1、第 2 课时 对数的运算性质1掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算(重点)2了解换底公式3能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题(难点)基础初探教材整理 1 对数的运算性质阅读教材 P75P 76，完成下列问题1符号表示如果 a0，a1，M0，N0，则(1)loga(MN)log aMlog aN；(2)logaMnnlog aM(nR)；(3)loga log aMlog aN.MN2文字表述(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；(2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；(3)一个正数的 n 次幂的对数等于 n 倍的该数的对数1判断(正确的打
2、“” ，错误的打“”)(1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差( )(2)logaxlogaylog a(xy )( )(3)loga(2) 44log a(2) ( )【解析】 根据对数的运算性质(1)只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(2)错误， (3)中2 不能作真数【答案】 (1) (2) (3)2(1)log 2 25log 2 _；(2)log 2 8_.254【解析】 (1)log 2 25log 2 log 2 25 log 2 4log 2 222log 2 22.254 425(2)log2 8log 2 233log 2 23.【答案】 (1)2 (2)3
3、教材整理 2 换底公式阅读教材 P77P 78，完成下列问题1换底公式一般地，我们有 logaN ，(其中 a0，a1，N0，c 0，c 1)，这个logcNlogca公式称为对数的换底公式2与换底公式有关的几个结论(1)loga blogb a1(a，b0 且 a，b1)；(2)logambn loga b(a，b0 且 a，b1，m0)nm若 lg 5a，lg 7b，用 a，b 表示 log75_.【解析】 log 75 .lg 5lg 7 ab【答案】 ab小组合作型对数运算性质的应用计算下列各式的值(1)lg 2lg 5；(2)log 5 35 2log log 5 log 5 14；
4、(3)(1log 6 3)2log 6 122 1502log6 18log6 4.【精彩点拨】 根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算【自主解答】 (1)lg 2 lg 5lg (25) lg 101.(2)原式log 5 2log 2 log 5 5312.355014 12 12(3)原式(log 6 6log 6 3)2log 6 2log6(232)log6 4 log6 22(log6 63)2 log6 2log6 2 log6 32(log 6 2)2(log 6 2)22log 6 2log6 32log6 2log 6 2log 6 3log
5、 6(23)1.1对于同底的对数的化简要用的方法(1)“收” ，将同底的两对数的和(差) 收成积(商)的对数；(2)“拆” ，将积 (商)的对数拆成两对数的和 (差)2注意对数的性质的应用，如 loga 10，log a a1，a loga NN.3化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值再练一题1计算下列各式的值：(1) lg lg lg ；12 3249 43 8 245(2)lg 25 lg 8lg 5lg 20(lg 2) 2；23(3)2log3 2log 3 log 3 85 log5 3.329【解】 (1)法一 ：原式 (5lg 22lg 7) lg 2 (2lg
6、7lg 5)12 43 32 12 lg 2lg 72lg 2lg 7 lg 552 12 lg 2 lg 5 (lg 2lg 5)12 12 12 lg 10 .12 12法二：原式lg lg 4lg 7427 5lg lg ( )lg .427574 2 5 10 12(2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)22lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213.(3)原式2log 3 2(log 3 32log 3 9)3log 3 232log 3 25log 3 223log 3 231.化简：【精彩点拨】 将需表示式子中的真数用已知的式子中的真
7、数表示出来【自主解答】 (1)log 2(2882)log 228(23)2log 2(2832 )log 2 21414.(2)lg 24lg (38)lg 3lg 8lg 33lg 2.这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值要特别注意 loga(MN)log a Mloga N，log a(MN)log a Mloga N.再练一题2化简：(1)log (4582)；(2)log 27log 9；213
8、13(3)用 lg x，lg y，lg z 表示 lg .x2y3z【解】 (1)log (4582)log (21026)log 21616log 2 2 2 2216232.(2)log 27log 9log log 31.13 13 13279 13(3)lg lg x2lg lg 2lg x lg y lg z.x2y3z y 3z 12 13换底公式及其应用(1)已知 3a5 bc ，且 2，则 c 的值为_1a 1b(2)已知 x，y，z 为正数，3 x4 y6 z,2xpy.求 p；证明： .1z 1x 12y【精彩点拨】 用换底公式统一底数再求解【自主解答】 (1)由 3a5
