1、完全平方公式的教案篇一:完全平方公式教案(二)182 完全平方公式(二) 课 题1 82 完全平方公式(二) 教学目标(一)教学知识点1通过有趣的分糖情景,使学生进一步巩固(a+b)2=a2+2ab+b2,同时帮助学生进一步理解(a+b)2 与 a2+b2 的关系2运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算3进一步熟悉乘法公式的运用,体会公式中字母的广泛含义,它可以是数,也可以是整式(二)能力训练要求1在进一步巩固完全平方公式同时,体会符号运算对解决问题的作用2进一步熟练乘法公式,提高最基本的运算技能,并且明白每一步的算理(三)情感与价值观要求1鼓励学生算法多样化,提高学生合作交流意识和创新精神
2、2从有趣的分糖游戏中,提高学习数学的兴趣 教学重点1巩固完全平方公式,区分( a+b)2 与 a2+b2 的关系2熟悉乘法公式的运用,体会公式中字母 a、b 的广泛含义 教学难点1区分(a+b )2 与 a2+b2 的关系2熟练乘法公式的运用,体会公式中字母 a、b 的广泛含义 教学方法活动探究法 教具准备投影片四张第一张:提出问题,记作(1 82 A)第二张:分糖游戏,记作(1 82 B)第三张:例 2,记作(1 82 C)第四张:例 3,记作(1 82 D) 教学过程 创设情景,引入新课师上节课我们推导出了完全平方公式,现在我们来看一个问题:出示投影片(1 82 A)一个正方形的边长为 a
3、 厘米,减少 2 厘米后,这个正方形的面积减少了多少厘米 2? 生原来正方形的面积为 a2 平方厘米,边长减少 2 厘米后的正方形的面积为(a 2)2 平方厘米,所以这个正方形的面积减少了 a2(a2)2 平方厘米,因为 a2(a2)2=a2(a24a+4)=a2a2+4a4=4a4, 所以面积减少了(4a 4)平方厘米 师很好!这节课我们继续巩固完全平方公式 讲授新课师下面我们来做一个“分糖游戏” 出示投影片(1 82 B)一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都拿出糖果招待他们来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖,?(1 )第一天有 a 个男孩
4、去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?(2 )第二天有 b 个女孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?(3 )第三天有(a+b)个孩子一块去看老人,老人一共给了这些孩子多少块糖?(4 )这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多?多多少?为什么?生根据题意,可知第一天有 a 个男孩去了老人家,老人给每个孩子发 a 块糖,所以一共发了 a2 块糖第二天有 b 个女孩去了老人家,老人给每个孩子发 b 块糖,所以一共发了 b2 块糖 第三天有(a+b)个孩子去了老人家,老人给每个孩子发(a+b)块糖,所以一共发了(a+b)2 块糖生前两天他们得到的糖果总数是(a2+b2)块
5、,因为(a+b)2(a2+b2)=a2+2ab+b2a2b2=2ab由于 a0,b0,所以 2ab0由此可知这些孩子第三天得到的糖果数比前两天他们得到的糖果总数要多,多 2ab 块糖果师为什么会多出 2ab 块糖果呢?同学们可分组讨论多出2ab 块糖的原因(老师可参与到学生的讨论,撞击他们思想的火花)生对于 a 个男孩来说,每个男孩第三天得到的糖果数是(a+b)块,每个男孩比第一天多 b 块,一共多了 ab 块;同理可知这 b 个女孩第三天得到的糖果总数比第二天也多了 ab 块因此,这些孩子第三天得到的糖果数与前两天相比,共计多出了2ab 块师不错!而这个游戏又充分说明了(a+b)2 与 a2
6、+b2 的关系,即(a+b)2a2+b2下面我们再来看一个例题,你会有更多的发现出示投影片(1 82 C)例 2利用完全平方公式计算:(1 )1022;(2)1972如果直接计算 1022,1972 会很繁根据题目的提示使我们想到 1022 可以写成(100+2)2 ,1972 可以写成(2003)2,这样计算起来会简单的多,我们不妨试一试生解:(1)1022=(100+2)2=1002+22100+22=10000+400+4=10404(2 )1972= (2003 )2=200223200+32=400001200+9=38809师我们可以发现运用完全平方公式进行一些有关数的运算会很简便
