1、第 2 课时 圆的一般方程1了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径(易错点)2会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题( 重点、难点)基础初探教材整理 圆的一般方程的定义阅读教材 P109，完成下列问题1圆的一般方程的定义(1)当 D2E 24F0 时，方程 x2y 2Dx EyF0 叫做圆的一般方程，其圆心为 ，半径为 .( D2， E2) 12D2 E2 4F(2)当 D2E 24F0 时，方程 x2y 2DxEy F0 表示点 .( D2， E2)(3)当 D2E 24F0)，则其位置关系如下表：位置关系 代数关系点 M 在圆外 x y Dx 0Ey 0F
2、020 20点 M 在圆上 x y Dx 0Ey 0F 20 200点 M 在圆内 x y Dx 0Ey 0F0.()2圆 x2y 22x4y30 化为标准形式为_ 【解析】 由 x2y 22x4y30，得(x1) 2(y2) 22.故圆的标准形式为(x 1) 2(y2) 22.【答案】 (x1) 2(y2) 223方程 x2 y24x2y5m0 表示圆的条件是_【解析】 由题意可知，16(2) 220m0，解得 m1.【答案】 (，1)小组合作型二元二次方程的曲线与圆的关系下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径(1)2x2y 27x50；(2)x22xyy 26x 7y0；(3)x2y
3、 22x4y 100 ；(4)2x22y 24y0；(5)ax2ay 24(a1)x 4y 0(a0)【精彩点拨】 根据二元二次方程表示圆的条件判断【自主解答】 (1)A B，不能表示圆(2)xy 前的系数不等于 0，不能表示圆(3)D 2E 24F(2) 2(4) 24100，原方程表示圆，4a 12 1a2此时圆心坐标为 ，(2a 1a ， 2a)半径 r .2a2 2a 2|a|法二：a0，原方程可化为x2y 2 x y0.4a 1a 4aD 2E 24F 16a 12a2 16a2 0，16a 12 16a2原方程表示圆，此时圆心坐标为 ，(2a 1a ， 2a)半径 r .2a2 2
4、a 2|a|形如 x2y 2DxEy F 0 的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义判断 D2E 24F 是否为正若 D2E 24F 0，则方程表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆再练一题1讨论方程 x2y 22ay10(aR)表示曲线的形状【解】 当 a1 时，此方程表示的曲线是圆心为(0，a)，半径为 的圆；a2 1当 a1 时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，a)；当10)此圆过 A，B，C 三点，Error!解得Error!圆的方程为 x2y 24x4y20.法二：设圆的方程为(
5、x a)2(yb) 2r 2，则Error!，得Error!解得 a2，b2.r 210.圆的方程为(x 2) 2(y2) 210.即圆的一般式方程为 x2 y24x4y20.法三：AB 的中垂线方程为 y1 (x0)，12BC 的中垂线方程为 y2 (x2)，13联立解得圆心坐标为(2,2)设圆的半径为 r，则 r2(12) 2(32) 210，圆的方程为(x 2) 2(y2) 210，即圆的一般式方程为 x2 y24x4y20.法四：由于 kAB 2，k AC ， 1 3 1 1 5 3 3 1 12k ABkAC1，ABAC，ABC 是以A 为直角的直角三角形，外接圆圆心为 BC 的中点
6、，即(2,2)，半径 r |BC| ，12 10圆的方程为(x 2) 2(y2) 210.即圆的一般式方程为 x2 y24x4y20.(2)M(1,2)，1 22 24142210，点 N(4,5)在圆外Q(2,3)，2 23 24243270，点 Q(2,3)在圆外本题法一、法二中采用了待定系数法用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 D，E，F.法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂
7、线过圆心” 通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程圆的标准方程和一般方程有如下关系：(1)由圆的标准方程(x a) 2(yb) 2r 2，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径 r，圆的几何特征明显(2)由圆的一般方程 x2y 2DxEyF 0(D 2E 24F0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显(3)再练一题2已知圆 C：x 2y 2DxEy30，圆心在直线 xy10 上，且圆心在第二象限，半径为 ，求圆的一般方程2【解】 圆心 C ，( D2， E2)圆心在直线 xy 10 上， 10，即 DE2，D2 E2又 r
