1、章末分层突破自我校对 (x2x 1)y2 y1x2 x1点斜式两点式一般式|Ax0 By0 C|A2 B2_直线方程及两直线的位置关系1.直线方程的五种形式及其选取直线方程的五种形式各有优劣,在使用时要根据题目条件灵活选择,尤其在选用四种特殊形式的方程时,注意其适用条件,必要时要对特殊情况进行讨论2两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直是解析几何中两条直线最基本的位置关系,其判定如下:位置关系l1:yk 1xb 1,l 2:yk 2xb 2或 l1:A 1xB 1yC 10(A 1,B 1 不同时为 0),l2:A 2xB 2yC 20(A 2,B 2 不同时为 0)平行 l1l 2k 1k
2、 2 且 b1b 2 或 l1l 2Error!垂直 l1l 2k 1k21 或 l1l 2A 1A2B 1B20过点 P(1,0),Q(0,2) 分别作两条互相平行的直线,使它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1,求这两条直线的方程. 【导学号:41292126】【精彩点拨】 考虑直线斜率是否存在,不存在时可直接求出,存在时设方程利用截距关系求 k.【规范解答】 (1)当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为x1,x0,它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1,满足题意;(2)当直线的斜率存在时,设其斜率为 k,则两条直线的方程分别为yk( x 1),y kx2.令 y0,分别得 x1,
3、 x .2k由题意得 1,即 k1.| 1 2k|则直线的方程为 yx 1, yx2,即 xy10,xy20.综上可知,所求的直线方程为 x1,x 0,或 xy10,x y20.再练一题1求经过两直线 2x3y 30 和 xy20 的交点且与直线3xy10 平行的直线 l 的方程【解】 法一 由方程组Error!得Error!直线 l 和直线 3xy 10 平行,直线 l 的斜率 k3,根据点斜式有 y 3 .( 75) x ( 35)即所求直线方程为 15x 5y20.法二 直线 l 过两直线 2x3y 30 和 xy20 的交点,可设直线 l 的方程为:2x3y 3(xy 2)0,即(2)
4、x (3)y2 30.直线 l 与直线 3xy 10 平行, ,解得 . 23 3 1 2 3 1 74从而所求直线方程为 15x5y 20.直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系是高考考查的重点,切线问题更是重中之重,判断直线与圆的位置关系以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程2解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征,利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系,以及充分利用它的几何图形来形象直观地分析问题如图 21 所示,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x3)2(y 1)24 和圆 C2:(x4) 2(y5) 24.图
5、21(1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程;3(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标【精彩点拨】 (1)设出方程,求出弦心距,由点到直线的距离公式求 k.(2)设出方程,由直线与圆的位置关系及几何性质列方程求出参数【规范解答】 (1)由于直线 x4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为 yk (x4),圆 C1 的圆心到
6、直线 l 的距离为 d,因为直线l 被圆 C1 截得的弦长为 2 ,3所以 d 1.由点到直线的距离公式得 d ,从而22 32|1 k 3 4|1 k2k(24k 7)0 ,即 k0 或 k ,所以直线 l 的方程为 y0 或 7x24y280.724(2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 ybk(x a),k0,则直线 l2 的方程为 yb (xa)因为圆 C1 和圆 C2 的半径相等,且直线 l11k被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,所以圆 C1 的圆心到直线l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等,即 |1 k 3 a
7、b|1 k2,|5 1k4 a b|1 1k2整理得|13kakb|5k4abk |,从而 13k akb5k4abk 或 13kak b5k 4abk,即(a b2) kba3 或(ab8)kab5,因为 k 的取值范围有无穷多个,所以Error!或Error!解得Error!或Error!这样点 P 只可能是点 P1 或点 P2 .(52, 12) ( 32,132)经检验点 P1 和 P2 满足题目条件再练一题2如图 22,平面直角坐标系中,已知以点 A(1,2)为圆心的圆与直线l1:x2y70 相切过点 B(2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,图 22(1)求圆 A
8、的方程;(2)当 MN2 时,求直线 l 的方程19【解】 (1)设圆 A 的半径为 R.由于圆 A 与直线 l1:x2y70 相切,R 2 .| 1 4 7|5 5圆 A 的方程为( x1) 2 (y2) 220.(2)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x2 符合题意;当直线 l 与 x 轴不垂直时,设 MN 的中点为 Q,直线 l 的方程为yk( x 2),即 kxy2k0.连结 AQ,则 AQMN .MN2 ,AQ 1,19 20 19则由 AQ 1,得 k .直线方程为 3x4y60.|k 2|k2 1 34综上,直线 l 的方程为 x2 或 3x4y60.圆有关的最值问题与圆有关的
