1、第 21 章知识升华一、知识结构图二、重、难点梳理1形如 （a0）的式子叫做二次根式事实上 （a0）表示非负数 a 的算术平方根.2满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母） ；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式如等是最简二次根式.但 等不是最简二次根式.53;ab238;ab3几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.如是同类二次根式.2;814、二次根式的主要性质（1） （a0）是一个非负数，即 0（a0） ；（2）( )2=a (a0)；（3） ；0（4）二次根式的乘法法则： (0,)a
2、bab（5）二次根式的除法法则： ,)5、二次根式的运算（1）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（类似整式中的合并同类项）.（2）二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变.三、考点例析考点 1: 最简二次根式例 1 、(2010 年哈尔滨市) 在下列根式 中,最简二次根式的个数为( )345;2;8abxA4 个 B. 3 个 C. 2 个 D.1 个分析: 是最简二次根式 , 中有因式 可以开出, 中有因数 可以开出，5;ab3 2所以 不是最简二次根式.故选 C.328x考点 2: 同类二次根式例 2 、(2010 年
3、北京市) 下列根式中,能与 合并的是( )3A B. 412C. D.328分析: 能与 合并的应是 的同类二次根式,这几个二次根式都不是最简二次根式 , 应先3化为最简二次根式, = ; ; ; .所以与 是同类二246123621833次根式的是 ,故选 B.1例 3 、(2010 年青海省)若最简二次根式 与 的被开方数相同,则 的值为( )1a4aA B. 4a3C. D. .1分析: 最简二次根式 与 的被开方数相同; 即 ,解得 ， 故a42142a1a选 C.考点 3: 二次根式的运算例 4、 (2010 年山东省东营市 ) 下列计算正确的是 ( )A B. 822719413C
4、. D. .516分析: 由二次根式的性质和运算法则的 . 而 B 选项中明显用被822开方数除以非被开方数,错用二次根式除法法则;C 选项用平方差公式即可得 45 =1; D选项丢了 =-1 这一项.故选 A.2例 5、 （2010 年江西省）化简 得( )82A2 B. C. 2 D. 42分析:由二次根式的性质和运算法则得 , .故选 A.822考点 4:化简例 6、 （2010 年北京市）计算0211分析：原式= .2(1)考点 5: 运用二次根式的性质化简例 7、 （2010 年江西省）已知 22()a， 则分析： 2,0,a.a例 8、 （2010 年绍兴）化简 得（ ）22413
5、xxA2 B. C. 2 4D. .4x分析:由 ,所以 = =30,21x得 22xx21(3)x,故应选 A.1考点 6：二次根式成立的条件例 9、 （2010 年山西省课该实验区）代数式 有意义时，字母 的取值范围（ ）1xxA B. C. D. .1x1x0且 01且 x分析:由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，所以 即 故选 A10,x.考点 7：估算二次根式例 10、 （2010 年沈阳课改）估算 的值为( )243A在 5 和 6 之间 B. 在 6 和 7 之间 C. 在 7 和 8 之间 D.在 8 和 9 之间.分析：因为 即 ，所以 .故选 C.1552438四、热
6、点、易混点追踪1、概念理解模糊、审题不清例 1、有下列命题：（1）二次根式的被开方数是相负数，则其值是非负数；（2）是最简二次根式；（3）若 是二次根式，则 .其中正确的个数有2yxba0,ba（ ）个.A、0 B、1 C、 2 D、3错解：选 D.剖析：本例中， （1）错在对二次根式概念的狭隘理解，认为形如 的式子就0a是二次根式，而二次根式的值是非负数的.事实上，2 等也是二次根式，但它是0a非正数.（2）错在忽视了 的条件.（3）错在将二次根式的概念与其性质02yx混为一谈了，事实上只要满足 即可.故选 A.,0bab 0b例 2、已知 与 是同类二次根式，则 的值为（ ）3x5xA、4
7、 B、5 C、无数个 D、非上述答案错解：选 A.剖析：选项 A 错在是解 而得，这考虑仅仅是最简二次根式的情况.当2或 525 也是同类二次根式，故选 C.132x2、对性质成立的条件理解不透例 3、有下列各式：（1） ；（2） ；（3）ba2 112aa一定成立的有（ ）个.abA、0 B、1 C、2 D、3错解：选 D.剖析：（1）错在 不一定是非负数， （2）错在忽视了 的条件， （3）错在等式1a要成立，必须满足 .故选 A.0,ba3、忽视几何图形中的条件限制例 4、已知 为ABC 的三边长，求 的值.c, 22cabca错解：原式= .bcaba2剖析：本例错在忽视了“三角形两边
8、之和大于第三边”条件的限制，而导致错误.原式= .c4、计算不依据法则，随意而为例 5、下列计算：（1） ；（2） ；（3）aa532123；（4） ；（5） .正确的个2 1148数有（ ）A、3 B、4 C、 5 D、非上述答案错解：选 C.剖析：（1）错在臆造 ；（2）错在合并同类二次根式是只考虑了“系3数” ；（3）错在套用了整数与分数相加的法则；（4） 、 （5）错在想巧算、快算反而弄巧成拙.故 5 个都错，选 D.5、求解顾后不瞻前来源:学优高考网例 6、若 有意义，则 的取值范围是 .1xx错解：由题意，得 ，解得 .044剖析：本例虽然考虑到被开方数的取值情况，但忽视了分母不能
