1、函数模型及其应用1解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用 x、y 分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量 y 表示为 x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：（4）利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：符合实际不符合实际首先建立
2、直角坐标系，画出散点图； 1根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： 2一次函数模型： ()(0);fxkb二次函数模型： 2gac幂函数模型：1()(0);hxb指数函数模型： （ 0， ）xlc,1b2解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；实际问题 函数模型实际问题的解 函数模型的解抽象概括还原说明运用函数性质画散点图收集数据选择函数模型求函数模型用函数模型解决实际问题在于检验（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓
3、住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用题型一：正比例、反比例和一次函数型例 1：某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续 5 年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到 2010 年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从 2000 年底后采取植树造林等措施，每年改造 0.6 万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到
4、90 万公顷？观测时间 1996 年底1997 年底1998 年底1999 年底2000 年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.2000 0.4000 0.6001 0.7999 1.0001解题思路 通过理解题意，找出题中属于那一种函数模型。解析 （1）由表观察知，沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关系图象近似地为一次函数 y=kx+b 的图象将 x=1，y=0.2 与 x=2，y =0.4，代入 y=kx+b，求得 k=0.2，b=0，所以 y=0.2x（xN） 。因为原有沙漠面积为 95 万公顷，则到 2010 年底沙漠面积大约为95+0.515=98（万公顷） 。（2）设从
5、 1996 年算起，第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷，由题意得95+0.2x0.6( x5)=90，解得 x=20（年） 。故到 2015 年年底，该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。规律总结 初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好练习 1大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到 12 为止温km度的降低大体上与升高的距离成正比，在 12 以上温度一定，保持在-55 oC.km（1）当地球表面大气的温度是 oC 时，在 的上空为 oC,求 、 、 间的axyaxy函
6、数关系式；（2）问当地表的温度是 29oC 时，3 上空的温度是多少？km解题思路 用待定系数法确定温度随高度变化的函数关系.解析（1）由题设知，可设 - = ， 即 = + .yax)0,120(kyakx依题意 ，当 =12 时， =-55，y-55= +12 ，解得 =- ，k5a当 时， .120x )120)(12xx又当 时， .5y所求的函数关系式为 ).12(),120(5xxa（2） 当 =29, =3 时， ax=29- (55+29)=8，y123即 3 上空的温度为 8 oC .km答：所求的关系式为 ，在 3 上空的温度是 8 oC .).12(5),120(xxay
7、 km题型二：二次函数型例 2：某农家旅游公司有客房 300 间，每间日房租为 20 元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加 2 元，客房出租数就会减少 10 间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解题思路 审清题意，找出满足题意的函数类型。解析设客房日租金每间提高 2 元，则每天客房出租数为 30010 ，由 0，且xx30010 0 得：0 30x设客房租金总上收入 元，则有：y=（20+2 ）(30010 )y=20( 10) 2 8000（0 30）x由二次函数性质可知当 =10 时， =8000.may所以当每间客房日
8、租金提高到 20102=40 元时，客户租金总收入最高，为每天8000 元.规律总结引导学生探索过程如下：1）本例涉及到哪些数量关系？2）应如何选取变量，其取值范围又如何？3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？4） “总收入最高”的数学含义如何理解？题型三：分段函数型例 3我国水资源相对贫乏，某市节水方法是：水费基本费超额费损耗费若每月用水量不超过最低限量 pm3 时，只付基本费 8 元和每户每月定额损耗费 q 元；若用水量超过pm3 时，除了付上述的基本费和损耗外，超过部分每 m3 付 r 元的超额费，已知每户每月的定额损耗不超过 5 元，该市一家庭某季度的用水量支付如下表：月份 用水量
9、（m 3） 水费（元）1 9 92 15 193 22 33（1）写出水费 y（元）与用水量 x（m 3）的函数关系式（这里的 p，q，r 可作为已知数） ；（2）根据数据表，求 p，q，r 的值解题思路 从题目中可知，自变量是分两种情况的，可考虑用分段函数表示。解析 （1）设水费为 y（元） ，用水量为 x（m3） ，则得分段函数)()(80pxrq （2）根据表中数据，可列式 8q9，q1，若 8q19，q11 与 q5 矛盾故 r239)(15 rp0规律总结这是一个分段函数类型的应用问题，注意判断自变量在分段函数的哪一段取值范围内是这个题的解题关键题型四：指数、对数型函数例 4 根据上
