1、空间分析 结课报告浅谈空间分析中的数学模型学 号： 班级序号： 专 业： 姓 名： 指导老师： 中国地质大学（武汉）信息工程学院2013 年 1 月2浅谈空间分析中的数学模型XXX（中国地质大学（武汉） 信息工程学院 湖北 武汉 430074）摘要：主要概述是在空间分析建模的过程中的数学建模，通过前言引入数学建模的兴起与发展，接下来又阐述了数学建模的意义与背景，紧接着又写了数学建模的过程与方法并且通过一个例子说明数学建模在空间分析中的应用，最后通过结束语表达了自己对空间分析中的数学建模的理解及其展望。关键词：空间分析；数学模型；意义；背景；应用；方法；展望。1 前言数学建模是在 20 世纪 6
2、0 和 70 年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在 80 年代初将数学建模引入课堂。经过 20 多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径。 大学生数学建模竞赛最早是 1985 年在美国出现的。MCM/ICM 是 Mathematical Contest in Modeling 和 Interdisciplinary Contest in Modeling 的缩写，即“数学建模竞赛”和“交叉学科建模竞赛”。MCM 始于 1985 年，ICM 始于 2000 年，由 COMAP（t
3、he Consortium for Mathematics and Its Application，美国数学及其应用联合会）主办，得到了 SIAM，NSA，INFORMS 等多个组织的赞助。MCM/ICM 与其他著名数学竞赛（如 Putnam 数学竞赛）的区别在于其着重强调研究问题、解决方案的原创性、团队合作、交流以及结果的合理性。竞赛以三人为一组，在四天时间内，就指定的问题完成从建立模型、求解、验证到论文撰写的全部工作。竞赛每年都吸引大量著名高校参赛。 2008 年 MCM/ICM 有超过 2000 个队伍参加，遍及五大洲。MCM/ICM 已经成为最著名的国际大学生竞赛之一。1992 年中国
4、工业与应用数学学会组织举办了我国 10 城市的大学生数学模型联赛，74 所院校的 314 只队伍参加。教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一新生事物，决定从 1994 年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。十几年来这项竞赛的规模以平均年增长 25%以上的速度发展。2009 年全国有 33 个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)1137 所院校、15046 个队（其中甲组 12276 队、乙组2770 队）、4 万 5 千多名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多的(其中西藏和澳门是首次参赛)！可以说，数学建模竞赛是在美国诞生、在中国开花
5、、结果的。2 数学模型的背景及意义2.1 数学建模的背景数 学 模 型 （ Mathematical Model） 是 一 种 模 拟 ， 是 用 数 学 符 号 、数 学 式 子 、 程 序 、 图 形 等 对 实 际 课 题 本质 属 性 的 抽 象 而 又 简 洁 的 刻 划 ， 它 或 能解 释 某 些 客 观 现 象 ， 或 能 预 测 未 来 的 发展 规 律 ， 或 能 为 控 制 某 一 现 象 的 发 展 提供 某 种 意 义 下 的 最 优 策 略 或 较 好 策 略 。数 学 模 型 一 般 并 非 现 实 问 题 的 直 接 翻 版 ，它 的 建 立 常 常 既 需 要
6、 人 们 对 现 实 问 题 深3入 细 微 的 观 察 和 分 析 ， 又 需 要 人 们 灵 活巧 妙 地 利 用 各 种 数 学 知 识 。 这 种 应 用 知识 从 实 际 课 题 中 抽 象 、 提 炼 出 数 学 模 型的 过 程 就 称 为 数 学 建 模（ Mathematical Modeling） 。 不 论 是 用 数 学 方 法 在 科 技 和 生 产 领域 解 决 哪 类 实 际 问 题 ， 还 是 与 其 它 学 科相 结 合 形 成 交 叉 学 科 ， 首 要 的 和 关 键 的一 步 是 建 立 研 究 对 象 的 数 学 模 型 ， 并 加以 计 算 求 解