7、,也更进一步体会到符号运算对解决问题的作用下面我们再来看一个例题(出示投影片1 82 D)例 3计算:(1 ) (x+3)2x2;(2 ) (a+b+3) (a+b3 );(3 ) (x+5)2(x 2 ) (x3) 分析:(1)题可用完全平方公式计算,也可以逆用平方差公式计算;(2)题虽然每个因式含有三项,但可以利用加法的结合律整理成能用平方差公式计算的多项式相乘的形式;(3)题要注意运算顺序,减号后面的积算出来一定先放在括号里,然后再去括号,就可以避免符号上面出错注意要为学生提供充分交流的机会解:(1)方法一:(x+3 )2 x2=x2+6x+9x2运用完全平方公式=6x+9方法二:(x+
8、3)2x2=(x+3)+x (x+3)x逆用平方差公式=(2x+3)3=6x+9(2 ) (a+b+3) (a+b3 )=(a+b )+3 (a+b)3=(a+b )232=a2+2ab+b29(3 ) (x+5)2(x 2 ) (x3)=x2+10x+25(x25x+6)=x2+10x+25x2+5x 6=15x+19例 4已知 x+y=8,xy=12,求 x2+y2 的值分析:由完全平方公式(x+y )2=x2+2xy+y2, 可知x2+y2=(x+y)22xy,故可将x+y=8,xy=12 整体代入求值解:x2+y2=(x+y)22xy把 x+y=8,xy=12 代入上式,原式=8221
9、2=6424=40 随堂练习1利用整式乘法公式计算:(1 )962 (2) (ab 3) (ab+3)解:(1)962=(1004)2=10000800+16=9216(2 ) (a b 3 ) (ab+3)=(ab)3 (a b)+3=(ab)232=a22ab+b292试一试,计算:( a+b)3分析:利用转化的思想和逆用同底数幂的乘法得(a+b)3=(a+b)2(a+b),可以使运算简便解:(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2) (a+b)=a3+a2b+2ab2+2a2b+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b311=2,求 x2+2 的值 xx11 解:由
10、x+=2,得(x+)2=4 xx11223已知 x+x+2+x2=4所以 x+x2=42=2 课时小结师一节课在紧张而又活泼的气氛中度过了,你有何收获和体会,不妨和大家共享生在有趣的分糖情景中,不仅巩固了完全平方公式,而且更进一步理解了(a+b)2 与 a2+b2 的关系生通过实例,我更进一步体会到完全平方公式中的字母 a,b的含义是很广泛的,它可以是数,也可以是整式? 课后作业1课本 P45,习题 1.14 活动与探究?9999?9+199?9 化简 999?n 个 n 个 n 个过程当 n=1 时,9 9+19=102当 n=2 时,99 99+199=104当 n=3 时,999999+
11、1999=106?于是猜想:原式=102n结果原式=(10n1 ) (10n1)+(210n1)=(10n1)2+210n 1=102n210n+1+210n 1=102n 板书设计1 82 完全平方公式(二)一、糖果游戏(1 )a2 (2) b2 (3 ) (a+b )2(4 ) (a+b )2 的总数较多,多 2ab结果:(a+b)2 a2+b2二、例题讲解例 2利用完全平方公式计算(1 )1022 (2)1972例 3计算:(1 ) (x+3)2x2(2 ) (a+b+3) (a+b3 )(3 ) (x+5)2(x 2 ) (x3) 备课资料参考练习1选择题(1 )下列等式成立的是( )
12、A (ab)2=a2ab+b2B (a+3b)2=a2+9b2C (a+b )2=a2+2ab+b2D (x+9 ) (x 9)=x29(2 ) (a+3b)2(3a+b)2 计算结果是( )A 8(ab)2B8(a+b)2C8b28a2D8a28b2(3 ) (5x24y2) (5x2+4y2)运算的结果是( )A 25x416y4B25x4+40x2y216y4C25x416y2D25x4 40x2y2+16y4(4 )运算结果为 x4y22x2y+1 的是( )A (x2y21)2B (x2y+1)2C (x2y1)2D (x2y1) 22填空题(1 ) (4ab2) 2(2 ) (m1
