1、221 二次函数的图象和性质221.1 二次函数1从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系2理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式3会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围重点二次函数的概念和解析式难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力一、创设情境，导入新课问题 1 现有一根 12 m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题 2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，
2、篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题) 二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量 y 与 x 之间的关系：(1)圆的半径 x(cm)与面积 y(cm2)；(2)王先生存入银行 2 万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为 x，两年后王先生共得本息 y 元；(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形 ，周长为 120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为 x (m)，种植面积为 y(m2)(一)教师组织
3、合作学习活动：1先个体探求，尝试写出 y 与 x 之间的函数解析式2上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨(1)y x2 (2)y20000(1x) 220000x 240000x20000 (3)y (60x4)(x2)x 258x112(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有 yax 2bxc(a，b，c 是常数，a0)的形式板书：我们把形如 yax 2bxc(其中 a，b，c 是常数，a0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称 a 为二次项系数，b 为一
4、次项系数，c 为常数项请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项三、做一做1下列函数中，哪些是二次函数？(1)yx 2 (2)y (3)y 2x 2x11x2(4)yx(1 x) (5)y (x 1) 2(x1)(x 1)2分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)yx 21 (2)y3x 27x12 (3)y 2x(1x)3若函数 y(m 21)xm 2m 为二次函数，则 m 的值为_四、课堂小结反思提高，本节课你有什么收获？五、作业布置教材第 41 页 第 1，2 题.22.1.2 二次函数 yax 2的图象和性质通过画图，了解二次函数 yax 2(a0)
5、的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是 y 轴，开口方向为何向上(或向下) ，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题重点从“数”(解析式)和“形”( 图象) 的角度理解二次函数 yax 2 的性质，掌握二次函数解析式 yax 2 与函数图象的内在关系难点画二次函数 yax 2 的图象一、引入新课1下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？(1)y3x1 (2)y 2x 27 (3)y x2(4)y3(x 1) 212一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点，又有哪些性质呢？3上节课我们学习了二次函数的概念，掌
6、握了它的一般形式，这节课我们先来探究二次函数中最简单的 yax 2 的图象和性质二、教学活动活动 1：画函数 yx 2 的图象(1)多媒体展示画法(列表，描点 ，连线)(2)提出问题：它的形状类似于什么？(3)引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点活动 2：在坐标纸上画函数 y0.5x 2，y2x 2 的图象(1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正确的画图过程(2)引导学生观察二次函数 y0.5x 2，y2x 2 与函数 yx 2 的图象，提出问题：它们有什么共同点和不同点？(3)归纳总结：共同点：它们都是抛物线；除顶点外都处于 x 轴的下方；开口向下；对称轴是
7、y 轴；顶点都是原点(0， 0)不同点：开口大小不同(4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数 yax 2 是当 a0 时的情况系数 a 越大，抛物线开口越大活动 3：在同一个直角坐标系中画函数 yx 2，y0.5x 2，y2x 2 的图象类似活动 2：让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼出二次函数 yax 2(a0)的图象和性质二次函数 yax 2(a0) 的图象和性质图象(草图)开口方向顶点对称轴来源:学优高考网最高或最低点最值a0 当x_时，y 有最_值，是_.a0 当x_时，y 有最_值，是_.活动 4：达标检测(1)函数 y8x 2 的图象开口向_，顶点是_ ，对称轴
