，由函数的对应法则知0x+12，即可求出 x 的范围.解不等式 0x+12，得-1x1，选 B.答案：B4.设函数 f（x）=ax+b，若 f（1）=-2，f（-1 ）=0，则( )A.a=1，b=-1 B.a=-1，b=-1C.a=-1，b=1 D.a=1，b=1思路解析：已知函数的对应法则，此题可用待定系数法求 a、b 的值.由已
7、知 得 a=-1， b=-1，选 B.,02ba答案：B5.下列 4 对函数中表示同一函数的是( )A.f（x） =x，g（x）=（ ） 2 B.f（x）=x，g（x）=x 2xC.f（x）=x，g（x）= D.f（x）= ，g（x）=x+23 42思路解析：考查函数的概念和同一函数的判断方法.两函数若是同一函数，需定义域和对应法则均相同（即值域相同，图象完全重合） ，由此可知 A、B、D 均不正确，故选 C.答案：C6.（2006 陕西高考，理）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密) ，接收方由密文 明文(解密 )，已知加密规则为：明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,
8、2b+c,2c+3d,4d,例如，明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时，则解密得到的明文为 ( )A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7思路解析：由题意，可知 解得.284,39,1dcba.7,4,6dcba7.右图是某校在 2005 年 2 月份的一次考试中，一个解题的分数分布图，这个图是使用图象法表示的函数吗?_.为什么?_.思路解析：因为每个分数都对应一个不同的人数，符合函数的定义，并且函数中两变量的对应关系用图表反映出来，故是.答案：是 符合函数的定义8.已知函数 y= 求 ff（ ）
9、的值.,13,x25思路解析：考查函数的概念及函数值的求法，注意分段求解.解：f（ ）=- +3= 1，25所以 ff （ ） = +1= .23快乐时光感 想A：听说你最近去美国考察了一次，感受不浅吧？B：是啊，感触太深了，人家的文化水平就是高.A：何以见得呢？B：人家大人小孩都会说英语.30 分钟训练 (巩固类训练，可用于课后 )1.设 M=x-2x2 ，N=y0y2 ，给出下列 4 个图形，其中能表示以集合 M 为定义域，N 为值域的函数关系的是 ( )思路解析：由于函数是特殊的映射，因而判断某一对应(或某一式子) 是否表示函数时，可先考查它能否构成映射.A 中，当 0x2 时，N 中没
10、有元素与 x 对应，不能构成映射 .C 中一个 x 有两个 y 与之对应，所以不是映射.D 中的对应是映射，但不是以 M 为定义域，N 为值域的函数.所以选 B.答案：B2.（2006 安徽高考，理）设集合 A=x|x-2|2,xR ,B=y=-x 2,-1x2,则 (AB)等于( )A.R B.x|xR,x0C.0 D. 思路解析：A=0,2 ，B=-4,0 ，所以 (AB)= 0.答案：B3.有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话 m 分钟的电话费，由函数 f（m）=1.06（0.5m+1 ） （元）决定，其中 m0， m是大于或等于 m 的最小整数.则从北京到上海通话时间为 5.5
11、分钟的电话费为( )A.3.71 元 B.3.97 元 C.4.24 元 D.4.77 元思路解析：m=5.5 ，5.5 =6.代入函数解析式中，f（5.5）=1.06（0.56+1）=1.064=4.24.故选 C.答案：C4.小刚离开家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，跑累了再走余下的路程.在下图所示图形中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象中较符合小刚走法的是( )思路解析：首先审清题意，特别是横、纵两轴的含义.纵轴表示离校的距离，所以排除A、C，在 B、 D 中选择答案.由于开始时是跑步前进，所以同一时间内，位置变化大，所以选择 D.答案：D5.函数 f（x）
12、= -1 的定义域是( )31xA.x1 或 x-3 B.（- ，1） -3，+C.-3x1 D.-3 ，1思路解析：考查函数的定义域.由 1-x0，x+3 0 可知，-3 x1，所以原函数的定义域为-3，1 ，故选 D.答案：D6.某城镇近 20 年常住人口 y（千人）与时间 x（年）之间的函数关系如右图.考虑下列说法：前 16 年的常住人口是逐年增加的；第 16 年后常住人口实现零增长；前 8 年的人口增长率大于 1；第 8 年到第 16 年的人口增长率小于 1.在上述四种说法中，正确说法的序号是_.思路解析：由题图知前 16 年中人口不断增加，但增长率小于 1，16 年后人口零增长.答案
13、：7.函数 y= 的最大值为_.1,0,53,2x思路解析：画出该分段函数的图象（如下图） ，即可获得 y 的最大值为 4.答案：48.已知 f(x)的定义域是 a,b ，求 F(x)=f(x-1)+f(x+1)的定义域.思路解析：函数的定义域就是使函数解析式有意义的实数的集合.本题中 x-1 和 x+1 都应在在区间a,b内.解：要使 F(x)有意义，必须 f(x-1)且 f(x+1)都有意义，于是有 ,12bxa即 )2(1.1,bxa当 b-a 2 时，与的交集为a+1，b-1即是 F(x)的定义域；当 b-a 2 时，与的交集是空集.此时 F(x)无意义.9.已知函数 y= 的定义域为
14、 R，求 k 的取值范围.5432kx思路解析：在解不等式 kx24kx50 对一切 xR 都成立时要注意对二次项系数 k 的讨论.解：由已知 kx24kx50 的解集为 R,当 k=0 时，函数 y= 的定义域为 R.532x当 k0 时，=(4k) 2-20k0,解得 0k .所求 k 的范围是0， .4410.已知 y= 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围 .32341ax思路解析：确定 a 的取值范围，使之对任意实数 x 都有 ax2+4ax+30.解：当 a=0 时，ax 2+4ax+3=30 对任意 xR 都成立；当 a0 时，要使二次三项式 ax2+4ax+3 对任意实数 x
15、 恒不为零，必须满足：其判别式=4a(4a-3)0 ，于是，0a .43综上，a0， ).4311.已知函数 f(x)= 的值域为 -1，4 ，求实数 a、b 的值.12xba思路解析：由函数的解析式可确定一个含有 a、b 的值域，比照已知条件，可确定 a、b 的值.解：设 y= ，去分母、整理得 yx2-ax+y-b=0.y=0 显然在函数的值域-1，4内.2x若 y0 时，由于 xR，故 =a 2-4y(y-b)0，y 2-by- 0. a由已知，有-1y4，从而， (y+1)(y-4)0，y 2-3y-4 0. 比较不等式与，得 b=3，a 2=16. 3,4,ba或12.求函数 f（x
16、）=x 2-2ax-1 在区间0，2上的最大值和最小值.思路解析：考查函数的最值的求法及分类讨论的思想方法.二次函数在给定区间上的最值（值域）通常与它的开口方向、对称轴和区间的相对位置有关，因此此类题也常常需要分类讨论.解：f（x）=x 2-2ax-1=（x-a） 2-a2-1 为二次函数，图象为开口向上的抛物线，在区间0，2上的最值与对称轴 x=a 和区间0，2的相对位置相关，所以需要对对称轴 x=a进行讨论：当 a0 时，f （x） min=-1，f （x） max=3-4a；当 0a1 时，f （x） min =-1-a2，f （x） max =3-4a；当 1a2 时，f （x） min =-1-a2，f （x） max =-1；当 a2 时，f （x） min =3-4a，f（x） max =-1.
