1、3.1.4 概率的加法公式1.了解事件间的相互关系.2.理解互斥事件、对立事件的概念.(重点、易混点)3.会用概率的加法公式求某些事件的概率.(难点)4.互斥事件与对立事件的区别与联系；正确利用对立事件的概率公式解决实际问题.(难点 )基础初探教材整理 事件的关系及概率的加法公式阅读教材 P98P 99，完成下列问题 .1.事件的关系事件 定义 图形表示互斥事件在同一试验中，不可能同时发生的两个事件A 与 B 叫做互斥事件事件的并一般地，由事件 A 和 B 至少有一个发生(即A 发生，或 B 发生或 A， B 都发生) 所构成的事件 C，称为事件 A 与 B 的并(或和)，记作CABAB互为对
2、立事件在同一试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件，事件 A 的对立事件记作 AA A2.互斥事件的概率加法公式(1)若 A，B 是互斥事件，则 P(AB)P(A )P(B).(2)若 是 A 的对立事件，则 P( )1P(A) .A A(3)若 A1，A 2，A n两两互斥，则 P(A1A 2 An)P(A 1)P(A 2)P (An).1.判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)互斥事件一定对立.( )(2)对立事件一定互斥.( )(3)互斥事件不一定对立.( )(4)事件 A 与 B 的和事件的概率一定大于事件 A 的概率.( )(5)事件 A 与 B 互斥，则有
3、 P(A)1P(B) .( )(6)若 P(A)P(B) 1，则事件 A 与事件 B 一定是对立事件.( )【答案】 (1) (2) (3) (4) (5) (6)2.P(A)0.1，P( B)0.2，则 P(AB )等于( )A.0.3 B.0.2C.0.1 D.不确定【解析】 由于不能确定 A 与 B 互斥，则 P(AB)的值不能确定.【答案】 D3.一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为 0.1，中二等奖的概率为 0.25，则不中奖的概率为_.【解析】 中奖的概率为 0.10.250.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为 10.350.65.【答
4、案】 0.65小组合作型互斥事件与对立事件的判定(1)抽查 10 件产品，设事件 A：至少有两件次品，则 A 的对立事件为( )A.至多两件次品 B.至多一件次品C.至多两件正品 D.至少两件正品(2)把红、黑、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人分得 1 张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A.对立事件 B.不可能事件C.互斥但不对立事件 D.以上答案都不对【精彩点拨】 根据互斥事件及对立事件的定义判断.【尝试解答】 (1)“至少有两件次品”的否定是“至多有一件次品” ，故选 B.(2)“甲分得红牌 ”与“乙分得红牌”不会同时发生，但分得红牌的还可能是丙
5、或丁，所以不是对立事件.故选 C.【答案】 (1)B (2)C判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件.再练一题1.某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)“恰有 1 名男生 ”与“恰有 2 名男生” ；(2)“至少有 1 名男生”与“全是男生” ；(3)“至少有 1 名男生”与“全是女生” ；(4)“至少有一名男生 ”与“至少有一名女生”.【解】 从 3 名男生和 2 名女生中任选
6、 2 人有如下三种结果：2 名男生，2名女生，1 男 1 女.(1)“恰有 1 名男生 ”指 1 男 1 女，与“恰有 2 名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是 2 名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件.(2)“至少 1 名男生 ”包括 2 名男生和 1 男 1 女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件.(3)“至少 1 名男生 ”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.(4)“至少有 1 名女生”包括 1 男 1 女与 2 名女生两种结果，当选出的是 1男 1 女时， “至少有 1 名男生”
7、与“至少有 1 名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.互斥事件的概率盒子里装有 6 个红球，4 个白球，从中任取 3 个球.设事件 A 表示“3 个球中有 1 个红球，2 个白球” ，事件 B 表示“ 3 个球中有 2 个红球，1 个白球”.已知 P(A) ，P( B) ，求“3 个球中既有红球又有白球 ”的概率. 310 12【导学号：00732082】【精彩点拨】 本题应先判断事件“3 个球中既有红球又有白球”所包含的结果是什么，分别计算出每个基本事件发生的概率，再利用概率的加法公式进行计算.【尝试解答】 记事件 C 为“3 个球中既有红球又有白球” ，则它包含事件A“3 个球中有 1
8、个红球，2 个白球” ，和事件 B“3 个球中有 2 个红球，1 个白球” ，而且事件 A 和事件 B 是互斥的，所以P(C)P( A B)P(A )P(B) .310 12 451.当一个事件包含几种情况时，可把事件转化为几个互斥事件的并事件，再利用概率的加法公式计算.2.使用概率加法公式 P(AB )P(A)P(B )时，必须判断 A，B 是互斥事件.再练一题2.某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：年降水量(单位：mm)100,150) 150,200) 200,250) 250,300)概率 0.12 0.25 0.16 0.14(1)求年降水量在100,200)(mm)范围内的
