1、高考数学基础知识复习：导数概念与运算知识清单1导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0处有增量 x，那么函数 y 相应地有增量y=f（x 0+ ）f（x ） ，比值 y叫做函数 y=f（x）在 x 0到 x +之间的平均变化率，即 = xf)(0。如果当 时， y有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 0处可导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x 0处的导数，记作 f（x 0）或 y| 0x。即 f（x 0）= 0limxy= 0lix)(。说明：（1）函数 f（x）在点 x 0处可导，是指 0x时， xy有极限。如果 xy不存在极限，就说函数在点 x 0处不可导，或说无导
2、数。（2） 是自变量 x 在 x 0处的改变量， x时，而 y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量 y=f（x 0+）f（x ） ；（2）求平均变化率 = f)(0；（3）取极限，得导数 f(x 0)= xylim。2导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x 0处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x 0，f（x 0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x 0，f（x 0） ）处的切线的斜率是 f（x ） 。相应地，切线方程为 yy 0=f/（x ） （xx ） 。3几
3、种常见函数的导数: 0;C 1;nx (sin)cos; (cs)inx; ()xe ()lxa; 1lx; 1lgloaae.4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .vu法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)(uvv若 C 为常数,则 0)( CuC.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： vu= 2v（v 0） 。形如 y=fx()
4、的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y| X= y| U u| X高考数学基础知识复习：导数应用知识清单1 单调区间：一般地，设函数 )(xfy在某个区间可导，如果 f)(x0，则 )(xf为增函数；如果 ，则 为减函数；如果在某区间内恒有 f0)(x，则 )(xf为常数；2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：一般地，在区间a，b上连续的函数 f )(x在a，b上必有最大值与最小值。求函数 )(x在(a，b)内的极值；求函数 在区间端点的值 (a)
5、、(b)；将函数 )(x的各极值与 (a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分（1）概念：设函数 f(x)在区间 a， b上连续，用分点 a x0x1xi1 xixn b 把区间 a， b等分成 n 个小区间，在每个小区间 xi1 ， xi上取任一点 i（ i1，2， n）作和式 In if1 ( i) x（其中 x 为小区间长度） ，把 n即 x0 时，和式 In的极限叫做函数 f(x)在区间 a， b上的定积分，记作： badf)(，即badf nif1lm( i) x。这里， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间 a， b叫做积分区间，函数 f(x)叫做
6、被积函数， x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式。基本的积分公式：d0 C；xm 1m C（ mQ， m1） ；1dxln C；dxe C；ax ln C；dcossin x C；icos xC（表中 C 均为常数） 。（2）定积分的性质 babadfkdf)()(（ k 为常数） ； badxgxxg)(； bacacfff)()( （其中 a c b)。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线 x a， x b（ ab） ， x 轴及一条曲线 y f（ x）( f(x)0)围成的曲边梯的面积 dfS)(。如果图形由曲线 y1 f1(x)， y2 f2(x)（不妨设 f1(x) f2(x
7、)0） ，及直线x a， x b（a b）围成，那么所求图形的面积 S S 曲边梯形 AMNB S 曲边梯形 DMNCbadff)()(21。课前预习1求下列函数导数（1） )1(32xy （2） )1(xy （3） 2cosinxxy（4）y= xsin2（5）y x9522若曲线 4y的一条切线 l与直线 480y垂直，则 l的方程为（ ）A 30x B 5x C 30xy D 430xy3过点（1，0）作抛物线 21y的切线，则其中一条切线为（ ）（A） 2xy （B） 30x （C） 1xy （D） 1xy4半径为 r 的圆的面积 S(r) r2,周长 C(r)=2r，若将 r 看作(
