1、高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1在数学归纳法证明“121()nnaaN ，”时，验证当 1n时，等式的左边为（ ） 1 2答案：2已知三次函数 3221()(4)(157)2fxmxmx在 ()， 上是增函数，则 m的取值范围为（ ） 或 4 以上皆不正确答案：3设 ()sin()cosfxabxdx，若 ()cosfx，则 abcd，的值分别为（ ）1，1，0，0 1，0，1，0 0，1，0，1 1，0，0，1答案：4已知抛物线 2yaxbc通过点 (1)P，且在点 (21)Q，处的切线平行于直线 3yx，则抛物线方程为（ ） 2319 239yx yx 1答案：5数列 n
2、a满足 11202nnna， 若 167a，则 204的值为（ ） 67 57 37答案：6已知 ab，是不相等的正数， 2abx， yab，则 x， y的关系是（ ） xy y 不确定答案：7复数 2()1mizR不可能在（ ）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限答案：8定义 ABCDA，的运算分别对应下图中的（1） ， （2） ， （3） ， （4） ，那么，图中（） ， （）可能是下列（ ）的运算的结果（ ） BD， A BD， AC C， ，答案：9用反证法证明命题“ abN，如果 ab可被 5 整除，那么 a， b至少有 1 个能被 5 整除 ”则假设的内容是（ ） a， b都能被
3、 5 整除 ， 都不能被 5 整除 不能被 5 整除 ， 有 1 个不能被 5 整除答案：10下列说法正确的是（ ）函数 yx有极大值，但无极小值函数 有极小值，但无极大值函数 yx既有极大值又有极小值函数 无极值答案：11对于两个复数 132i， 132i，有下列四个结论： 1； ； ； 3其中正确的个数为（ ）1 2 3 4答案：12设 ()fx在 ab，上连续，则 ()fx在 ab，上的平均值是（ ） 2 bad 1()2bafxd 1()bafxd答案：二、填空题13若复数 22log(3)log(3)zxix为实数，则 x的值为 答案：414一同学在电脑中打出如下图形（表示空心圆，表
4、示实心圆） 若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前 2006 年圆中有实心圆的个数为 答案：6115函数 32()6(0)fxaxba在区间 12，上的最大值为 3，最小值为 29，则 a，b的值分别为 答案：2，316由 24yx与直线 24yx所围成图形的面积为 答案：9三、解答题17设 nN且 sico1x，求 sincosnx的值 （先观察 1234n，时的值，归纳猜测 sin的值 ）解：当 1时， sicx；当 2n时，有 22o1；当 3时，有 3322in(sinco)(sincosincs)xxx，而 sico1x，12s， i033in当 4时，有 44222
5、incos(incos)incos1xxx由以上可以猜测，当 N时，可能有 i()nn成立18设关于 x的方程 2(tan)(2)0ixi，（1）若方程有实数根，求锐角 和实数根；（2）证明：对任意 ()kZ，方程无纯虚数根解：（1）设实数根为 a，则 2(tan)(2)0ii，即 2(tan)(10i由于 ， tR，那么2 1tan20tan，又 02，得14a，（2）若有纯虚数根 ()iR，使 2()tan)(2)0iii，即 (2)tan10i，由 ， tan，那么2t，由于 20无实数解故对任意 ()kZ，方程无纯虚数根19设 0t，点 ()Pt，是函数 3()fxa与 2()gxbc
6、的图象的一个公共点，两函数的图象在点 处有相同的切线（1）用 t表示 abc，；（2）若函数 ()yfxg在 (13)，上单调递减，求 t的取值范围解：（1）因为函数 ()f， 的图象都过点 (0)t，所以 ()0ft，即 30ta因为 0t，所以 2at()g，即 20btc，所以 cab又因为 ()fxg，在点 ()t，处有相同的切线，所以 )ft，而 23fxa， ()2gxb，所以 23tabt将 2a代入上式得 bt因此 3ct故 ， ， 3ct（2） 23()yfxgxt， 22(3)yxtxt当 30t时，函数 ()fg单调递减由 0y，若 ，则 3txt；若 t，则 ttx由题
7、意，函数 ()yfgx在 (1)，上单调递减，则(13)t，或 3t，所以 9t 或 t 又当 时，函数 ()yfxg在 (13)，上不是单调递减的所以 t的取值范围为 93， 20下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论命题：若 abc，且0abc，则23bac解：此命题是真命题 0abc， abc， 0a ， c要证23成立，只需证 23ba，即证 22bac，也就是证 22()ac，即证 ()0ac， 2()0caba，()成立，故原不等式成立21某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为 (0)k，且知当利率为 0.012 时，存款量为 1.
