1、26 函数模型及其应用突破思路本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数其中，最重要的是二次函数模型合作讨论1解决函数应用题的基本步骤和流程图是什么？我的思路：解决函数应用题的流程图是：解决函数应用题的基本步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解第三步：将所得函数
2、问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答2解决函数应用题的关键点和难点是什么？我的思路：解决函数应用题的关键有两点：一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图，引入变量，建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解，要注重数学能力的培养思维过程解决函数应用题关键在于理解题意，提高学生的阅读能力一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化另一方面，要不断拓宽学生的知识面，提高其间接的生活阅历，如经常介绍一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也可以涉及角
3、度、面积、体积、造价等最优化问题，逐步渗透、细水长流，培养学生实际问题数学化的意识和能力新题解答【例 1】某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税已知这种电子产品国内市场零售价为每件 250 元，每年可销售 40 万件，若政府增加附加税率为每百元收 t 元时，则每年销售量将减少 t 万件58（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于 600 万元，那么附加税率应控制在什么范围？解析：（1）设每年销售是 x 万件，则每年销售收入为 250x 万元，征收附加税金为y250xt依题意，x 40 t58所求的函数关系式为 y 250（
4、40 t）t58（2）依题意，250（40 t）t600，即 t225t 1500，10t15即税率应控制在 1015之间为宜【例 2】一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份 0.20 元，卖出的价格是每份0.30 元，卖不完的还可以以每份 0.08 元的价格退回报社在一个月（以 30 天计算）有 20天每天可卖出 400 份，其余 10 天只能卖 250 份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：设每天从报社买进 x 份（ 250x 400） 数量（份） 价格（元）
5、 金额（元）买进 30 0.20 6x卖出 20x 10250 0.30 6x 750退回 10（x 250） 0.08 0.8x200则每月获利润 y（6 x750）（0.8x200） 6x0.8x 550（250x400） y 在 x 250，400上是一次函数x400 元时，y 取得最大值 870 元答：每天从报社买进 400 份时，每月获的利润最大，最大利润为 870 元点评：1信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等2自变量 x 的取值范围 250，400是由问题的实际意义决定的，建
6、立函数关系式时应注意挖掘变式练习1商店某种货物的进价下降了 8，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的 r增加到（r10），那么 r 的值等于（ ）A12 B15 C25 D50解析：销售利润 100设销售价为 y，进价为 x，进 价销 售 价 进 价则 解之得 r15 ， )10()81(0rxy答案：B2如下图所示，点 在边长为 1 的正方形的边上运动，设 M 是 CD 边的中点，则当点 沿着 ABCM 运动时，以点 经过的路程 x 为自变量，三角形 APM 的面积函数的图象形状大致是（ ）解析：本题主要考查求分段函数的解析式，如图所示，当 0x 1 时，y x1 x；2当 1x 2
7、 时，y 1 （x1） （2x） x ；4413当 2x 2.5 时，y （ x）1 x55则 y 图形为 A ， ， 5.2452130xx答案：A3按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息 8，零存每月利息 2，现把 2 万元存入银行 3 年半，取出后本利和应为人民币（ ）A2（18） 3.5 万元B2（18） 3（ 12） 6 万元C2（18） 3 225 万元D2（18） 3 2（18） 3（12） 6 万元解析：3 年半本利和的计算问题，应转为 3 年按年息 8计算，而半年按 6 个月（月息2）计算，又由于是复利问题，故只有选 B答案：B4某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前
8、进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（ ）解析：由于 d0 表示学生的家与学校的距离，因而首先排除 A、C 选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除 B，故只能选择 D答案：D5容器中有浓度为 m的溶液 a 升，现从中倒出 b 升后用水加满，再倒出 b 升后用水加满，这样进行了 10 次后溶液的浓度为（ ）A m B m10)(ab 10)(aC m D m9 9b答案：B6某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为 6 元，行程不超过 2km 者均按此价收费，行程超过 2km，按 1.8 元 /km
9、收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按 6 分钟折算 1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费 17 元，车上仪表显示等候时间为 11 分 30 秒，那么陈先生此趟行程介于（ ）A57km B911kmC79km D 35km答案：A7某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，A 产品连续两次提价20，B 产品连续两次降价 20，结果都以 23.04 元出售，此时厂家同时出售 A、B 产品各一件，盈亏情况为（ ）A不亏不赚 B亏 5.92 元C赚 5.92 元 D赚 28.96 元答案：B8某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质 20，要使水中杂
10、质减少到原来的 5以下，则至少需要过滤的次数为（ ） （参考数据lg20.3010，lg30.4771）A5 B10C14 D15答案：C9有一批材料可以建成 200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示） ，则围成的矩形最大面积为_m 2（围墙厚度不计） 解析：设矩形宽为 xm，则矩形长为（2004x）m，则矩形面积为 Sx （200 4x ）4（x25） 22500（0x50） ，x25 时， S 有最大值 2500m2答案：250010将进货单价为 8 元的商品按 10 元一个销售，每天可卖出 100 个若每个销售涨价