9、最值问题,往往是已知圆的方程 f(x,y)0,求 ,yxyx,x 2y 2 等量的最值或范围解决的方法是:设 (x,y)是圆上任意一点,分别把给定的式子 ,y x,x 2y 2 赋予一定的几何意义,这样就把有关最值问题yx转化成点、直线与圆的位置关系问题,再根据圆的几何性质确定最值已知实数 x,y 满足关系式: x2y 26x4 y120,点 P(x,y),A(1,0) ,B(1,0) (1)求 的最大值和最小值;yx(2)求 xy 的最大值和最小值;(3)求 PA2PB 2 的最大值和最小值【精彩点拨】 (1)转化为过圆上的点(x ,y)和原点(0,0)的直线的斜率问题(2) 令 m xy,
10、转化为直线与圆相切的问题(3)令 PA2PB 2m 2,化简后转化为两圆相切问题【规范解答】 根据题意,设圆 C:(x3) 2( y 2)21,圆心 C(3,2)(1)设 k,则当直线 ykx 与圆 C 相切时, 取得最值此时yx yx1,k ,|3k 2|1 k2 3 34 的最大值为 ,最小值为 .yx 3 34 3 34(2)设 xym,则当直线 yxm 与圆 C 相切时, xy 取得最值此时 1,m1 ,|3 2 m|2 2xy 的最大值为 1 ,最小值为 1 .2 2(3)设 PA2PB 2m 2,则有 x2y 2 ,m 22.m2 22当圆 x2y 2 与圆 C 相切时,PA 2P
11、B 2 取得最值,此时 1m2 22 m2 22,解得 m2304 .13 13PA 2PB 2 的最大值为 304 ,最小值为 304 .13 13再练一题3如果实数 x,y 满足方程 (x3) 2(y3) 26,求:(1) 的最大值与最小值;yx(2)xy 的最大值与最小值【解】 (1)设方程 (x3) 2(y3) 26 所表示的圆 C 上的任意一点 P(x,y).的几何意义就是直线 OP 的斜率,设 k,则直线 OP 的方程为 ykx.yx yx由图(1)可知,当直线 OP 与圆相切时,斜率取最值因为点 C 到直线 ykx 的距离 d ,所以当 ,即 k32|3k 3|k2 1 |3k
12、3|k2 1 6时,直线 OP 与圆相切2所以 的最大值与最小值分别是 32 与 32 .yx 2 2(1) (2)(2)设 xyb,则 yxb,由图知,当直线与圆 C 相切时,截距 b 取最值而圆心 C 到直线 yxb 的距离为 d .|6 b|2因为当 ,即 b 62 时,直线 yx b 与圆 C 相切,所以|6 b|2 6 3xy 的最大值与最小值分别为 62 与 62 .3 3待定系数法的应用待定系数法,就是所研究的式子(方程)的结构是确定的,但它的系数(部分或全部) 是待定的,然后根据题目所给条件来确定这些系数的方法本章中求直线和圆的方程常用待定系数法,采用待定系数法求圆的方程的一般
13、步骤为:选择圆的方程的某一形式;由题意得 a,b,r(或 D,E,F)的方程( 组);解出 a,b,r(或 D,E,F);代入所设方程求直线方程时一般有以下几类:知过定点,设点斜式(注意斜率不存在的情况);知斜率,设斜截式;与截距有关设截距式;知与已知直线平行或垂直,设一般式(或斜截式、点斜式)如图 23,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线l:y2x4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上(1)若圆心 C 也在直线 y x1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程;(2)若圆 C 上存在点 M,使 MA2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围图 23【精彩点拨】
14、(1)求出圆心 C,设出直线的方程,利用圆心到直线的距离等于半径,结合待定系数法求解(2)设出圆的方程,化简条件 MA2MO ,将问题转化为两圆相交问题【规范解答】 (1)由题设,圆心 C 是直线 y2x 4 和 yx1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线的斜率必存在设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为ykx3,由题意,得 1,解得 k0 或 ,|3k 1|k2 1 34故所求切线方程为 y3 或 3x4y120.(2)因为圆心在直线 y2x4 上,所以圆 C 的方程为(x a) 2 y2(a2) 21.设点 M(x,y),因为 MA2MO,所以 2 ,化简得 x2y 22y 30,即
15、 x2(y1)x2 y 32 x2 y224,所以点 M 在以 D(0,1)为圆心,2 为半径的圆上由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|21|CD21,即 1 3,a2 2a 32化简得Error!由 5a212a80,得 aR;由 5a212a0,得 0a .125所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 .0,125再练一题4在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 ,在 y2轴上截得线段长为 2 .3(1)求圆心 P 的轨迹方程;(2)若 P 点到直线 yx 的距离为 ,求圆 P 的方程. 22【导学号:41292127】
16、【解】 (1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r.由题设得 y2 2r 2,x 2 3r 2.从而 y22x 23.故 P 点的轨迹方程为 y2x 21.(2)设 P(x0,y 0),由已知得 .|x0 y0|2 22又 P 在曲线 y2x 21 上,从而得Error!由Error!得Error!此时,圆 P 的半径 r .3由Error!得Error!此时,圆 P 的半径 r .3故圆 P 的方程为 x2(y1) 23 或 x2(y 1) 23.1圆 x2y 22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1,则a_.【解析】 将圆的方程化为标准方程,根据点到直线距离公式求解圆 x2y 22x8y130 的标准方程为(x1) 2(y4) 24,由圆心到直线 axy10 的距离为 1 可知 1,解得 a .|a 4 1|a2 12 43【答案】 432已知直线 l 过圆 x2( y3) 24 的圆心,且与直线 xy 10 垂直,则l 的方程是_【解析】 圆 x2(y 3) 24 的圆心为点(0,3),又因为直线 l 与直线xy10 垂直,所以直线 l 的斜率 k1.由点斜式得直线 l:y3x 0,化简得 xy30. 【答案】 x y 30