13、)2(3 ) (m+n+1) (1 m n)= (4 ) (7a+A)2=49a214ab2+B,则 AB(5 ) (a+2b)2 =(a2b )23用乘法公式计算:(1 )9992;(2 )2002240042003+200324已知,a+b=8,ab=24求(a2+b2 )的值5已知 x+1=4,求证 x2+2 xx121126已知:x22x+y2+6y+10=0, 求 x+y 的值 答案:1 (1)C (2 )C (3 )B (4)C2 (1)16a2 8ab2+b4(2 )m2+m+1(3 )1 m22mn n2(4 )b2 b4 14( 5)8ab3 (1)998001 (2)148
14、 514 62篇二:八年级数学完全平方公式教案完全平方公式洋梓中学王璐一、教学目标1、知识与技能目标理解完全平方公式的推导过程,了解公式的几何解释,会应用公式进行简单的计算。2、过程与方法目标通过渗透建模,化归、还元,数形结合等思想方法,增强学生的应用意识,提高学生解决问题的能力和创新能力。3、情感、态度与价值观目标精心设计教学过程,激发学生的好奇心和求知欲,培养学生学习数学的兴趣,让学生获得成功的体验,培养学生学好数学的自信心。二、教学重难点重点:体会完全平方公式的发现和推导过程,理解公式的本质,并会运用公式进行简单的计算。难点:理解完全平方公式的结构特征以及公式中的字母含义,判明要计算的代
15、数式是哪两个数的和(差)的平方。三、教学过程1、提出问题,创设情境a2+b2 与 (a+b)2;a2-b2 与(a-b)2 有什么区别?引导学生比较 a2+b2 与(a+b)2 ;a2-b2 与(a-b)2 的区别师:怎样计算两个数的和的平方或差的平方呢?这就是本节课所要学习的完全平方公式2、回顾练习,得出新知请同学完成下面几道练习,你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?(1 )(p+1)2;( 2)(m+2)2;(3 )(p-1)2;(4)(m-2)2出示题目后观察学生做题,然后引导学生发现(1 )结果中的2p=2p,(1)与(3 )比较只有一次项有符号之差。引导学生用自己的语言叙述所发
16、现的规律,允许学生之间互相补充。 猜想:根据你发现的规律,你能直接写出(a+b)2 计算的结果吗? (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2验证:由于(a+b)2 可以看作求边长为(a+b)的正方形的面积,所以可以从几何的角度来解释b (a+b)2 =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2 计算结果是多少呢?学生小组讨论,归纳方法方法一:(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2方法二:把(a-b)2 的结果用(a+b)2 来解释:(a-b)2=a+(-b)2=a2+2a(-b)+b2=a2-2ab+b2
17、方法三:几何解释归纳:通过以上活动,学生归纳完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的 2 倍。 (a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2教师归纳口诀:完全平方有三项,首尾符号是同乡。首平方与尾平方,首尾二倍放中央。和的平方加连接,差的平方减连接。应用:下列各式的计算,错在哪里?应怎样改正?(1 )(a+b)2= a2+b2;(2 )(a-b)2= a2-b2;(3)(a-2b)2=a2+2ab+2b2. 公式中字母的含义:(1 )公式中的字母 a,b可以表示负数吗?可以表示单项式吗?可以表示多项式吗?(2 )(x+2y)2 式哪两个数的
18、和的平方?(x+2y)2=( )2+2( )( )+( )2(x-5y)2 是哪两个数的差的平方?(x-5y)2=( )2-2( )( )+( )2(3 )(x-5y)2 可以看成式哪两个数的和的平方?新知整理:完全平方公式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b23、应用新知,体验成功例 3 运用完全平方公式计算;(1) (4m+n)2解:(4m+n)2=(4m)2 +2(4m)n+n2=16m2+8mn+n2变式 1:(-4m+n)2解:(-4m+n)2=(-4m)2+ 2(-4
