1、2.2.3 总体特征数的估计2.3.1 平均数及其估计1进一步熟悉并掌握初中学过的众数、中位数(重点)2理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平(难点)3掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法(重点、难点)基础初探教材整理 1 众数、中位数回顾以前所学“统计”的内容，并完成下列问题1众数的定义一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数据的众数2中位数的定义中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于中间位置的那个数称为这组数据的中位数当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列的中间的那个数当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两
2、个数的平均数填空：(1)数据 5,7,6,1,2,3,2 的中位数是_【解析】 数据的排列顺序为 1,2,2,3,5,6,7，则中位数为 3.【答案】 3(2)在数据 3,4,5,0,7,4,1,0 中众数是_，中位数是_【解析】 在上述数据中，0,4 出现次数最多，故众数是 0,4.把数据按从小到大的顺序排列为 0,0,1,3,4,4,5,7，中间两个数为 3,4，故中位数为 3.5.【答案】 0,4 3.5教材整理 2 平均数阅读教材 P65P 68“例 3”以上的内容，并完成下列问题1总体特征数的概念在数学中，通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征数2平均数或平均值(1)n 个实数 a
3、1，a 2，a 3，a n的和简记为 .ni 1ai(2)平均数或均值的定义：已知 n 个实数 a1，a 2，a 3，a n，则称 为这 n 个数据的平a1 a2 ann均数或均值一般记为 a.a1 a2 ann(3)已知频率求平均数的方法若取值为 x1， x2，x n的频率分别为 p1，p 2，p n，则其平均数为x1p1x 2p2x npn.判断正误(1)平均数反映的是样本数据的平均水平( )(2)一组数据的平均数一定是这组数据中的数( )(3)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势( )【解析】 (1).由平均数的定义可知正确(2).一组数据的平均数不一定是这组数据中的
4、数(3).由定义知正确【答案】 (1) (2) (3)小组合作型众数、中位数(1)已知一组数据为3,5,7，x,11，且这组数据的众数为 5，那么数据的中位数是_(2)在如图 231 所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是_，_.图 231【精彩点拨】 (1)根据条件先求出 x，然后按中位数的定义求解；(2)由茎叶图得到两组数据，分别求中位数即可【自主解答】 (1)这组数据的众数为 5，则 5 出现的次数最多，x5，那么这组数据按从小到大排列为3,5,5,7,11，则中位数为 5.(2)甲组数据为 28,31,39,42,45,55,57,58,66，中位数为 45.乙组数据为29,34
5、,35,42,46,48,53,55,67，中位数为 46.【答案】 (1)5 (2)45 461众数是一组数据中出现次数最多的数，一组数据的众数可能不止一个2一组数据的中位数是唯一的求中位数时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到小) 的顺序排列，如果数据的个数为奇数，则最中间的一个数是这组数的中位数；如果数据的个数为偶数，则最中间两个数的平均数是这组数据的中位数再练一题1 一个样本数据按从小到大的顺序排列为 13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为 22，则 x 为_. 2 【导学号：11032045】【解析】 由条件知中间两个数的平均数即为该组数据的中位数，所以22，解得
6、 x21.x 232【答案】 21平均数的计算及应用某公司的 33 名职工的月工资(以元为单位)如下：职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员人数 1 1 2 1 5 3 20工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500(1)求该公司职工月工资的平均数；(2)假设副董事长的工资从 5 000 元提升到 20 000 元，董事长的工资从 5 500 元提升到 30 000 元，那么新的平均数又是什么(精确到元)?(3)你认为平均数能否反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法【精彩点拨】 题 目 中 的 数 据 算 出 平 均
7、 数结 合 平 均 数 的 意 义 及 影 响 因 素 分 析 、得 结 论【自主解答】 (1)平均数是 (5 5005 000 23 5003 00052 x 13350032 000201 500) 2 091(元)69 00033(2)平均数 (30 00020 00023 500 3 00052 50032 x133000201 500) 3 288(元)108 50033(3)在这个问题中，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平1平均数的计算方法：(1)n 个数据 a1，a 2，a n的平均数为： .aa1 a2 ann(2)在
8、n 个数据中 ，如果 x1 出现 f1 次，x 2 出现 f2 次，x k出现 fk次(f1f 2 f kn) ，则这 n 个数的平均数为： .x x1f1 x2f2 xkfkn2由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质因此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，从而使平均数在估计时可靠性降低再练一题2某企业员工的月工资如下(单位：元)：800 800 800 800 800 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001