7、。 数 学 建 模 和 计 算 机 技 术 在知 识 经 济 时 代 的 作 用 可 谓 是 如 虎 添 翼 。2.2 数学建模的意义数 学 建 模 是 一 种 数 学 的 思 考 方 法 ，是 运 用 数 学 的 语 言 和 方 法 ， 通 过 抽 象 、简 化 建 立 能 近 似 刻 画 并 “解 决 “实 际 问题 的 一 种 强 有 力 的 数 学 手 段 。 数 学 建 模 就 是 用 数 学 语 言 描 述 实 际现 象 的 过 程 。 这 里 的 实 际 现 象 既 包 涵 具体 的 自 然 现 象 比 如 自 由 落 体 现 象 ， 也包 含 抽 象 的 现 象 比 如 顾 客
8、 对 某 种 商 品 所取 的 价 值 倾 向 。 这 里 的 描 述 不 但 包 括 外在 形 态 ， 内 在 机 制 的 描 述 ， 也 包 括 预测 ， 试 验 和 解 释 实 际 现 象 等 内 容 。 我 们 也 可 以 这 样 直 观 地 理 解 这 个 概念 ： 数 学 建 模 是 一 个 让 纯 粹 数 学 家（ 指 只 懂 数 学 不 懂 数 学 在 实 际 中 的 应 用的 数 学 家 ） 变 成 物 理 学 家 ， 生 物 学 家 ，经 济 学 家 甚 至 心 理 学 家 等 等 的 过 程 。 数 学 模 型 一 般 是 实 际 事 物 的 一 种 数学 简 化 。 它
9、 常 常 是 以 某 种 意 义 上 接 近 实际 事 物 的 抽 象 形 式 存 在 的 ， 但 它 和 真 实的 事 物 有 着 本 质 的 区 别 。 要 描 述 一 个 实际 现 象 可 以 有 很 多 种 方 式 ， 比 如 录 音 ，录 像 ， 比 喻 ， 传 言 等 等 。 为 了 使 描 述 更具 科 学 性 ， 逻 辑 性 ， 客 观 性 和 可 重 复 性 ，人 们 采 用 一 种 普 遍 认 为 比 较 严 格 的 语 言来 描 述 各 种 现 象 ， 这 种 语 言 就 是 数 学 。使 用 数 学 语 言 描 述 的 事 物 就 称 为 数 学模 型 。 有 时 候
10、我 们 需 要 做 一 些 实 验 ， 但这 些 实 验 往 往 用 抽 象 出 来 了 的 数 学 模 型作 为 实 际 物 体 的 代 替 而 进 行 相 应 的 实 验 ，实 验 本 身 也 是 实 际 操 作 的 一 种 理 论 替 代 。3 数学模型在空间分析中的主要方法与步骤数学建模过程图3.1 模 型 准 备首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 3.2 模 型 假 设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种模型准备模型检验模型假设模型构成
11、模型分析模型求解模型检验4有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3.3 模 型 构 成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应 用 数学 天地，这里在高数、概 率 老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图 论 、排队论、线 性 规 划 、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 3.4 模 型 求 解可以采
12、用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数 学 方 法 ，特别是计 算 机 技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计 算 机 模拟 出来，因此编程和熟悉数学软 件 包 能力便举足轻重。 3.5 模 型 分 析对模型解答进行数学上的分析。 ”横看成岭侧成峰，远近高低各不同“。能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定 性 分析。 3.6 模 型 检 验把数学上分析的结果翻译回到现实问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。 、 3.7 模 型
13、应 用取决于问题的性质和建模的目的。4 数学模型在空间分析中的实际应用4.1 数学建模实际应用的意义应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系 数 学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转 化 的