19、m)n+n2=16m2-8mn+n2(2 )(y-2)2解: (y-2)2=y2+2(-2)y+22=y2+4y+4变式 1:(-y-2)2解:解法一 (-y-2)2=(-y2)-22(-y)+22=y2+4y+4解法二(-y-2)2=-(y+2) 2=y2+22y+22=y2+4y+4变式 2:(2-y)2解: (2-y)2 =22-22(-y)+(-y2)=y2+4y+4例 4 运用完全平方公式计算:(1 )1022;(2)992.解:(1)1022=(100+2)2=1002+21002+22=10000+400+4=10404(2 )992=(100-1) 2=1002-21001+1
20、2=10000-200+1=98014、公式拓展,鼓励探究速算游戏:个位数是 5 的两位数的平方。(1 ) 问:152=? 252=?352=?(2 ) 观察:152= 225252= 625352=1225452=2025个位数是 5 的两位数平方后所得的数,有什么规律?(3 ) 如果用 10a+5 表示个位数是 5 的这个两位数,你能用所学的知识解释这个规律吗?5、小结提高,知识升华(1 )两个公式:(a+b)2 =a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(2 )两种推到方法(3 )还元与数形结合6、作业布置,分层落实必做题:(1 )阅读教材 15.2.2 内容(2 )教科书习题
21、 15.2 第 2 题选做题:(1 )对(a+b)2,(a+b)3 的展开式从项数、系数方面探索它们的规律。 (参考教科书第 157 页杨辉三角 )(2 )思考:(a+b)2 与(-a-b)2 相等吗?(a-b)2 与(b-a)2 相等吗?四、板书设计篇三:完全平方公式 教学设计 完全平方公式教学设计【 教材分析】本节内容是初中数学(北师大版)七年级下册第一章整式的运算中的1.8完全平方公式。一、教材的地位和前后联系:完全平方公式是初中数学中的重要公式,在整个中学数学中有着广泛的应用.一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展,是对多项式乘法中
22、出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结;另一方面,又为学习因式分解 配方法等知识奠定了基础,是进一步研究 一元二次方程 二次函数 的工具性内容。二、教材设计的思想方法:教材按照学生的认知规律,从具体到抽象,由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证,最后建立数学模型,使学生对公式从感性认识、直观认识到本质认识。逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。由此,本节课不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用,它在本章中起着举足轻重的作用。【 学情分析】1认知基础:学生已学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式,这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础。但是对于几何图形如何
23、用代数来表示,从而表示图形的面积,学生会有一定困难,另外,在具体运用公式时,学生的感性认识往往表现比较突出,一部分学生总是会出现(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2 的问题,对公式中 a、b 的理解,对“和” “差”符号的区别也会有些障碍。2.活动经验基础:在平方差公式一节中,学生已经经历了探索与应用的过程,获得了一些数学活动的经验,培养了一定的符号感和推理能力。3. 心理特征:初中阶段的学生逻辑思维能力、观察能力,记忆能力和想象能力都有一定的局限性,感性认识往往表现比较突出,很多学生还是处于模仿学习的思维阶段,但同时,这一阶段的学生好动,注意力易分散,爱发表见解,希望得到老师的