8、是_，当x_时，y 随 x 的增大而减小(2)二次函数 y(2k5)x 2 的图象如图所示，则 k 的取值范围为_(3)如图，yax 2；ybx 2；ycx 2；ydx 2.比较 a，b，c，d 的大小，用“”连接_答案：(1)下，(0，0)，x0，0；(2)k2.5；(3)abdc.三、课堂小结与作业布置课堂小结1二次函数的图象都是抛物线2二次函数 yax 2 的图象性质：(1)抛物线 yax 2 的对称轴是 y 轴，顶点是原点(2)当 a0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当 a0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点；|a|越大，抛物线的开口越小作业布置教材第 32 页
9、 练习221.3 二次函数 ya(xh )2k 的图象和性质1经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义2了解 yax 2，ya(xh) 2，ya(xh) 2k 三类二次函数图象之间的关系3会从图象的平移变换的角度认识 ya(xh) 2k 型二次函数的图象特征重点从图象的平移变换的角度认识 ya(xh) 2k 型二次函数的图象特征难点对于平移变换的理解和确定，学生较难理解一、复习引入二次函数 yax 2 的图象和特征：1名称_；2.顶点坐标_；3.对称轴_；4.当 a0 时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线上的最_点，图象在 x 轴的_(除顶点外) ；当 a0 时，抛物线的开口向_，顶点
10、是抛物线上的最_点，图象在 x 轴的_(除顶点外)二、合作学习在同一坐标系中画出函数 y x2，y (x2) 2，y (x2) 2 的图象12 12 12(1)请比较这三个函数图象有什么共同特征？(2)顶点和对称轴有什么关系？(3)图象之间的位置能否通过适当的变换得到？(4)由此，你发现了什么？三、探究二次函数 yax 2 和 ya(xh) 2 图象之间的关系1结合学生所画图象，引导学生观察 y (x2) 2 与 y x2 的图象位置关系，直观得12 12出 y x2 的图象 y (x2) 2 的图象12 向 左 平 移 两 个 单 位12教师可以采取以下措施：借助几何画板演示几个对应点的位置
11、关系，如：(0，0) (2，0)； 向 左 平 移 两 个 单 位 (2，2) (0，2)； 向 左 平 移 两 个 单 位 (2，2) (4，2) 向 左 平 移 两 个 单 位 也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程2用同样的方法得出 y x2 的图象 y (x2) 2 的图象12 向 右 平 移 两 个 单 位123请你总结二次函数 ya(xh) 2 的图象和性质yax 2(a0) 的图象 ya(xh) 2 的图象 当 h 0时 ， 向 右 平 移 h个 单 位 当 h 0时 ， 向 左 平 移 |h|个 单 位函数 ya(x h) 2 的图象的顶点坐标是
12、 (h，0)，对称轴是直线 xh.4做一做(1)抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标y2(x3) 2y3(x 1) 2来源:gkstk.Comy4(x3) 2(2)填空：抛物线 y2x 2 向_平移_个单位可得到 y2(x1) 2；函数 y5(x4) 2 的图象可以由抛物线_向_ 平移_个单位而得到四、探究二次函数 ya(xh) 2k 和 yax 2 图象之间的关系1在上面的平面直角坐标系中画出二次函数 y (x2) 23 的图象12首先引导学生观察比较 y (x2) 2 与 y (x2) 23 的图象关系，直观得出：12 12y (x 2)2 的图象 y (x2) 23 的图象( 结合多媒体演
13、示)12 向 上 平 移 3个 单 位12再引导学生观察刚才得到的 y x2 的图象与 y (x2) 2 的图象之间的位置关系，由12 12此得出：只要把抛物线 y x2 先向左平移 2 个单位，在向上平移 3 个单位，就可得到函数12y (x2) 23 的图象122做一做：请填写下表：函数解析式 图象的对称轴 图象的顶点坐标y x212y (x2) 212y (x2) 23123.总结 ya(xh) 2k 的图象和 yax 2 图象的关系yax 2(a0) 的图象 ya(xh) 2 的图象 当 h 0时 ， 向 右 平 移 h个 单 位 当 h 0时 ， 向 左 平 移 |h|个 单 位ya
14、(x h) 2k 的图象 当 k 0时 ， 向 上 平 移 k个 单 位 当 k 0时 ， 向 下 平 移 |k|个 单 位ya(x h)2k 的图象的对称轴是直线 xh，顶点坐标是(h，k)口诀：(h，k) 正负左右上下移(h 左加右减，k 上加下减)从二次函数 ya(xh) 2k 的图象可以看出：如果 a0，当 xh 时，y 随 x 的增大而减小，当 xh 时，y 随 x 的增大而增大；如果 a0，当 x h 时，y 随 x 的增大而增大，当 xh 时，y 随 x 的增大而减小4练习：课本第 37 页 练习五、课堂小结1函数 ya(xh) 2k 的图象和函数 yax 2 图象之间的关系2函
15、数 ya(xh) 2k 的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质六、作业布置来源:学优高考网 gkstk教材第 41 页 第 5 题 22.1.4 二次函数 yax 2bxc 的图象和性质( 2 课时)第 1 课时 二次函数 yax 2bx c 的图象和性质1掌握用描点法画出二次函数 yax 2bxc 的图象2掌握用图象或通过配方确定抛物线 yax 2bxc 的开口方向、对称轴和顶点坐标3经历探索二次函数 yax 2bxc 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数 yax 2bxc 的性质重点通过图象和配方描述二次函数 yax 2bxc 的性质难点理解二次函数一般形