9、 000 1 000 1 000 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 5001 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 5002 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 5002 500 2 500(1)计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数；(2)假如你去这家企业应聘职位，你会如何看待员工的收入情况？【解】 (1)公司员工的月工资的平均数为：5800
10、 101 000 201 200 71 500 52 000 32 500501 320( 元) 中位数为 1 200 元，众数为 1 200 元(2)由于该公司员工月工资的中位数和众数与平均数比较接近，所以主要考虑月工资的平均数 1 320 元作为月工资的代表，这样以该公司月平均工资 1 320元与同类企业的工资待遇作比较即可探究共研型利用频率分布直方图求样本的数字特征探究 1 如何利用频率分布直方图求众数、中位数及平均数？【提示】 利用直方图求数字特征的方法：众数是最高的矩形的底边的中点中位数左右两边直方图的面积应相等平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和探究 2 从高三
11、抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图 232 所示的频率分布直方图图 232根据频率分布直方图如何求这 50 名学生成绩的众数与中位数？【提示】 (1)在频率分布直方图中高度最高的小矩形上边中点的横坐标即为众数，所以众数应为 75.(2)将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二且垂直于横轴的直线所对应的成绩即为所求0.004100.006100.02100.040.060.20.3.前三个小矩形面积的和为 0.3，而第四个小矩形面积为 0.03100.3，中位数应位于第四个小矩形内，设中位数为 x，则 x70 1076.7.0.20.3在某次期末考试的学生中抽出 60 名，将其成绩
12、(均为整数) 分成六段40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100 后，画出如图 233 所示频率分布直方图图 233根据图形，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格) ；(3)估计这次考试的平均分【精彩点拨】 (1)(2)结合频率分布直方图的知识解决(3)中可利用每组的数值及频率求出平均数【自主解答】 (1)因为各组的频率和为 1，所以第四组的频率f41(0.0250.01520.010.005)100.3.频率分布直方图如图所示：(2)依题意，60 分及以上的分数所在的第三、四、
13、五、六组的频率和为 0.75.所以估计这次考试及格率为 75%.(3)平均分为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571.1当条件给出几个范围内的数据的频数或频率时，可用组中值求近似平均数2对连续型分布的有关问题，可用组中值法求样本数据的平均数，但这种方法求得的平均值只是一个估计值再练一题3下表是某校学生日睡眠时间(单位：h)的抽样频率分布表，试估计该校学生的日平均睡眠时间.睡眠时间 人数 频率6,6.5) 5 0.056.5,7) 17 0.177,7.5) 33 0.337.5,8) 37 0.378,8.5) 6 0.068.5,9) 2 0.02合计 10
14、0 1【解】 法一：总睡眠时间约为6.2556.75177.25337.75378.2568.752739(h)故平均睡眠时间约为 7.39 h.法二：求组中值与对应频率之积的和：6.250.056.750.177.250.337.750.378.250.068.750.027.39(h)所以估计该校学生的日平均睡眠时间约为 7.39 h.1某商场买来一车苹果，从中随机抽取了 10 个苹果，其重量(单位：克)分别为：150,152,153,149,148,146,151,150,152,147，由此估计这车苹果单个重量的平均数是_【解析】 x150 152 153 149 148 146 15
15、1 150 152 14710149.8( 克) 【答案】 149.82已知 1,2,3,4，x 1，x 2， x3 的平均数是 8，那么 x1x 2x 3 的值是_【解析】 由条件知，1234x 1x 2x 387.x 1x 2x 346.【答案】 463已知一组数据 x1，x 2， ，x 10 的平均数是 ，则数据xx11，x 22，x 1010 的平均数是_. 【导学号：11032046】【解析】 平均数为 5.5.x1 2 1010 x【答案】 5.5x4某学习小组在一次数学测验中，得 100 分的有 1 人，95 分的有 1 人，90 分的有 2 人，85 分的有 4 人，80 分和
16、 75 分的各有 1 人，则该小组成绩的平均数为_【解析】 平均数是 (100952904858075)87.110平均数是 87.【答案】 875某工厂人员及周工资构成如下：人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计周工资 2 200 250 220 200 100人数 1 6 5 10 1 23合计 2 200 1 500 1 100 2 000 100 6 900(1)指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数；(2)这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？【解】 (1)众数为 200；中位数为第 12 个数，故为 220；平均数为300.6 90023(2)因平均数为 300，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平
