1、函数及其性质解读1、函数的定义（1）传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于 x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则， y 都有唯一确定的值和它对应，那么把 y 叫做 x的函数， x 叫做自变量，和 x 的值对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 y 是 x 的函数，可以记作 y f（ x）（ f 表示对应法则）。（2）近代定义：设 A、 B 都是非空的数的集合， f 是从 A 到 B 的一个对应法则，那么A 到 B 的映射 就叫做 A 到 B 的函数，记作 y f（ x），其中 。原象的集合 A 叫做函数 f（ x）的定义域，象的集合 C
2、叫做函数 f（ x）的值域，显然 。注意：由函数的近代定义可知，函数是数集间的映射。对应法则 f 是联系 x、 y 的纽带，是函数的核心，常用一个解析式表示，但在不少问题中，对应法则 f 也可能不便用或不能用上个解析式来表示，而是采用其他方式（如数表或图象等）。定义域（或原象集合）是自变量的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，它和对应法则是函数的两个重要因素。定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数。 f（ a）与 f（ x）的涵义是不同的， f（ a）表示自变量 x a 时所得的函数值，它是一个常量，而 f（ x）是 x 的函数，是表示对应关系的。2、函数的性质（1）函数
3、的单调性设 y f（ x）是给定区间上的一个函数， 是给定区间上的任意两个值，且，如果都有 ，则称 f（ x）在这个区间上是增函数（也称 f（ x）在这个区间上单调递增）；如果都有 ，则称 f（ x）在这个区间上是减函数（也称 f（ x）在这个区间上单调递减）。如果函数 y f（ x）在某个区间上是增函数或减函数，就说 f（ x）在这一区间上具有（严格）单调性，这一区间叫做 f（ x）的单调区间。（2）函数的奇偶性如果对于函数定义域内任意一个 x，都有 f（ x） f（ x），那么函数 f（ x）就叫做奇函数。如果对于函数定义域内任意一个 x，都有 f（ x） f（ x），那么函数 f（ x）
4、就叫做偶函数。奇函数的图象关于原点成中心对称图形；偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形。3、反函数（1）逆映射：设 是集合 A 到集合 B 上的一一映射，如果对于 B 中的每一个元素 b，使 b 在 A 的原象 a 和它对应；这样所得的映射叫做映射 的逆映射，记作： 。注：映射 也是映射 的逆映射，而且 也是一一映射（从 B 到 A 上的一一映射）。（2）如果确定函数 y f（ x）的映射 是 f（ x）的定义域 A 到值域 B 上的一一映射，那么这个映射的逆映射 所确定的函数 叫做函数 y f（ x）的反函数。函数 y f（ x）的定义域、值域分别是函数 的值域、定义域。函数 y f（ x）
5、的反函数，习惯上写成 。一般地，求函数 y f（ x）的反函数的方法是先由 y f（ x）解出 ，然后把 改写成 。函数 y f（ x）和其反函数 的图象关于直线 y x 对称。例 1、判断下列各题中的两个函数是否相同。（1） ； （2） ；（3） ；（4） 。解析：（1）不同。因为 f（ x）的定义域是 x0 且 x1，而 g（ x）的定义域是x1，由于定义域不同，故 f（ x）和 g（ x）是不同的函数。（2）不同。因为这两个函数的对应法则不同。对应法则 f ：对应法则 g ： 。（3）相同。因为这两个函数的定义域和对应法则都相同，（4）不同，虽然这两个函数的解析式相同，但给出的定义域不同
6、。例 2、求下列各函数的定义域：（1） ；（2） ；（3） 。解析：（1）由 。 （2）全体实数。（3）解不等式组 ，得 0 x 1。例 3、已知 f（ x）为一次函数，且 f f（ x） = 9 x1，求 f（ x）的解析式。 解析：设 ，则 ，即 ， ， ，故所求函数为 或 。例 4、求下列函数的值域：（1） ；（2） 。解析：（1）把 看成是关于 x 的方程，整理得， x， y 是实数，当 y1 时， x0。当 时，故函数的值域是 。（2）。故函数的值域是 y 1。评注：配方法是二次函数求值域的主要方法。如果 y f（ x）能化成关于 x 的一元二次方程，则常用根的判别式法求函数的值域。例 5、设 f（ x）为偶函数， f（ x）在（0，）内单调减少，求证 f（ x）在（，0）内单调增加。证明：设 ，则 ， f（ x）在（0，）内单调减少， ， f（ x）为偶函数， 。由于 在（，0）内的任意性，根据增函数的定义，可知 f（ x）在（，0）内单调增加。例 6、求函数 的反函数及这个反函数的值域。解析：从 解出 x，得到 ，改写成 。原来函数 的定义域为 x1，值域为 y2，所求的反函数为：，（ x2），这个反函数的值域为 y1。
