1、函数模型及其应用一 【课标要求】1利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。二 【命题走向】函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
2、预测 2011 年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象三 【要点精讲】1解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用 x、y 分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型
3、：将变量 y 表示为 x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：2解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记实际问题 函数模型实际问题的解 函数模型的解抽象概括还原说明运用函数
4、性质考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用四 【典例解析】题型 1：正比例、反比例和一次函数型例（1）(2009 山东卷理)（本小题满分 12 分）两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城
5、A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.（1）将 y 表示成 x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离;若不存在，说明理由。解法一:（1）如图,由题意知 ACBC, 2240BCx, 24(0)kyx其中当 02x时，y=0.065,所以 k=9所以 y 表示成 x 的函数为 2249()0yxx（
6、2） 22490,423238)18(0)( x,令 0y得418()xx,所以 160,即 x,当 时, 2,即 y所以函数为单调减函数,当 4620x时, 4(0)xx,即 所以函数为单调增函数.所以当 1时, 即当 C 点到城 A 的距离为 1时, 函数 2249(0)yxx有最小值.解法二: （1）同上.（2）设 22,40mxn,则 , 9y,所以4914911()3()(32)4006nmyn当且仅当A BC x 49nm即 24016时取”=”.下面证明函数 9ym在(0,160)上为减函数, 在 (160,400)上为增函数.设 042402409 m1m29160160所以
7、221214(0)()9mm,所以 2122121()(40)() 0即 12y函数 490ym在(160,400)上为增函数.所以当 m=160 即 40x时取 ”=”,函数 y 有最小值,所以弧 上存在一点，当 410x时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小.【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用 ,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.（2） 某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续 5 年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（
8、1）如果不采取任何措施，那么到 2010 年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从 2000 年底后采取植树造林等措施，每年改造 0.6 万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到 90 万公顷？观测时间 1996 年底1997 年底1998 年底1999 年底2000 年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.2000 0.4000 0.6001 0.7999 1.0001解析：（1）由表观察知，沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关系图象近似地为一次函数 y=kx+b 的图象将 x=1，y=0.2 与 x=2，y =0.4，代入 y=kx+b，求得 k=0.2，
9、b=0，所以 y=0.2x（xN） 。因为原有沙漠面积为 95 万公顷，则到 2010 年底沙漠面积大约为95+0.515=98（万公顷） 。（2）设从 1996 年算起，第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷，由题意得95+0.2x0.6( x5)=90，解得 x=20（年） 。故到 2015 年年底，该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例” 、 “成反比例”等条件要应用好例 2(2009 湖南卷理)（本小题满分 13 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m米
10、，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y万元。（）试写出 y关于 的函数关系式；（）当 m=640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y最小？解 （）设需要新建 n个桥墩， (1)1mxx， 即 n=所以 (2)xy=f(x)256+()256(-)+256.（） 由（）知， 233221()(51).mfxx令 ()0fx，得3251，所以 =64 当 00. 在区间（64，640）内为增函数，所以 ()fx在 =
11、64 处取得最小值，此时， 64019.mnx故需新建 9 个桥墩才能使 y最小题型 2：二次函数型例 3一辆中型客车的营运总利润 y（单位：万元）与营运年数 x（xN ）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大（A）4 （B）5 （C）6 （D）7x 年 4 6 8 cbay2（万元） 7 11 7 解析：表中已给出了二次函数模型 cbxay2，由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7） ， （6，11） ， （8，7） ，则.8,6142cba。解得 a=1，b=12 ，c=-25，即 52xy。而取“=”的条件为 x25，即 x=5，故选（B） 。点评：一
12、元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。例 4 （2009 福州八中）某造船公司年造船量是 20 艘，已知造船 x艘的产值函数为 R(x)=3700x+45x2-10x3（单位：万元） ，成本函数为 C(x)=460x+5000（单位：万元） ，又在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x)。（）求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x)；（提示：利润=产值成本）（）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（）求边际利润函数 MP(x)单调递减时 x 的取值范围，并说明单
13、调递减在本题中的实际意义是什么？解 （）P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x2+3240x-5000,(xN*,且 1x20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275，(x N*,且 1x19) （） )9(104903) . 当 0x12 时 )(x0,当 x12 时， xP0. x=12，P（x）有最大值. 即年造船量安排 12 艘时，可使公司造船的年利润最大 （）MP（x）=-30x 2+60x+3275=-30(x-1)2+3305, 所以，当 x1 时，MP（x）单调递减，x 的取值范围为1,19，且 xN* ()M是减函数的实际意义：随着产
14、量的增加，每艘船的利润在减少 例 5 （2008 湖南理 21 ）已知函数 有三个极值点43219()fxxc（I）证明： ；275c（II）若存在实数 c，使函数 在区间 上单调递减，求 的取值范围。)(f,2aa解：（I）因为函数 有三个极值点, 4319fxxc所以 有三个互异的实根.32()0设 则9,gxxc2()3693()1,gxx当 时， 在 上为增函数;3(),当 时， 在 上为减函数;31x()0,gx()3,1)当 时， 在 上为增函数;所以函数 在 时取极大值,在 时取极小值.()x3x当 或 时, 最多只有两个不同实根.30g1()0g因为 有三个不同实根, 所以 且
15、 .()x(3)(1)0g即 ,且 ,27c9c解得 且 故 .,c5275（II）由（I）的证明可知，当 时, 有三个极值点.()fx不妨设为 （ ） ，则123x， ， 123x123)().x所以 的单调递减区间是 ,()f 1(x， 23若 在区间 上单调递减，x,a则 , 或 ,21(x， a23x若 ,则 .由（I）知， ,于是， 115.a若 ,则 且 .由（I）知，,a23x2x3x21x又 当 时， ;()9,fc7()3()f当 时， .5c2()5(1)fxx因此, 当 时， 所以 且27c3,a2.即 故 或 反之, 当 或 时，31.a,.531a总可找到 使函数 在
16、区间 上单调递减.(5)c)(xf综上所述, 的取值范围是 .53,1)，题型 3：分段函数型例 6 （2009 福建省）已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴 O.5 万元.据评估,当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1时,留岗员工每人每年可为企业多创利润(1- x108)万元；当待岗员工人数 x 超过原有员工1时,留岗员工每人每年可为企业多创利润 O.9595 万元.
17、为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?解 设重组后,该企业年利润为 y 万元.20001%=20,当 00.3 分故 (1)(fxf单调递减 当 7时 ，掌握程度的增长量 (1)(fxf总是下降.6 分（2）由题意可知 0.1+15ln 6a=0.85.9 分整理得 0.56ae解得.052.13.0,2(1,71.13 分由此可知，该学科是乙学科.14 分 例 10 （2008 湖北，文、理 19）（本不题满分 12 分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分） ，这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm） ，能使矩形广告面积最小？
