1、第 6 课时 余弦定理（3）【学习导航】 知识网络 判 断 三 角 形 的 形 状平 面 几 何 中 的 某 些 问 题余 弦 定 理学习要求 1余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3进一步运用余弦定理解斜三角形【课堂互动】自学评价1余弦定理：(1) ， ， .Acosb2a2Bacos22 Ccosab22(2) 变形： ， ， as bsC2判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.【精典范例】【例 1】在 ABC 中，求证：（1） ;sin22CBAcba（2） )cosco(ab分析：【解】（1）根据正弦定理，可设=
2、 = = kAasinBbiCcsin显然 k 0，所以左边= kBAc222sin= =右边C2sin（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc +ca +ab ) =(b +c - a )bca2cab2abc222+(c +a -b )+(a +b -c )2=a +b +c =左边听课随笔【例 2】在 中，已知 acosA = bcosB 用两种方法判断该三角形的形状.ABC分析：利用正弦定理或余弦定理， “化边为角”或“化角为边” 。【解】方法 1o（余弦定理）得a =bbca2cab2c =4)()(2222a或是等腰三角形或直角三角形.ABC方法 2o（正弦定理）得sinAcosA
3、=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,或 2A+2B=180A=B 或 A+B=90 是等腰三角形或直角三角形.ABC点评: 判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。【例 3】在四边形 ABCD 中， ADB= BCD=75 ， ACB= BDC=45 ，DC= ，求：3（1） AB 的 长（2） 四边 形 ABCD 的面积【解】 （1）因为 BCD=75 ， ACB=45 ，所以 ACD=30 ，又因为 BDC=45 ， 所以 DAC=180 -（75 + 45 + 30 ）=30 ， 所以， AD=DC= 3在 BCD 中， CBD=180 -（ 75 + 4
4、5 ）=60 ，所以 = ，75sinBD60siCBD = = 60sin7532在 ABD 中，AB =AD + BD -2 AD BD cos75 = 5,2所以， AB= 5（3） S = AD BD sin75ABD21= 43同理， S = BCD所以四边形 ABCD 的面积 S= 436听课随笔追踪训练一1. 在ABC 中， ， ，则下列各式中正确的是（ D ）A. 09C045A AcosinB. ABcosinC. D. Bcosin2. 在ABC 中，若 ,则ABC 的形状是_直角三角形_1s222C3. 如图，已知圆内接四边形的边长分别为， ，如何求出四边形的面积？答案：
5、S=8 3【选修延伸】【例 4】如图：在四边形 ABCD 中，B=D=75 0，C= ，AB=3，AD=4，求对角线06AC 的长。分析：此题涉及两个三角形，AC 是公共边。【解】设 DCA= ，AC= ，则x00sini75(6)sADCB 004sini753(6)sx043sini()2tasin253704sin753426x追踪训练二1在ABC 中，若 c4-2(a2b 2)c2a 4a 2b2b 40，则C 等于( D )A90 B120 C60 D120或 602在锐角 中，若 ，则边长 的取值范围是3,c)13,5(听课随笔3已知在 ABC 中， B=30 ,b=6,c=6 ,求 a 及 ABC 的面积 S.3答案：a=6,S=9 ;a=12,S=183【师生互动】学生质疑教师释疑