8、0，)上的变量，则(r2)2 r ， 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对 1 1于半径为 R 的球，若将 R 看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： ； 1式可以用语言叙述为： 。 25曲线 yx和 2在它们交点处的两条切线与 x轴所围成的三角形面积是 。6对于 R 上可导的任意函数 f（x） ，若满足（x1） f（ ） 0，则必有（ ）Af（0）f（2）2f（1） B. f（0）f（2）2f（1）Cf（0）f（2）2f（1） D. f（0）f（2）2f（1）7函数 )(x的定义域为开区间 ),(ba，导函数 )(xf在 ,ba内的图象如图所示，则函数f在开区间
9、,ba内有极小值点（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D 4 个8已知函数 1axfxe。 （）设 0，讨论 yfx的单调性；（）若对任意 0,x恒有 ，求 的取值范围。9 32()fx在区间 1,上的最大值是（ ）(A)2 (B)0 (C)2 (D)410设函数f(x)= 32(),1.axa其 中（）求f(x)的单调区间；（）讨论f(x)的极值。11设函数 3()2fxx分别在 12x、 处取得极小值、极大值 .xoy平面上点 AB、 的坐标分别为 1（ ,） 、 2()f（ ,） ，该平面上动点 P满足 4AB,点 Q是点 P关于直线 2(4)yx的对称点.求(I)求点 AB、 的坐标；
10、(II)求动点 Q的轨迹方程.12请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m的正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？13计算下列定积分的值（1） 312)4(dx（2） 25；（3） dx20)sin(；（4） 2co；14 （1）一物体按规律 xbt 3作直线运动，式中 x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求物体由 x0 运动到 xa 时，阻力所作的功。（2）抛物线 y=ax2bx 在第一象限内与直线 xy=4 相切此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S求使 S 达到
11、最大值的 a、b 值，并求 Smax典型例题一 导数的概念与运算EG：如果质点 A 按规律 s=2t3 运动，则在 t=3 s 时的瞬时速度为（ ）A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s变式：定义在 D 上的函数 )(xf，如果满足： xD， 常数 0M，都有 |()|fxM 成立，则称 是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数的上界.【文】 （1）若已知质点的运动方程为 attS1)(，要使在 ,)t上的每一时刻的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围.【理】 （2）若已知质点的运动方程为 tt2)(，要使在 0,)t上的每一时刻的瞬时速
12、度是以 M=1 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围.EG：已知 xffxf 2lim,1)(0则 的值是（ ）A. 41 B. 2 C. 41 D. 2变式 1： 为则设 hfffh3lim,30（ ）A 2 C3 D1变式 2： 000,lixffxfx设 在 可 导 则 等 于 （ ）A 0fB 0fC 03fD 04xf根据所给的函数图像比较 012(),htt曲 线 在 附 近 得 变 化 情 况 。变式：函数 )(xf的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. )(320/ f y B. 2)(3/ff C. )(/ f D. 3)2(0/ff O 1 2 3 4 x E
13、G：求所给函数的导数： 33291log; ; sin(1)25nxyxyex（ 文 科 ）理 科 ）。变式：设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x0 时,fg0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)0 的解集是A(3,0) (3,+ ) B(3,0)(0, 3)C(, 3)(3,+) D(, 3)(0, 3)EG：已知函数 lnyx.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点 1x处的切线的方程.变式 1：已知函数 xey.（1）求这个函数在点 处的切线的方程；（2）过原点作曲线 ye x的切线，求切线的方程.变式 2：函数 yax 21 的图象与直线
14、yx 相切，则 a( )A. 18 B. 4 C. 21 D. 1EG：判断下列函数的单调性，并求出单调区间： 332(); ()3; sin,0;441.fxfxf变式 1：函数 xef)(的一个单调递增区间是A.0, B. 8,2 C. , D. 2,0变式 2：已知函数 5312axy(1)若函数的单调递减区间是（-3 ，1） ，则 的是 . (2)若函数在 ),上是单调增函数，则 的取值范围是 .变式 3： 设 0t，点 P（ t，0）是函数 cbxgaxf 23)()(与 的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线.（）用 t表示 a，b，c ；（）若函数 )(xgfy