9、为零这个条件，正确结果为 且 .0x1例 7、先化简 ，然后再选择合适的数求值.x2错解：原式= .当 =0 时，原式=0.xx112剖析：由题意，知 ，当 =0 时，原式无意义，因此只可取 的数求值.如取x 1x=4 时，原式=6.x例 8、解方程： 42x错解：原方程变为： ，解得： .x2,1x剖析：只顾一直做下去，以为求得解了就大功告成，是犯这类错误的特点.如果解题后，回过头来验证一下，就可以避免这类错误了，本题中， =2 时， 无意义，所以 =2.x6、忽视隐含条件，使结论多解、漏解例 9、化简 .223aa错解：原式= .)3(15剖析：本例隐含着 ，故 ，则 ，化简得原式=1.0
10、2a02a27、已知 ，那么 的值是 .3xyyx错解：原式= .32剖析：虽然 ，但我们并不知道 的取值符号，因此要进行讨论.（1）当3xyyx,时，原式= ；（2）当 时，原式=0,x 30,yx.故填 .2xyy五、本章达标测试一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）：1、已知 与 是同类二次根式，则 的值为（ ）2x5xA、4 B、5 C、无数个 D、非上述答案2、有下列各式：（1） ；（2） ；（3）211aa2ab.一定成立的有（ ）abA、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个3、如果实数 满足 ，则 的值为（ ）,xy250xy42xyA、0 B、5 C、2 D、54、若
11、 ，且 ，则 的值为（ ）1.21A、14.02 B、 C、 D、1.4024.00.1425、如果 ，则 的关系为（ ）22xy,xyA、 B、 C、 D、xy22xy6、下列运算正确的是（ ）A、 B、21.50.510.5.1C、 D、x 2xx7、如果代数式 有意义，那么直角坐标系中点 P 的位置在（ ）1mn,mnA、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限8、下列各组二次根式中， 的取值范围相同的是（ ）xA、 与 B、 与 1x2xC、 与 D、 与2219、如图所示，有一边长为 8 米的正方形大厅，它是由大小完全相同的黑白方砖密铺而成，则每一块方砖的边长为（ ）A、
12、B、 1 C、 D、85 2 2二、填空题（每小题 2 分，共 20 分）：10、请写出一个无理数使它与 的积是有理数： . 3111、若 ，则 a 的取值范围是_若 ，则 a 的取02a值范围是 . 12、已知二次根式 与 是同类二次根式，试写出三个 a 的可能取值 . 1713、一个密码系统的原理如下所示：输入 输出，如果输出结果为 13 时，则输x21入的 =x. 14、已知 ，那么 的值是 . 2abba15、已知 ， ，则 用含 的代数式表示为 . 030.24,b16、已知 （ 为正整数） ，当 时，有 .请用计算器计算1,2AnBn5nAB当 时，A、B 的若干值，并由此归纳出当
13、 时，A、B 间的大小关系为 .6617、数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简 = 222)()1()( baba18、已知长方形相邻两边之比为 23， 对角线长为 ，则长方形的面积为 .来源: 学优高考网3919、规定两种新运算： ，如,bacd，那么 = . 239,326123三、解答题（70 分）：20、 （8 分）不使用计算器，计算 1054.4521、 （10 分）已知 ，求 的值.23,23xyx22xyzxyz22、 （10 分）图 1 是一种两种口味的火锅，为了制造这种火锅，我们把这个实际问题转化为一个数学问题就是在一圆筒里放入两种不同的物体，并用一个长方形的金属薄片（金
14、属厚度忽略不计）分隔开来（如图 2） ，已知圆筒高为 ，容积为 ，问这个长20cm32510c方形玻璃薄片的面积为多少？（ 取 3.14，玻璃薄片的上边与圆筒的上底面持平）图 1 图 223、 （10 分）边长为 a 的正方形桌面，正中间有一个边长为 的正方形方孔若沿图中虚3a线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面你会拼吗？试求出新的正方形边长24、 （7 分）已知： =a， ，一个同学在化简 时是2a222ab743这样化简的： =2+ 224333()()A请仿照这个同学的做法化简： .16525、 （7 分）阅读理解：我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 ，如abcd abcdc，现在
15、请你计算 .2564841248726、 （10 分）同学们都知道对于 的式子，可以将分子、分母同乘以 来化去分母中的abb根号，如 ，那么如果分母中是形如 的形式，该怎么办呢？办法有12ab的是，我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以 ，从而化去分母中的根号，如 .根据以上介绍，请你解答下面的问题：1313123（1）已知 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值.451ab2a（2）试着化简： 981321来源:gkstk.Com参考答案一、19 、C A D C B D B C C二、10、 3111、 ，0a112、3，31，8713、 214、15、 ab16、 AB17、218、18来源:gkstk.Com19、 6三、20、 751221、22、解：设圆柱形圆筒的底面半径为 ，则： = ，故长方形玻璃薄x251023.4cm片的面积应为： .22048cm23、解：设新正方形的边长为 ，根据题意有： ，解得 .x2213xa23xa24、3 来源:学优高考网525、 47626、 （1） 0（2）原式= =2213298
