1、2.4.1 向量在平面几何中的应用一、教学目标1知识与技能：运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题2过程与方法：通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-向量法和坐标法3情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 二、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决. 三、教学方法本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程
2、，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。四、教学内容安排：教学环节教学内容 师生互动 设计意图复习准备课前复习任务（由学生总结成书面材料）（1）向量的线性运算是怎样的?（2）平面向量共线的含义及条件是什么？（3）平面向量的基本定理及向量的坐标运算有哪些？（4）平面向量的数量积中有哪些主要内容？讨论：（1）若 O 为 ABC重心,则+ +=0 （2）水渠横断面是四边形 D, = 12,且|A|=|B|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到
3、向量运算之间都有什么关系?让学生回顾学过的知识有力于本节课的进行新课引入平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行 ABCD中，设 a, b，则 a（平移） ， ，22|Ab（长度）向量 D， B的夹角为讨论（让学生回顾学过的知识，有利于本课的顺利进行）：（）向量运算与几何中的结论若 ab，则|，且 ,所在直线平行或重合相类比，你有什么体会？（）由学生举出几个具有线性运算的几何实例 （3）向量平行、垂直的判定方法让学生掌握用向量方法解平面几何问题的步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素
4、，将平面几何问题转化为向量通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等把运算结果翻译成几何关系例 1：如图 2-55，已知平行四边形 ABCD 中，E、F 在对角线 BD 上，并且 BE=FD，求证 AECF 是平行四边形。小结：本题的关键选择适当的基底，把四边形 AECF 的一组对边表示出来问题 1 证明 AECF 是平行四边形的方法有什么？学生思考，回答问题 2 选择合适的方法，问如何转化为向量条件表示？学生思考，回答，完成证明（选一名学生板书）问题 3 由学生总结解题方法通过分步设问，引导学生展开思维过程，让学生体会分析、解决问题的方法应用举例例 2：求证平行四边形对角线互相平分小
5、结：法一注重向量的坐标运算和解析法的运用：法二选取基底 AB和 D，设未知数，列向量方程，解方程组的待定系数得结论，体现了方程思想的运用。问题 4 如何证明？学生思考，回答老师点评学生思路：要证明两条对角线互相平分，可以证明 ,AMCBD，或 12。前一种方法可以建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示后即可；后一种方法就是课本提供的方法。师生共同讨论交流，由教师给出证明过程本题所用方法比较特殊，学生不易想到，教师在分析学生提供的思路的基础上，点出方法，又不直接说怎么做，引导学生再去探索，让学生体验思路的形成过程，学会分析问题的方法。例 3：已知正方形 ABCD（图2-57） ，P 为对角线 AC
6、 上任意一点， EAB于点E， FC于点 F，连接DP，EF。求证 DP EF。小结：结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。问题 5 如何证明？能否用坐标法完成？学生思考，回答老师点评学生思路：要证明两条直线（段）互相垂直，可以证明 DPEFkA= 1，也可以证明两向量数量积为 0。前一种方法可以建立平面直角坐标系，点用坐标表示用斜率公式即可；后一种方法就是课本提供的方法，将向量用坐标表示后进行向量的
7、数量积运算即可。师生共同讨论交流，由教师指导学生给出证明过程本题用坐标法。尤其是第二种方法用向量坐标法证明比较简单，可见选定方法是关键，学生可从中体会，形成思维习惯。课堂练习练习 1 求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和练习 2如图，在平行四边形 OBCA中， a，b， |b，求证四边形 为矩形由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积要证四边形 OBCA为矩形，只需证一角为直角进一步巩固所学知识，归纳方法归纳小结本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤师生交流共同完成 帮助学生总结知识，归纳方法布置作业练习：A 组 1、2 及 B 组 1作业：习题 2-4A1 及习题2-4B1学生独立完成 巩固所学方法，规范解题步骤
