1、2.1.3 函数的单调性 学案 【预习要点及要求】1.函数单调性的概念;2.由函数图象写出函数单调区间;3.函数单调性的证明4.能运用函数的图象理解函数单调性和最值5.理解函数的单调性6.会证明函数的单调性【知识再现】1. _2ab2. _33. _【概念探究】阅读课本 44 页到例 1 的上方,完成下列问题1 从直观上看,函数图象从左向右看,在某个区间上,图象是上升的,则此函数是_,若图象是下降的,则此函数是_-2 不看课本,能否写出函数单调性的定义?_3 对区间的开闭有何要求?4 如何理解定义中任意两个字?5 一个函数不存在单调性,如何说明?6 完成课后练习 A 第 1,2 题【例题解析】
2、阅读课本例 1 与例 2,完成下列问题1 不看课本你能否独立完成两个例题的证明(1) 证明函数 在 R 上是增函数()1fx(2) 证明函数 ,在区间 上分别是减函数()f(,0)2 根据两个例题的证明,你能否给出证明函数单调性的一般步骤,在这些步骤中你认为最关键的地方是什么?3 有的同学证明 在 上是减函数时是这样证的,你是否认可其作法,为什1()fx(0,)么?证明:设 ,则 ,即 ,根据定义可得 在12012x12()fxf1()fx上是减函数(,)4 完成课后练习 A 第 3,4 题,习题 2-1A 第 5 题5 证明: 在 和 上均为减函数,并说明 在整个定义域上是否xf1)(),0
3、()0,()(xf为减函数?【典例讲解】例 1求下列函数的增区间与减区间(1)y|x 22x3|()y3 x213|例 2已知二次函数 yf(x)(xR)的图像是一条开口向下且对称轴为 x3 的抛物线,试比较大小:(1)f(6)与 f(4)()f(15)与例 3利用函数单调性定义证明函数 f(x)x 31 在(,)上是减函数参考答案:例 1.解 (1)令 f(x)x 22x3(x1) 24先作出 f(x)的图像,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分,把它在 x 轴下方的图像翻到 x 轴就得到 y|x 22x3|的图像 由图像易得:递增区间是3,1,1,)递减区间是(,3,1,1(2)分析:先去掉
4、绝对值号,把函数式化简后再考虑求单调区间当 x10 且 x11 时,得 x1 且 x2,则函数 yx当 x10 且 x11 时,得 x1 且 x0 时,则函数 yx2增区间是(,0)和(0,1)减区间是1,2)和(2,)(3)解:由x 22x30,得3x1令 ug(x)x 22x3(x1)24在 x3,1上是 在x1,1上是 而 在 上 是 增 函 数 y0函数 y 的增区间是3,1,减区间是1,1例 2解 (1)yf(x)的图像开口向下,且对称轴是 x3,x3 时,f(x)为减函数,又 643,f(6)f(4)()xf(2)44f()x3 对 称 轴 , , 而 , 函 数 在 15时为减函
5、数 , 即 f(15)f(4f(15)f(例 3证明:取任意两个值 x1,x 2(,)且 x1x 2 这 里 有 三 种 证 法 :当 时 , 当 时 , )()0()x0x2 1212 1212122证 法 一又x 1x 20,f(x 2)f(x 1)故 f(x)在(,)上是减函数证 法 二 )x(x)xx0001212212212 , 这 里 与 不 会 同 时 为 , 否 则 若 且 , 则 这 与 矛 盾 , 34得 f(x)在(,)上是减函数证 法 三 )txx43x00x0t0t f()f()212121221221令 , 其 判 别 式 , 若 时 , 则 , 那 么 , , 若
6、 , 则 , 即 , 从 而 , 在 , 上 是 减 函 数 )【达标练习】1 若函数 在 上是增函数,那么 ( )bmxy),(A.b0 B. b0 D.m0 2 函数 ,当 时是增函数,当 时是减函数,32)(mxxf ),22,(x则 等于 ( )1A.-3 B.13 C.7 D.由 m 而定的常数 3 设函数 在 上为减函数,则 ( )(xf),2.aA)(.2affB)(.2affC)(1(.2affD4 如果函数 在区间 上是增函数,那么 的取值范围是51()(xxf 1, )_.5 已知 在定义域 上是减函数,且 则 的取值范围是)(fy),(),13()(aff_6 证明函数 在 上是减函数xf1)(),0(【达标练习答案】1、C 2、B 3、D 4、 7)(f5 210a6证明:任取 且 ,)1,0(,21x2x则 ,2x )1)()()( 212121212 xxxxxffy 在 上是减函数,0,21xyf)(,0