16、式 yax 2bxc(a0)的配方过程，发现并总结 yax 2bxc与 ya(x h) 2k 的内在关系一、导入新课1二次函数 ya(xh) 2k 的图象，可以由函数 yax 2 的图象先向_平移_个单位，再向_平移_个单位得到2二次函数 ya(xh) 2k 的图象的开口方向_，对称轴是_，顶点坐标是_3二次函数 y x26x21，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶12点坐标，并画出图象吗？二、教学活动来源:学优高考网 gkstk活动 1：通过配方，确定抛物线 y x26x21 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再12描点画图(1)多媒体展示画法(列表，描点 ，连线)；(2)提出问题：
17、它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？(3)引导学生合作、讨论观察图象：在对称轴的左右两侧， 抛物线从左往右的变化趋势活动 2：1.不画出图象，你能直接说出函数 yx 22x3 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2你能画出函数 yx 22x3 的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；(2)抽一位或两位同学板演，学生自纠，老师点评；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？活动 3：对于任意一个二次函数 yax 2bxc(a0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把
18、结果写出来吗？(1)组织学生分组讨论，教师巡视；(2)各组选派代表发言，全班交流，达成共识，抽学生板演配方过程；教师课件展示二次函数 yax 2 bxc(a 0)和 yax 2bxc(a0)的图象(3)引导学生观察二次函数 yax 2bxc(a0)的图象，在对称轴的左右两侧 ，y 随 x的增大有什么变化规律？(4)引导学生归纳总结二次函数 yax 2bxc(a0)的图象和性质活动 4：已知抛物线 yx 22ax9 的顶点在坐标轴上，求 a 的值活动 5：检测反馈1填空：(1)抛物线 yx 22x2 的顶点坐标是_；(2)抛物线 y2x 22x1 的开口_，对称轴是_ ；(3)二次函数 yax
19、24xa 的最大值是 3，则 a_.2写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标(1)y3x 22x；(2)y 2x 28x8.3求二次函数 ymx 22mx3(m0)的图象的对称轴，并说出该图象具有哪些性质4抛物线 yax 22xc 的顶点是(1，2)，则 a，c 的值分别是多少？答案：1.(1)(1 ， 1)；(2) 向上， x ；(3) 1；2.(1)开口向上，x ，( ， )；(2)12 13 13 13开口向下，x2，(2，0)；3.对称轴 x1，当 m0 时 ，开口向上，顶点坐标是(1，3m) ； 4.a1，c3.三、课堂小结与作业布置课堂小结二次函数 yax 2bxc(a 0)的
20、图象与性质作业布置教材第 41 页 第 6 题第 2 课时 用待定系数法求二次函数的解析式1掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式2能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性3能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质重点二次函数的解析式和利用函数的图象观察性质难点利用图象观察性质一、复习引入1抛物线 y2(x4) 25 的顶点坐标是_，对称轴是 _，在_侧，即 x_4 时，y 随着 x 的增大而增大；在_侧，即 x_4 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x_时，函数 y 最_值是_2抛物线
21、 y2(x3) 26 的顶点坐标是_，对称轴是 _，在_侧，即 x_3 时，y 随着 x 的增大而增大；在_侧，即 x_3 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x_时，函数 y 最_值是_二、例题讲解例 1 根据下列条件求二次函数的解析式：(1)函数图象经过点 A(3，0)，B(1，0)，C(0，2) ；(2)函数图象的顶点坐标是(2， 4)，且经过点(0，1) ；(3)函数图象的对称轴是直线 x3，且图象经过点(1 ，0)和(5，0) 说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标(或对称轴或最值)及另一
22、个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与 x 轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷例 2 已知函数 yx 22x3，(1)把它写成 ya(x h) 2k 的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象的草图；(5)设图象交 x 轴于 A，B 两点 ，交 y 轴于 P 点，求APB 的面积；(6)根据图象草图，说出 x 取哪些值时，y0；y0?说明：(1)对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；(2)利用函数图象判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图象 ，要使y0 抛物线开口向_a0b2a抛物线对称轴在 y 轴的_侧b0 抛物线对称轴是_轴 0 抛物线与 y 轴交于_c0 抛物线与 y 轴交于_c0 抛物线与 y 轴交于_三、课堂小结本节课你学到了什么？四、作业布置教材第 40 页 练习 1，2.
