1、妙证一类无理不等式均值不等式的一般形式为 ,当且仅当 时,等号成(0)2ab , ab立对于一些无理不等式的证明,当不等号两边同时含有根号时,则往往会使应用均值不等式解题的思路受阻解决该类问题,通常有以下做法一、平方这是一种最基本、最常用的方法例 1 若 均为正实数,且 ,求证:abc, , 3abc212证明: 2(1)(1)2(1)2abcabcca2()32)(2)(),当且仅当 时,等号成立697cc21213abc二、除如果不等式的一边为无理式,另一边为无理数,可通过不等式两边除以同一无理数的方法将一边化为有理数,再应用均值不等式进行求解例 2 设 是满足 的正数,求证: xy, 1
2、xy212xy分析:看到此题,不难联想到用平方的方法求证下面我们转换一下思路,将不等式两边同时除以 ,则不等式等价于 ,对于此种形式的不等式,我们可2y以巧用“ ”进行求解1解:原不等式两边同时除以 ,则不等式可等价变形为 122xy由于 ,当且仅当111222xyxyA时,等号成立故原不等式得证三、引参除了上述两种方法,还可以通过巧妙地引入参数,把问题转化成均值不等式结构进行求解,其中参数在应用不等式证题过程中起了一个桥梁作用例 3 已知 均为正实数, ,abc, , 1abc求证: 13143证明:引入待定正参 ,t,223()(1)taata同理 ,1133btbb,22()()tcct
3、c,得 211(313)tatabc,当且仅当 时,等号成立238t3bc,08112abct又 ,382435ttA当且仅当 ,即 时,等号成立tt,当且仅当 时,等号成立13134abc 13abc不难看出,以上三道例题的本质是相同的,因此,上述三种方法在求解此类问题时可以通用,同学们不妨验证一下基本不等式专项练习1 (2006 年全国高考重庆卷理科)若 ,且 ,则0abc, , ()423abc的最小值为( )2abcA B C D33123232 (2006 年全国高考重庆卷文科)若 ,且 ,且0abc, , 0abc, ,则 的最小值是( )42abcA B3 C0 D 33 (20
4、06 年全国高考天津卷理科)某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 吨,运x费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,4x则 吨x答案及提示:因为 ,()()()()423abcabcabc所以 22,243(1)(3)当且仅当 ,即 时,等号成立,故选abcb2因为 ,24()21ac又由 ,得 ,ab b所以 ,当且仅当 ,即2212()2()accabc 2abc时,等号成立即 ,故选bc13b3由题决知,每年购买次数为 ,40x总费用 ,当且仅当 ,即 时,等号成 40216x 1604x20立故当 吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小2x