11、一元，则日销售量减少 10 个为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个_元解析：设每个涨价 x 元，则实际销售价为（ 10x ）元，销售的个数为（ 10010x） ，则利润为 y（ 10x ） （100 10x）8（10010x） 10（x 4）2360（0x 10） 因此 x4 ，即售价定为每个 14 元时，利润最大答案：1411在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的结果的误差，使得几次测量分别得到a1，a 2，a n，共 n 个数据，我们规定所测量的物理量“最佳近似值”a 是这样一个量，与其他近似值比较，a 与各个数据的差的平方和最小，依此规定，以 a1，a 2，a n 推出的 a_解
12、析：设 a 与各数据的差的平方和为 y，则 y（a a1） 2（aa 2）2（aa n） 2na 22a（a 1a 2a n）（a 12a n2a n2） ，因此 a时，y 取得最小值 1答案：a naa 2112有一质量均匀的杠杆的支点在它的一端，而距支点 1m 处挂一个 490kg 的物体，同时加力于杠杆的另一端，使杠杆保持水平，若杠杆本身每米重 5kg，则最省力的杆长为_。解析：如图所示，设杆长为 xm，向上用力为 F依杠杆原理易得 49015x Fx ，2则 F 70，当且仅当 x ，25x490490即 x14m 时，F 的最小值为 70kg答案：14m13在国内投寄平信，每封不超过
13、 20 克重应付邮资 80 分，超过 20 克不超过 40 克重付邮资 160 分，将每封信应付邮资（分）表示为信重（0x40）克的函数，其表达式f（x）为_答案： 4021608x14一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭32中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解答：设两家旅行社的原价为 a（a0） ，家庭孩子个数为 x（x N*） ，甲、乙两家旅
14、行收费分别为 f（x）和 g（x ） ，则 f（x）a（x 1） x a（x N*） ，23g（x）（ x2） x （x N*） ，3a4g（x）f（x ） ，得 x x ，x13因此，当家庭只有 1 个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于 1 个时，应选择甲旅行社15把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，10tmin 后物体的温度 可由公式 （ 一 ）e kt 确定，k 是常数现有 62的010物体，放在 15的空气中冷却，1min 后物体的温度是 52求常数 k 的值并计算开始冷却后多长时间物体的温度是 42？（精确到小数点后一位有效数字）解析：由题意知 5215（
15、6215）e k，e k 0.7872473两边取对数，得k lgel g0.7872，k 2.303 0.10390.2393elg1039.又 （ 一 ）e kt，则 lg（ 一 ）lg （ ）ktlge，010010则 t klg)()l( 39.)()(1将 62， 15 代入上式得 t ，10 0.5lg672 若 42，则 t2.3min答案：k 0.2393，2.3min16依法纳税是每个公民应尽的义务，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的，总收入不超过 800 元，免征个人工资薪金所得税；超过 800 元部分征税，设全月纳税所得额为 x，x全月总收入800 元，税率见下表：
16、级 数 全月应纳税所得额 x 税 率1 不超过 500 元部分 52 超过 500 元至 2000 元部分 103 超过 2000 元至 5000 元部分 15 9 超过 100000 元部分 45（1）若应纳税额为 f（x） ，试用分段函数表示 13 级纳税额 f（x ）的计算公式；（2）某人 1999 年 3 月份工资总收入 3000 元，试计算这个人 3 月份应纳税多少元？（3）某人 2000 年 4 月纳税 265 元，问该人这个月工资总额为多少元？答案：（1）f（x） ； ， ， 502150xx（2）205；（3）340017甲、乙两地相距 skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不
17、得超过 ckm/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度vkm/h 的平方成正比，比例系数为 b，固定部分为 a 元（1）把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案：（1）y （bv 2a） ，0vc；vs（2）当 c ，v 时，最小值为 2s ；bab当 c ，v c 时，最小值为 s（bc ） ac18某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：消费金额的范围 200，400
18、） 400，500） 500，700） 700，900） 获得奖券的金额 30 60 100 130 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价 400 元的商品，则消费金额为 320 元，获得的优惠额为 4000.230110 元，设购买商品的优惠率 商 品 的 标 价购 买 商 品 获 得 的 优 惠试问：（1）若购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在500，800内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于 的优惠率？3答案：（1）优惠率为 33；（2）标价在625，750内的商品，购买时可获得不小于 的优惠率3119某
19、家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表示：月份 用气量 煤气费一月份 4m3 4 元二月份 25m3 14 元三月份 35m3 19 元该市煤气收费的方法是：煤气费基本费超额费保险费，若每月用量不超过最低限度 Am3，只付基本费 3 元和每家每月的定额保险 C 元，若用气量超过 Am3，则超过部分每 m3 付 B 元，又知保险费 C 不超过 5 元，根据上面的表格求 A、B 、C答案：A5，b0.5，C120经市场调查，某商品在近 100 天内，其销售量和价格均为时间 t 的函数，且销售量近似地满足关系 g（t） t ， （t N，0t100） ，在前 40 天里价格为 f（t
20、）319 t22（t N，0t40 ） ，在后 60 天里价格为 f（t）41 t52（t N，40t 100） ，求这种商品的日销售额的最大值2解析：由题意知，当 0t40，h（t） （t10.5） 2 ；148309当 40t100，h（t） （t106.5） 2 ；t 10 或 11 时，这种商品的日销6145售额的最大值为 808.521为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形 ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园 POCR（公园的两边分别落在 BC 和 CD 上） ，但不能超过文物保护三角形 AEF 的红线 EF问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积已知 ABCD200m ，BCAD160m ， AE60m ，AF 40m 解析：设 POx ，则 S （x 190） 2 1902，0x200，即 x190 时，33最大面积为 24067m2答案：方案略最大面积 24067m222国际上常用恩格尔系数（记作 n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：n 100，各种类型家庭的 n 如下表所示：消 费 支 出 总 额食 品 消 费 支 出 总 额家庭类型 贫困 温饱 小康 富裕 最富裕n n60 50n60 40n50 30n40 n30
