1、7.3.1 几何概型第 35 课时学习要求 1、了解几何概型的概念及基本特点；2、熟练掌握几何概型的概率公式；3、正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算【课堂互动】自学评价试验 取一根长度为 的绳子，拉直后在任意位置剪断剪得两段的长都不小于3m的概率有多大？1m试验 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色金色靶心叫黄心奥运会的比赛靶面直径为 ，靶心直径为12cm运动员在 外射箭假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的射中2.c70黄心的概率为多少？【分析】第一个试验，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为的绳子上的任意一点3
2、m第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为的大圆内的任意一点12c在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的等可能性，但是显然不能用古典概型的方法求解【解】实验 1 中，如下图，记剪得两段的长都不小于 为事件 把绳子三等分，1mA于是当剪断位置处在中间一段上时，事件 发生由于中间一段的长度等于绳长的 ，于A13是事件 发生的概率 A1()3P实验 2 中，如下图，记射中黄心为事件 ，由于中靶心随机地落在面积为B的14cm大圆内，而当中靶点落在面积为. 的黄心内时，事件 发生，B于是事件 发生的B概率为21.()0.4P【小结】几何概型的概 念： 对于
3、一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等用这种方法处理随机试验，称为几何概型几何概型的基本特点：（）试验中所有可能出现的结果(基本事件) 有无限多个；（）每个基本事件出现的可能性相等几何概型的概率：一般地，在几何区域 中随机地取一点，记事件该点落在其内部一个区域 内为事件Dd，则事件 发生的概率 A()dPA的 测 度的 测 度说明：（） 的测度不为 ；0（）其中测度的意义依 确定，当 分别是线段，平面图形，立体图形时，
4、相D应的测度分别是长度，面积和体积（）区域为开区域；（）区域 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部D分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关【经典范例】例 1 判断下列试验中事件 A 发生的概率是古典概型，还是几何概型（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4 点”的概率；（2）如图所示，图 中有一个 12 等分的圆盘，甲乙两人玩游戏，向圆盘投掷可视为质 点的骰子，规定当骰子落在阴影区域时，甲获胜，否则乙获胜， 求甲获胜的概率【分析】本题考查的 几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能 性而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区 域长度有
5、关【解】例 2 取一个边长为 的正方形及其内切圆（如右图） ，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆2a子落入圆内的概率 （测 度为面积）【分析】由于是随机丢豆子， 故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落入 圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比【解】思维点拔：1、几何概型的意义也可以这样理解： 向区域 G 中任意投掷一个点 M，点 M 落在 G内的部分区域 g”的概率 P 定义为：g 的度量与G 的度量之比，即：gP的 度 量的 度 量2、我们可以通过实验计算圆周率 的近似值实验如下：向如图所示的圆内投掷 个 n质点，计算圆的内接正方形中的质点数为 ，由几何概型公式可知： ，m2Smn正 方 形圆即 2nm追踪训练1、求例 1 中（2）的 概率2、若 ,则点 在圆面 内的概率是多少?,2xy(,)xy2xy3、靶子由三个半径分别为 R,2R,3R 的同心圆组成,如果你向靶子随机地掷一个飞镖,命中半径分别为 R 区域,2R 区域,3R 区域的概率分别为 ,则 =_. 123P123:P