8、，D2 E2 122 2D 2E 220，由可得Error!或Error!又圆心在第二象限， 0，D2Error!圆的方程为 x2y 22x4y30.探究共研型轨迹问题探究 1 若|AB|2，C 为 AB 的中点，动点 P 满足| PC|2，那么 P 点轨迹是什么曲线？求出曲线方程？【提示】 以 AB 所在直线为 x 轴，以 C 为原点建立直角坐标系，则 C(0,0)，P 点的轨迹是以 C 为圆心，半径为 2 的圆的方程为 x2y 24.探究 2 已知一条曲线在 x 轴的上方，它上面的每一点到点 A(0,2)的距离都是 2，求这条曲线的方程，并说明是什么曲线【提示】 设点 M(x，y)是曲线上
9、任意一点，根据题意，有：2.x2 y 22两边平方，得 x2(y 2) 24.因为曲线在 x 轴上方，y 0，所以曲线方程应是 x2(y2) 24(y0) 曲线是圆心为(0,2) ，半径为 2 的圆在 x 轴上方的部分(1)点 P(4，2)与圆 x2y 24 上任一点连线的中点轨迹方程是_(2)已知点 A(3,0)，B (3,0)，动点 P 满足 PA2PB.若点 P 的轨迹为曲线C，则此曲线的方程为_. 【导学号：41292101】【精彩点拨】 (1)设出中点坐标和圆上点的坐标，用圆上点的坐标表示中点坐标，再代入圆的方程，化简即可(2)设出点 P 的坐标，利用 PA2PB 得点 P 坐标的关
10、系，化简即可【自主解答】 (1)设圆上任意一点为(x 1，y 1)，它与点 P 连线的中点坐标为(x， y)，则 x ，y ，x1 42 y1 22所以 x12x4，y 12y2，又(x 1，y 1)在圆 x2y 24 上，所以(2 x4) 2(2y2) 24，即(x2) 2(y1) 21.(2)设点 P 的坐标为(x，y)，则 2 .x 32 y2 x 32 y2化简可得(x5) 2y 216，此即为所求【答案】 (1)(x 2) 2(y1) 21 (2)( x5) 2y 216求与圆有关的轨迹问题常用的方法1直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满
11、足的关系式如上例(2)2定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程3相关点法：若动点 P(x，y)随着圆上的另一动点 Q(x1，y 1)的运动而运动，且 x1，y 1 可用 x，y 表示，则可将 Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点 P的轨迹方程如上例(1)再练一题 3已知圆的方程为 x2y 26x6y140，求过点 A(3，5)的直线交圆的弦 PQ 的中点 M 的轨迹方程【解】 设所求轨迹上任一点 M(x，y)，圆的方程可化为( x3) 2(y3)24，圆心 C(3,3)CMAM， k CMkAM1，即 1，y 3x 3y 5x 3即 x2(y1) 225.所求轨迹
12、方程为 x2(y1) 225(已知圆内的部分) 1圆 x2y 24x6y0 的圆心坐标是_【答案】 (2，3)2经过三点 A(1，1)， B(1,4)，C(4，2)的圆的方程为_【解析】 设圆的一般方程为 x2y 2DxEyF0.将 A，B ，C 三点代入，整理得方程组Error!解得Error!所求圆的方程为 x2y 27x3y20.【答案】 x 2y 27x3y203方程 x2 y22ax2bya 2b 20 表示的图形为 _. 【导学号：41292102】【解析】 原方程可化为：(xa) 2(yb) 20.所以它表示点(a，b)【答案】 (a，b)4圆 C：x 2y 22x 4y40 的
13、圆心到直线 3x4y40 的距离d_.【解析】 圆心(1,2) 到直线 3x4y40 的距离为3.|31 42 4|5【答案】 35等腰三角形的顶点是 A(4,2)，底边一个端点是 B(3,5)，求另一个端点 C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？【解】 设另一端点 C 的坐标为(x，y )，依题意，得 ACAB.由两点间距离公式，得 ，整理得(x4) 2(y 2) 210.x 42 y 22 4 32 2 52这是以点 A(4,2)为圆心，以 为半径的圆，如图所示，又因为 A，B，C10为三角形的三个顶点，所以 A，B，C 三点不共线即点 B，C 不能重合且B，C 不能为圆 A 的一直径的两个端点因为点 B，C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5)又因为点 B，C 不能为一直径的两个端点，所以 4 ，且 2 ，即点 C 不能为(5 ，1) x 32 y 52故端点 C 的轨迹方程是(x4) 2( y2) 210(除去点(3,5)和(5，1)，它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 为半径的圆，但除去 (3,5)和(5，1)两点10