14、主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之 一 。为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高 等 院 校 的教学改革和培养高层次的科技人才的一个重要方面，现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结合，努力探索更有效的数学建模教学法和培养面向 21 世纪的人才的新思路，与我国高校的其它数学类课程相比，数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点，数学建模的教
15、学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。为了改变过去以教师为中 心 、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标5来组织教学工作。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好问题启发，引导学生主动查阅文献资料
16、和学习新知识，鼓励学生 积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索，努力进取的学风，培养学生从事科研工作的初步能力，培养学生团结协作的精神、形成一个生动活泼的环境和气氛，教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，提高他们的数举素质，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果。接受参加数学建模竞赛赛前培训的同学大都需要学习诸如数 理 统 计 、最优化、图 论 、微 分 方 程 、计算方法、神经网络、层次分析法、模 糊 数 学 ，数 学软 件 包的使用等等“ 短课程”（或讲座） ，用的学时不多，多数是启发性的讲一些基本的概念和方
17、法，主要是靠同学们自己去学，充分调动同学们的积极性，充分发挥同学们的潜能。培训中广泛地采用的讨论班方式，同学自己报告、讨论、辩论，教师主要起质疑、答疑、辅导的作用，竞赛中一定要使用计算机及相应的软件，如Spss，Lingo，Mapple ，Mathematica，Matlab 甚至排版软件等。4.2 数学建模的应用方面数学建模的应用 Advances in Applied Mathematics 是一本关注应用数学领域最新进展的国际中文期刊，由汉斯出版社发行。主要刊登数学的各种计算方法研究，数学在统计学、计算机等方面应用的学术论文和成果评述。本刊支持思想创新、学术创新，倡导科学，繁荣学术，集学
18、术性、思想性为一体，旨在为了给世界范围内的科学家、学者、科研人员提供一个传播、分享和讨论应用数学领域内不同方向问题与发展的交流平台。 研究领域： 应用数学、计算数学 、常微分方程数值解、偏微分方程数值解、 数值代数、 优化计算方法、 数值逼近与计算几何、 并行计算算法、 误差分析与区间算法、 反问题计算方法、 应用数学、 应用统计数学、 统计质量控制、 可靠性数学、 保险数学、 统计计算、 统计模拟、 计算机数学、 计算数学其他学科4.3 数学建模在实际中的一个应用方面西安铜川高速公路起于西安绕城公路吕小寨立交。沿现有西安铜川一级公路东侧设高架桥。下穿郑西客运专线。在草滩镇处开始向东偏离现有西
19、安铜川一级公路。以高架桥形式连续跨越渭河及铁路北环线后。在铜川新区与拟建的铜川黄陵高速公路相接, 全长 62 km, 计划 2012 年完工。渭河特大桥为西安铜川高速公路项目的控制性工程。位于渭河干流下游的上段。上距渭淤 31 断面2. 1 km, 距咸阳水文站约 28 km。该桥上游 540 m 处为现有西安铜川一级公路草滩渭河桥, 两桥北岸高坎处相距600 m, 南岸堤防处相距 480m；该桥在河道内与西安铁路北环线三郎村特大桥立交，两桥交角为 73. 3。为了分析大桥建设对附近河段河势演变、河道冲淤、洪水位、防洪等方面的影响。采用平面二维水流数学模型进行计算。计算范围为桥位水文断面上游
20、1 730 m 到下游 1 130 m, 顺大堤方向布置, 计算平面上 X 方向全长 2 860 m、Y 方向全长 1 436m, 河道的绝大部分都包含在计算范围内。根据计算范围和桥墩尺寸, X 方向共划分为 924 个网格，每个网格控制长度为 1. 5 10 m； Y 方向共划分为 931 个网格，每个网格控制长度为 1. 2 10 m； 在西安铜川高速公路渭河特大桥桥位附近网格适当加密。62009 年 2 月, 陕西省公路勘察设计院在进行该大桥设计时, 沿公路中轴线进行了地形测量。并参考航拍照片在AUTOCAD 软件上绘制了桥位附近局部地形图，但水下地形未测。同时，陕西水环境工程勘测设计研