8、44 亿；又贷款的利率为 4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为 x， (0.48)，则当 x为多少时，银行可获得最大收益？解：由题意，存款量 2()fxk，又当利率为 0.012 时，存款量为 1.44 亿，即 0.12x时，1.4y；由 .0.1，得 10，那么 2()10fx，银行应支付的利息 3()()gxfx，设银行可获收益为 y，则 24801，由于， 29603yx，则 y，即 296030x，得 x或 0.32因为， (.)，时， 0，此时，函数 3481y递增；0.3248x时， y，此时，函数 20x递减；故当 时， 有最大值，其值约为 0.164 亿2
9、2已知函数 2()(0)1xf，数列 na满足 1()fx， 1()nnaf（1）求 234a，；（2）猜想数列 n的通项，并予以证明解：（1）由 1()afx，得21212 22() 1xaxaf x，2232 221()113xaxaf x，23432 2213()114aaf xx（2）猜想： 2()1nanxN，证明：（1）当 时，结论显然成立；（2）假设当 k时，结论成立，即 21kxa；那么，当 1nk时，由21 22()1()1kk xxf kk ，这就是说，当 k时，结论成立；由（1） ， （2）可知， 21nxa对于一切自然数 ()nN都成立高中新课标数学选修（2-2）综合测
10、试题一、选择题1函数 2()sinfx的导数是（ ） 2sinx 2sinx 2cosx sin2x答案：2设复数 132zi，则满足 nz的大于 1 的正整数 n中，最小的是（ ）7 4 3 2答案：3下列函数在点 0x处没有切线的是（ ） 2cosy sinyx 1x 1co答案：4 2231dxx（ ） 7ln8 7ln2 5ln28 17ln28答案：5编辑一个运算程序： 12(1)2mnkk， ，则 105的输出结果为（ ）4008 4006 4012 4010答案：6如下图为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从 A到 H有几条不同的旅游路线
11、可走（ ）15 16 17 18答案：7在复平面内，复数 2(13)izi对应的点在（ ）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限答案：8在 ABC 中， BC，分别为 abc，边所对的角，若 abc，成等差数列，则的范围是（ ） 04， 03， 02， 2，答案：9设 211()23Snnn ，则（ ） 共有 项，当 时， ()S ()Sn共有 1项，当 时， 1234 共有 2项，当 n时， ()S ()Sn共有 1项，当 时， 1234答案：10若函数 2()ln(0)fx的极值点是 ，函数 2()ln(0)gx的极值点是 ，则有（ ） 与 的大小不确定答案：11已知函数 431()2fx
12、xm， R，若 ()90fx 恒成立，则实数 m的取值范围是（ ） 32m 32 32 32m答案：12如图，阴影部分的面积是（ ） 23 23 32 35答案：二、填空题13若复数 22()()zaai为纯虚数，则实数 a的值等于 答案：014若函数 24()1xf在区中 (21)m，上是单调递增函数，则实数 m的取值范围是 答案： 10m 15类比等比数列的定义，我们可以给出“等积数列”的定义： 答案：对 nN，若 1nak（ 是常数） ，则称数列 na为等积数列；2()3na， 为 奇 数， 为 偶 数 5()2nS， 为 奇 数 为 偶 数16已知函数 32()9fxxm在区间 2，上的最大值是 20，则实数 m的值等于答案： 2三、解答题17已知抛物线 2yxbc在点 (12)，处的切线与直线 20xy垂直，求函数2yxbc的最值解：由于 2x，所以 2yxb，所以抛物线在点 (12)，）处的切线的斜率为kb，因为切线与直线 0垂直，所以 b，即 ，又因为点 (12)，在