9、bc ，得 alog 3c，blog 5c，所以log c3， logc5.又 2，所以 logc3log c5 2，即 logc152，c .1a 1b 1a 1b 15【答案】 15(2)设 3x4 y6 zk (k 1)，则 xlog 3k，y log 4k，zlog 6k，由2xpy，得 2log3kplog 4k，解得 p2log 34.证明： 1z 1x 1log6k 1log3klog k6log k3log k2，而 logk4log k2.12y 12log4k 12故 .1z 1x 12y1换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明换底公式应用
10、时，一般换成以 10 为底的常用对数，或以 e 为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定2换底公式推导出的两个恒等式：(1)logamNn loga N；nm(2)loga blogb a1，要注意熟练应用再练一题3计算：(log 2 125log 4 25log 8 5)(log5 2log 25 4log 125 8)【解】 原式(log 2 53log 22 52log 23 5)(log5 2log 52 22log 53 23)(3log 2 5log 2 5 log2 5)(log5 2log 5 2log 5 2)13 log2 53log5 213.133对数运算在实际问题中
11、的应用2015 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果年平均增长 8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是 2015 年的 2 倍？(已知 lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg 1.080.033 4，精确到 1 年)【精彩点拨】 认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解【自主解答】 设经过 x 年，我国国民生产总值是 2015 年的 2 倍经过 1 年，总产值为 a(18%)，经过 2 年，总产值为 a(18%) 2，经过 x 年，总产值为 a(1 8%)x.由题意得 a(18%) x2a，即 1.08x2，两边取常用对数，得 lg 1.08xlg 2
12、，则 x 9(年) lg 2lg 1.08 0.301 00.033 4答：约经过 9 年，国民生产总值是 2015 年的 2 倍解对数应用题的步骤再练一题42000 年我国国内生产总值(GDP)为 89 442 亿元，如果我国的 GDP 年均增长 7.8%左右，按照这个增长速度，在 2000 年的基础上，经过多少年后，我国 GDP 才能实现比 2000 年翻两番的目标？(lg 2 0.301 0，lg 1.0780.032 6，结果保留整数) 【解】 假设经过 x 年实现 GDP 比 2000 年翻两番的目标，根据题意，得89 442(1 7.8%)x89 4424，即 1.078x4，故
13、xlog 1.078 4 18.5.lg 4lg 1.078答：约经过 19 年以后，我国 GDP 才能实现比 2000 年翻两番的目标探究共研型含对数式的方程的解法探究 1 对数的运算性质有哪些？【提示】 log a MNlog a Mlog a N，log a log a Mlog a N，log a bMN，log a Mnnlog a M，log am bnlogc blogc a loga b.nm探究 2 解对数方程 loga Mlog a N，应注意什么？【提示】 Error!已知 lg x lg y2lg (x2y)，求 log 的值12(xy)【精彩点拨】 根据对数的运算性质
14、得到 x，y 的关系式，解方程即可【自主解答】 lg xlg ylg ( xy)2lg (x 2y)lg (x 2y) 2，由题知，xy(x2y) 2，即 x25xy 4y 20， 25 40，(xy) (xy) 0，故 1 或 4.(xy 1)(xy 4) xy又当 xy 时，x2yy0 ，故舍去， 4.xylog log 42.12xy 12解含对数式的方程应注意两点：(1)对数的运算性质；(2)对数中底数和真数的范围限制再练一题【解】 原方程等价于 3(2log3 x)4log 42 x2120，即 3log3 x24log 4 x120，x 2x120，(x3)(x4)0，x4 或3.
15、又Error!x4，即原方程的解为 x4.1log 2 27log3 4_；log 2 3log3 10lg 8 _.【解析】 log 2 27log3 4log 2 33log3 22(3log 2 3)(2log3 2)6.log2 3log3 10lg 8 log 2 83.lg 3lg 2lg 10lg 3 lg 8lg 10 lg 8lg 2【答案】 6 32已知 lg 2a，lg 7b，那么 log8 98_.【解析】 log 8 98 .lg 98lg 8 2lg 7 lg 23lg 2 a 2b3a【答案】 a 2b3a3若 log5 log4 6log6 x2，则 x_.14【解析】 log 5 log4 6log6 x log 5 14 ( log5 4)(log4 6)(log6 x)x2，log 5 x2，x5 2 .125【答案】 1254已知 2m5 n10，则 _. 1m 1n【解析】 因为 mlog 2 10，nlog 5 10，所以 log 10 2log 10 5lg 1m 1n101.【答案】 15已知 lg(x2y )lg(xy) lg 2lg xlg y，求 的值xy【解】 由已知条件得Error!即Error!整理得Error!x2y0， 2.xy