21、究院按水文规范进行了桥位上游 2 100 m、下游 1100 m 的局部范围断面加密测量，每隔 200 m 测量一个大断面，共 17 个断面。为了得到计算区域范围内每个计算网格的高程值。首先以GIS 为工具，采用空间插值方法生成计算区域范围内连续的高程曲面，然后按照模型剖分的计算网格。从生成的高程曲面上读取到每个网格点的高程值供模型使用。选择 Topo To Raste r 方法对断面数据进行第一次插值，生成连续的高程曲面，然后再利用大堤高程、断面高程点等对生成的高程曲面进行二次插值控制调整。最终生成与实际地形较为接近的高程曲面。在此高程曲面的基础上，分别叠加西安铜川高速公路桥、老西安三门峡公
22、路草滩桥、三郎村铁路桥等矢量层，通过修改桥墩位置网格顶点高程值，生成仅有老桥和铁路桥、现状建新桥以及建新桥拆老桥等多种工况的地形数据，再对应数学模型计算所需的计算网络，利用 ArcGIS 提供的从栅格文件提取单点数据的工具，提取数学模型所需的每个网格顶点的高程。为数学模型的模拟计算提供良好的基础地形数据。利用在 GIS 基础上建立的平面二维水流数学模型。先后计算了渭河下游拟建桥附近 p = 2%、p = 1%和 p = 0. 33%等 3 种洪水情况下无桥、现状(老西安三门峡公路草滩桥和三郎村铁路桥)、现状+ 新桥( 西安铜川高速公路桥建成后)、建新桥拆老桥( 西安 铜川高速公路桥建成后拆去老
23、西安三门峡公路草滩桥) 4 种工况下的流场和水位场, 相关成果已通过陕西省三门峡库区管理局、黄委组织的专家评审。证明该方法是有效的。5 结束语选 了 空 间 分 析 这 一 门 课 程 ， 老 师 上课 的 方 式 与 之 前 老 师 的 相 比 较 有 很 大的 改 变 ， 由 之 前 的 主 要 是 老 师 在 课 堂上 讲 课 变 成 了 学 生 讲 课 的 形 式 ， 其 实 我认 为 这 样 样 的 方 式 有 很 多 的 优 点 ， 但 是也 存 在 着 一 些 缺 点 。优 点 有 很 多 ， 其 一 ： 这 样 可 以 提 高大 家 对 于 课 程 的 参 与 度 ， 比 如
24、我 自 己 在做 PPT 的 时 候 就 用 了 一 天 的 时 间 来 做 ，对 于 数 学 建 模 的 方 法 有 了 很 多 的 理 解 ，并 且 有 了 更 深 刻 的 记 忆 。 其 二 ： 这 样 可以 调 动 大 家 对 于 上 课 之 前 的 一 种 状 态 。其 三 ： 可 以 让 同 学 们 体 会 到 讲 课 的 难 度以 后 ， 在 之 后 上 课 的 时 候 会 更 加 认 真 的听 讲 。接 下 来 说 一 下 自 己 对 这 种 上 课 方 式过 程 中 的 一 些 不 足 吧 。 首 先 ， 作 为 一 个学 生 ， 我 主 要 是 准 备 了 自 己 上 课
25、讲 的 内容 ， 而 对 于 其 他 同 学 所 讲 的 内 容 了 解 就很 少 了 。 其 次 ， 学 生 讲 课 的 时 候 没 有 重点 ， 都 是 按 照 一 种 模 式 讲 下 去 ， 导 致 了每 一 次 上 课 都 要 拖 堂 ， 这 样 就 减 少 了 上课 的 积 极 性 与 效 率 。所 以 希 望 接 下 来 的 课 程 中 可 以 提 前就 布 置 好 任 务 ， 严 格 控 制 好 时 间 ， 在 有效 的 时 间 内 把 自 己 负 责 的 内 容 说 清 楚 。为 了 提 高 大 家 的 参 与 度 ， 可 以 把 上 课 每一 个 人 回 答 问 题 的 最
26、少 次 数 规 定 下 来 ，这 样 每 一 个 上 课 的 同 学 为 了 之 后 的 回 答问 题 ， 就 必 须 认 真 听 课 。7参 考 文 献 ： 1 .中 国 知 网 .王 彤 .G IS 在平面二维水流数学模型中的应用2 .百度百科.数学模型3 . 刘兴权, 梁艳平. 浅析 GIS 中的空间分析与应用模型 J . 四川测绘, 2001, 24( 4) 4. 朱庆平 . 基于 G IS 的黄河下游二维水沙数学模型测试与率定 J. 人民黄河.2005. 27( 3) : 51- 53.5 .郭仁忠. 空间分析 M . 北京: 高等教育出版社, 2001.6.马天智.张燕妮. 空间分析方法、应用模型与 GIS 的关系 J . 湖南地质.200. 22( 1) : 70272.7.余柏蒗, 吴健平, 魏晓峰, 等. 空间分析 GIS 软件开发研究 J . 测绘与空间地理信息, 2004, 27( 5) : 14223.8 .数学模.朱思铭、李尚廉.中山大学出版.(1995)9 .数学模.陈义华编.重庆大学出版.(1995)10. 数学建模案例分.白其岭主.海洋出版.(2000 年，北京)11 .数学模型方法.齐欢编著.华中理工大学出版社.(1996)12 .数学建模，沈继红、施久玉、高振滨、张晓威编，哈尔滨工程大学出版社，(1996).