9、概率；(2)求年降水量在150,300)(mm)范围内的概率.【解】 记这个地区的年降水量在100,150)(mm) 、 150,200)(mm)、200,250)(mm)、250,300)(mm)范围内分别为事件 A、B、C、D.这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有(1)年降水量在100,200)(mm)范围内的概率是P(AB)P (A)P (B)0.12 0.250.37.(2)年降水量在150,300)(mm)范围内的概率是P(BCD)P(B )P(C)P(D)0.250.160.140.55.探究共研型互斥事件和对立事件的关系探究 1 在一次试验中，对立的两个事件会都
10、不发生吗？【提示】 在一次试验中，事件 A 和它的对立事件只能发生其中之一，并且必然发生其中之一，不可能两个都不发生.探究 2 互斥事件和对立事件有何区别和联系？【提示】 (1)对立事件一般是针对两个事件来说的，一般两个事件对立，则这两个事件是互斥事件；反之，若两个事件是互斥事件，则这两个事件未必是对立事件.(2)对立事件是特殊的互斥事件，若事件 A，B 是对立事件，则 A 与 B 互斥，而且 AB 是必然事件.某射手在一次射击训练中，射中 10 环，9 环，8 环，7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中： (1)射中 10 环或 7 环的概率；(
11、2)不够 7 环的概率 .【精彩点拨】 先设出事件，判断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解.【尝试解答】 (1)设“射中 10 环”为事件 A， “射中 7 环”为事件 B，由于在一次射击中，A 与 B 不可能同时发生，故 A 与 B 是互斥事件.“射中 10 环或 7 环”的事件为 AB.故 P(AB) P(A)P (B) 0.210.280.49.射中 10 环或 7 环的概率为 0.49.(2)不够 7 环从正面考虑有以下几种情况：射中 6 环，5 环，4 环，3 环，2环，1 环，0 环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够 7 环的反面大于等于 7 环，即
12、 7 环，8 环，9 环，10 环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理.设“不够 7 环”为事件 E，则事件 为“射中 7 环或 8 环或 9 环或 10 环” ，E由(1) 可知“射中 7 环” 、 “射中 8 环”等彼此是互斥事件，P( )0.210.230.25 0.280.97，E从而 P(E)1P( )10.970.03.E不够 7 环的概率是 0.03.1.对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率等于这些事件概率的和.并且互斥事件的概率加法公式可以推广为：P( A1A 2A n)P(A 1)P(
13、 A2)P (An).其使用的前提条件仍然是 A1，A 2，A n彼此互斥.故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥.2.“正难则反”是解决问题的一种很好的方法，应注意掌握，如本例中的第(2) 问，直接求解比较麻烦，则可考虑求其对立事件的概率，再转化为所求.再练一题3.甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙获胜的概率为 ，求：12 13(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率.【解】 (1)“ 甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率 P1 .12 13 16(2)法一：设事件 A 为“甲不输 ”，可看成是“甲获胜 ”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以 P(A) .16
14、 12 23法二：设事件 A 为“ 甲不输” ，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以 P(A)1 .13 231.如果事件 A，B 互斥，记 ， 分别为事件 A，B 的对立事件，那么( )A B A.A B 是必然事件B. 是必然事件A B C. 与 一定互斥A B D. 与 一定不互斥A B 【解析】 用集合的 Venn 图解决此类问题较为直观，如图所示， 是必然事件.A B 【答案】 B2.从一批产品中取出三件产品，设 A三件产品全不是次品，B三件产品全是次品，C三件产品至少有一件是次品 ，则下列结论正确的是( )A.A 与 C 互斥 B.任何两个均互斥C.B 与 C 互斥 D.任何两个均不
15、互斥【解析】 从一批产品中取出三件产品包含 4 个基本事件.D1没有次品 ，D 21 件次品，D 32 件次品，D 43 件次品 ，AD 1，B D4，C D 2D 3D 4，故 A 与 C 互斥，A 与 B 互斥，B 与 C不互斥.【答案】 A3.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 40%，甲不输的概率为 90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A.60% B.30% C.10% D.50%【解析】 甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为 90%40%50%.【答案】 D4.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人去参加演讲比赛，所选 3 人中至少有1 名女生的
16、概率为 ，那么所选 3 人中都是男生的概率为_.45【解析】 设 A3 人中至少有 1 名女生 ，B 3 人都为男生，则 A，B为对立事件，所以 P(B) 1P(A) .15【答案】 155.玻璃盒子里装有各色球 12 个，其中 5 红、4 黑、2 白、1 绿，从中任取1 球.记事件 A 为“取出 1 个红球” ，事件 B 为“取出 1 个黑球” ，事件 C 为“取出 1 个白球” ，事件 D 为“取出 1 个绿球”.已知 P(A) ，P (B) ，P(C)512 13 ，P (D) .求：16 112(1)“取出 1 球为红球或黑球”的概率；(2)“取出 1 球为红球或黑球或白球”的概率. 【导学号：00732083】【解】 (1)“ 取出 1 球为红球或黑球”的概率为P(AB)P (A)P (B) .512 13 34(2)“取出 1 球为红球或黑球或白球”的概率为P(ABC )P( A)P( B)P(C) 512 13 16 .1112