15、在（1，3）上单调递减，求 t的取值范围.EG：求函数 3()4x的极值.求函数 f在 0,上的最大值与最小值.变式 1： 函数 )(x的定义域为开区间 )(ba，导函数 )(xf在 ,ba内的图象如图所示，则函数 f在开区间 ,ba内有极小值点（ ）A1 个 B2 个 C3 个D4 个变式 2：已知函数 32()fxabcx在点 0处取得极大值 5，其导函数 y的图象经过点 (1,)， 2,，如图所示.求：（） 0x的值；（） ,abc的值.变式 3：若函数 4)(3xf，当 2时，函数 )(xf极值 34，（1）求函数的解析式；abxy)(xfO （2）若函数 kxf)(有 3 个解，求实
16、数 k的取值范围变式 4：已知函数 21xc，对 x1，2 ，不等式 f（x）c 2 恒成立，求 c 的取值范围。EG：利用函数的单调性，证明： ln,0xe变式 1：证明： x1， 1变式 2：（理科）设函数 f(x)=(1+x)2ln(1+x) 2.若关于 x 的方程 f(x)=x2+x+a 在0，2 上恰好有两个相异的实根，求实数 a 的取值范围.EG： 函数 ,3)(Rxxf若 0mff恒成立,求实数 m的取值范围 变式 1:设函数 ,f若 21sinff 恒成立，求实数 m的取值范围.变式 2:如图,曲线段 OMB 是函数 2()06)fx的图象, BAx轴于点 A,曲线段OMB 上
17、一点 M 2(,)t处的切线 PQ 交 x 轴于点 P,交线段 AB 于点 Q，(1)若 t 已知,求切线 PQ 的方程 (2)求 QAP的面积的最大值变式 3:用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折 900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？变式 4:某厂生产某种产品 x件的总成本 375210)(xxc（万元） ，已知产品单价的平方与产品件数 成反比，生产 100 件这样的产品单价为 50 万元，产量定为多少时总利润最大？EG：计算下列定积分：（理科定积分、微积分） 2321100()
18、x; ()x; (3sindx; 4sind5sid变式 1：计算：；（1） dx20sinco；（2） dx204变式 2： 求将抛物线 y和直线 1围成的图形绕 轴旋转一周得到的几何体的体积.变式 3：在曲线 02xy上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x轴所围的面积为12，试求：（1）切点 A 的坐标；（2）在切点 A 的切线方程.实战训练1. 设函数 f(x)在定义域内可导， y=f(x)的图象如右图所示，则导函数 y=f (x)的图象可能为( ) 2. 已知曲线 S:y=3x x3及点 (2,)P,则过点 P 可向 S 引切线的条数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)33
19、. C 设 S 上的切点 0,)求导数得斜率，过点 P 可求得: 20(1)0x.4. 函数 cosinyxx在下面哪个区间内是增函数（ ）.(),2A(),2B 35(),)2C ()2,3D5. y=2x33 x2+a 的极大值为 6，那么 a 等于( ) (A)6 (B)0 (C)5 (D)16. 函数 f(x) x33 x+1 在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是( ) (A)1，1 ( B)3，-17 (C)1，17 (D)9，197.设 l1为曲线 y1=sinx 在点(0，0)处的切线， l2为曲线 y2=cosx 在点( ,0)处的切线，则l1与 l2的夹角为_. 8. 设
20、函数 f (x)=x3+ax2+bx1，若当 x=1 时，有极值为 1，则函数 g(x)=x3+ax2+bx 的单调递减区间为 . 9 （07 湖北）已知函数 ()yf的图象在点 ()Mf， 处的切线方程是 1y，则(1)f10 （07 湖南）函数 3()12fx在区间 ， 上的最小值是 11 （07 浙江）曲线 34yx在点 (13)， 处的切线方程是 9. 已知函数 32()(,)fxabR（）若函数 )f图像上任意一点处的切线的斜率小于 1，求证： 3a；（）若 0,1x，函数 ()yfx图像上任意一点处的切线的斜率为 k，试讨论k的充要条件。12(07 安徽)设函数 f（ x）=-co
21、s 2x-4tsin cos 2x+4t2+t2-3t+4,xR,其中 t1，将 f(x)的最小值记为 g(t).()求 g(t)的表达式；()诗论 g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.实战训练 B1 （07 福建）已知对任意实数 x，有 ()()ffxgx， ，且 0时，()0()fxg，则 0时（ ）A x， B ()0()fx，C ()()f， D g，2 （07 海南）曲线12exy在点 2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） 29e 2e3 （07 海南）曲线 xye在点 2()，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） 294e 2 2e2e4 （07 江苏）已知二次函数 2()fxabc的导数为 ()fx， 0f，对于任意实数 x都有 ()0f，则 1()f的最小值为（ ）A 3 B 52 C 2 D 325 （07 江西）5若 0x，则下列命题中正确的是（ ）A sinxB 3sinC 24sinxD 24sinx6 （07 江西）若 2x，则下列命题正确的是（ ）A sixB sixC 3sixD 3six7 （07 辽宁）已知 ()fx与 g是定义在 R上的连续函数，如果 ()f与 g仅当