24、表扬,所以在教学中应抓住这些特点,一方面运用直观生动的图形,引发学生的兴趣,使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面,发挥学生学习的主动性,要创造条件和机会,让学生发表见解,在辨别中提高认识。 【教学目标】1、知识与技能:体会公式的发现和推导过程,了解公式的几何背景,理解公式的本质,会应用公式进行简单的计算。2、过程与方法:通过让学生经历探索完全平方公式的过程,培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力,发展推理能力和有条理的表达能力。培养学生的数形结合能力。3、情感态度价值观:体验数学活动充满着探索性和创造性,并在数学活动中获得成功的体验与喜悦,树立学习自信心。【 教学重点】1、对公
25、式的理解,包括它的推导过程、结构特点、语言表述(学生自己的语言) 、几何解释。2、会运用公式进行简单的计算。【 教学难点】1、完全平方公式的推导及其几何解释。2、完全平方公式的结构特点及其应用【 教学方法】 “探究式学习” 。在教学中,突出学生的主动性、参与性,让学生通过观察特点分析归纳总结得出结论,初步掌握探究的学习方法。【 学法指导】积极参与交流探讨,从学习中感受乐趣,及时地归纳总结、发现问题、解决问题。【 教学课型】新授课【 课时安排】一课时【 教学过程】一、 复习旧知、引入新知设计说明问题 1:请说出平方差公式,说说它的结构特点。问题 2:平方差公式是如何推导出来的?问题 3:平方差公
26、式可用来解决什么问题,举例说明。问题 4:想一想、做一做,说出下列各式的结果。(1) (a+b)2 (2) (a-b)2(此时,教师可让学生分别说说理由,并且不直接给出正确评价,还要继续激发学生的学习兴趣。 ) 二创设问题情境、探究新知设计说明一块边长为 a 米的正方形实验田,因需要将其边长增加 b 米,形成四块实验田,以种植不同的新品种。 (如图) 四块面积分别为: 、 、 、 ;b 两种形式表示实验田的总面积: 整体看:边长为 的大正方形,S= ;a a部分看:四块面积的和,S= 。a b总结 : 通过以上探索你发现了什么?问题 1:通过以上探索学习,同学们应该知道我们提出的问题4 正确的
27、结果是什么了吧?2 问题 2:如果还有同学不认同这个结果,我们再看下面的问题,继续探索。 (a+b)表示的意义是什么?请你用多项式的乘法法则加以验证。(教学过程中教师要有意识地提到猜想、感觉得到的不一定正确,只有再通过验证才能得出真知,但还是要鼓励学生大胆猜想,发表见解,但要验证)问题 3:你能说说(a+b)2=a2+2ab+b2这个等式的结构特点吗?用自己的语言叙述。(结构特点:右边是二项式(两数和)的平方,右边有三项,是两数的平方和加上这两数乘积的二倍)问题 4:你能根据以上等式的结构特点说出( a-b)等于什么吗?请你再用多项式的乘法法则加以验证。总结:我们把(a+b)2=a2+2ab+
28、b2 (ab)2=a22ab+b2称为完全平方公式。问题: 这两个公式有何相同点与不同点? 你能用自己的语言叙述这两个公式吗?(学生交流,教师归纳总结:)语言描述:两数和(或差)的平方等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的倍。强化记忆:首平方,尾平方,首尾二倍放中央,和是加来差是减。 三 、例题讲解,巩固新知例 1:利用完全平方公式计算设计说明2( 1) (2x3)2 (2) (4x+5y)2 (3) (mna)2解:(2x3)2 =(2x )2 2(2x)332= 4x212x9(4x+5y)2 =( 4x)2 2 (4x)(5y)(5y)2= 16x240xy 25y2(mna)2 =
29、(mn)2 2(mn)aa2= m2 n2 2mna a2交流总结:运用完全平方公式计算的一般步骤(1 )确定首、尾,分别平方;(2 )确定中间系数与符号,得到结果。四、练习巩固设计说明练习 1:利用完全平方公式计算 (2x?3y)2 (2x?3y)2 (3)(-2t-1)2练习 2:利用完全平方公式计算(1 ) (n1)2 n2 (2 )?ab?3x?3x?ab?练习 3:求?x?y?x?y?x?y? 的值,其中 x?5,y?2 2(练习可采用多种形式,学生上黑板板演,师生共同评价。也可学生独立完成后,学生互相批改,力求使学生对公式完全掌握,如有学生出现问题,学生、教师应及时帮助。 )五、变式练习设计说明1、下列计算是否正确?如不正确如何改正?