10、海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999 年上海市完成GDP（GDP 是指国内生产总值）4035 亿元，2000 年上海市 GDP 预期增长 9，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 0.08若 GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均（GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍，至少需_年（按 1999 年本市常住人口总数约 1300 万计算）解析 假设需要 x 年，本市年人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍，x 年后上海市的GDP 为 4035（19） x，人口增长为 1300（10.08） x，人均 GDP 为 ，x)08.1(3945 令
11、2 ，即 2x).(10 3x)08.1(9 利用计算器或计算机得 x8.13，根据图象或函数性质可知， 于是随 x 增长而增长的所以至少需要x)08.1(3945 9 年，本市人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍练习 2 在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02则 x,y 的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中 a,b 为待定系数) （ ）Ay=a+b X By=a+bx Cy=a+log bx Dy=a+b/x 答案：A解析分别对选项中的四个函数进行计算比
12、较可得出最佳的一个基础巩固训练化学上常用 pH 来表示溶液酸碱性的强弱， pH1g c（H ） ，其中 f（H ）表示溶液中 H的浓度若一杯胡萝卜汁的 c（H ）110 5 mol/L，则这杯胡萝卜汁的 pH 是（ ）A2 B3 C4 D5答案：D 解析 pH 1g（110 5 ）=52 某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量 y与时间 x 的函数图象大致是（ ）xyBxyAxyC xyD答案：B解析随着工厂不断生产，产量增多，由于订单增多，加快生产，生产的产品更多，故选B3 某林
13、场计划第一年造林 亩，以后每年比前一年多造林 ，则第四年造林（ ）1020%A 亩 B 亩 C 亩 D 亩14072817280736答案：C 解析 ，故选 C3(.)4储油 30 3的油桶，每分钟流出 3的油，则桶内剩余油量 Q（ 3）以流出时间为m4mm自变量的函数的定义域为 答案：0，40解析 ，3040t5.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和 ，其中 x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售215.6.LxL15 辆车，则能获得的最大利润为 （ ）A45.606 B 45.6 C45.56 D45.51答案：B解析 总利润为 2 212 517.65.
14、06.1(5)0.()Lxx当 时 ，故选 B10x2max. 04.6A6.在 x 克 a%的盐水中，加入 y 克 b%的盐水，浓度变成 c%(a,b0,ab)，则 x 与 y 的函数关系式是 （ ）Ay= x By= x Cy= x Dy= xbccbacbaacb答案：B解析 依题意可得 可得 y= x故选 B%+yAc7.已知从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 元给出，其中 ，)15.0(6)(mf 0mm表示不超过 m 的最大整数， （如3=3，3.2=3） ，则从甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的话费为（ ）元A3.71 B3.97 C4.24 D4.77答案：AP MA D
15、O B解析 ，故选 A(5.)106(.51).06(51)3.7f8如图，一动点 P 自边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A 点若点 P 的路程为 x，点 P 到顶点的距离为 y，求 A, P 两点间的距离 y 与点 P 的路程 x 之间的函数关系式 解题思路 由于点 分别在 上移动时，相应距离计算方法是不同的，故需分类讨论解析 (1)当点 在 边上即 时， 也就是 ;(2)当点 在 边上时，即 时， ，由勾股定理得(3)当点 在 边上即 时， ， 由勾股定理得(4)当点 在 边上即 时，有 规律总结 几何应用问题要注意实际问题对定义域的限制条件
16、对分界点的讨论应做到不重不漏9如图，已知O 的半径为 R，由直径 AB 的端点 B 作圆的切线，从圆周上任一点 P 引该切线的垂线，垂足为 M，连 AP 设 AP=x，写出AP+2PM 关于 x 的函数关系式 2求此函数的最值解析：1过 P 作 PDAB 于 D，连 PB 设 AD=a 则 aRx2Ra2RP2 xMAxf 4)( )0O t（小时）y（ 微克 ）61 102 417)2(1)(Rxf当 时 当 时Rfmax2Rxf2)(min10某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量 y 与时间 t 之间近似满足如图所示的曲线（1）写出服药后
17、y 与 t 之间的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于 4 微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午 7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共 4 次）效果最佳解析 (1)依题得，60123tty(2)设第二次服药时在第一次服药后 t1小时，则 ,因而第二次服药应在413201tt11:00； 设第三次服药在第一次服药后 t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有 解得 t2=9 小时，故第三次服药应在 16:00；设第四次服药在,4)(32032032tt第一次后 t3小时（ t310） ，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和， 解得 t3=13.5 小时，故第四次服药应在 20:30,4)9()(302t高 考!试题库
