1、1第篇 高考专题讲练 思想篇角度一 函数与方程思想函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题 .如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题,都可利用函数思想,转化为函数问题 .方程思想是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题 .如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中基本量等问题 .示例 解法关键2018全国卷 设 a=log0.20.3,b=log20.3,则( )A.a+b0,b0,函数 f(x)=若关于 x 的方程 f(x)=axx2+2ax+a,x 0,-x2+2ax
2、-2a,x0.恰有 2 个互异的实数解,则 a 的取值范围是 .根据 x 的范围分段处理方程 f(x)=ax,得到含 a 的关于 x 的方程,通过研究方程得出 a 的取值范围,答案:(4,8)2016全国卷 函数 f(x)=cos2x+6cos -x 的 2最大值为 ( )A.4 B.5C.6 D.7先将函数 f(x)化为关于 sinx 的二次函数,再用二次函数的性质去解,答案选 B2016全国卷 已知 a= ,b= ,c=2 ,则 ( 243 425 513)A.b0)的焦点为 F,过点 F 且倾斜角为 的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,若 4以线段 AB 为直径的圆过点 - ,2
3、,则该抛物线的方程为 . p23角度二 数形结合思想数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法 .数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面 .数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,即将代数问题几何化、几何问题代数化 .数形结合思想常用来解决函数零点、方程根与不等式问题,参数范围问题,立体几何模型研究代数问题,解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题 .示例 解法关键2018全国卷 已知双曲线 C: -y2=1,O 为坐标x23原点, F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条渐
4、近线的交点分别为 M,N.若 OMN 为直角三角形,则 |MN|=( )A. B.3 32C.2 D.43不妨设 OMF=90,由渐近线方程及作图可知,|OM|=|OF|cos30,|MN|=|OM|tan60,答案选 B2018全国卷 已知函数 f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若 g(x)存在 2 个零点,ex,x 0,lnx,x0,则 a 的取值范围是 ( )A.-1,0) B.0,+ )C.-1,+ ) D.1,+ )g(x)有两个零点等价于 y=f(x)的图像与直线 y=-x-a 有两个交点,作图可得,答案选 C2017全国卷 设 x,y 满足约束条件则 z=2x+y 的最小值
5、是 ( )2x+3y-3 0,2x-3y+3 0,y+3 0, A.-15 B.-9 C.1 D.9画出约束条件表示的可行域,结合图形求直线 y=-2x+z 在 y 轴上截距的最小值,答案选 A2017全国卷 设函数 f(x)= 则x+1,x 0,2x,x0, 满足 f(x)+f 1 的 x 的取值范围是 . (x-12)先写出函数 y=f x-12的表达式,原不等式可化为 f x- 1-f(x),12画出 y=f x- 与 y=1-12f(x)的图像,从图像得4解集,答案: - ,+14测题1.设实数 x,y 满足不等式组 则 z=x+y 取得最小值时的最优解的个数是 ( ) x2+y2 1
6、,0 x 1,0 y 1,A.1 B.2C.3 D.无数个2.当 x 0, 时, x-logax0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 M,N 两点,若 MFN=120,y24x29则 a= ( )A. B.21313 31313C. D.22613 326134.已知函数 f(x)= 如果函数 f(x)恰有两个零点,那么实数 m 的取值范围-x2-2x,x m,x-4,xm, 为 . 5.已知集合 A=x|-1 x2, xZ,集合 B=y|-2 y2,集合 C=(x,y)|x A,y B,从集合 C 中任取一点 P(x0,y0),则 + 1 的概率为 . x20y205角度三 分
7、类讨论思想分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题,通过对基础问题的解答,解决原问题的思维策略 .实质上就是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略,利用分类讨论思想解题应明白这样几点:一是引起分类讨论的原因;二是分类讨论的原则,不重不漏,分类标准统一;三是分类讨论的步骤 .常见的分类讨论问题有以下几种:1 .由概念引起的分类讨论;2 .由性质、定理、公式的限制条件引起的分类讨论;3 .由数学运算引起的分类讨论;4 .由图形的不确定性引起的分类讨论;5.由参数的变化引起的分类讨论 .示例 解法关键2017全国卷 设 A,B 是椭圆 C: + =1 长轴的两个x23y2m端
8、点 .若 C 上存在点 M 满足 AMB=120,则 m 的取值范围是( )A.(0,19, + )B.(0, 9, + )3C.(0,14, + )D.(0, 4, + )3分焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况讨论求解,答案选 A2017天津卷 已知函数 f(x)= x2-x+3,x 1,x+2x,x1. 设 aR,若关于 x 的不等式 f(x) +a 在 R 上恒成立,则x2a 的取值范围是 ( )A. B.-4716,2 -4716,3916C.-2 ,2 D.3 -2 3,3916分 x1, x1 两种情况分别求参数 a,答案选 A2016全国卷 在封闭的直三棱柱 ABC-A1
9、B1C1内有一个体积为 V 的球 .若 AB BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是 ( )A.4 B.92C.6 D.323分球与三棱柱的三个侧面相切和球与三棱柱的上、下两个底面相切两种情况进行求解,答案选 B2014全国卷 设 x,y 满足约束条件 分 a0 和 a06且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a= ( )x+y a,x-y -1,A.-5 B.3C.-5 或 3 D.5 或 -3两种情况讨论求解,答案选 B测题1.若函数 f(x)= 则 f(x)+f(2-x)= ( ) 2x-1+1,x1,1-(12)x-1,x0 的解集是 ( )A.(- ,-1)(1,
10、+ )B.(-3,1)(3, + )C.(- ,-3)(3, + )D.(-3,1(3, + )3.已知 Sn为数列 an的前 n 项和, a1=0,若 an+1=1+(-1)nan+(-2)n,则 S100= . 4.能够说明“( m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示的曲线不是双曲线”的一个 m 的值是 .7角度四 转化与化归思想转化与化归思想是指在研究解决数学问题时,采用某种手段将问题通过转化,使问题得以解决的一种思维策略,其核心是把复杂的问题化归为简单的问题,将较难的问题化归为较容易求解的问题,将未能解决的问题化归为已经解决的问题 .常见的转化与化归思想应用具体表现在:
11、将抽象函数问题转化为具体函数问题,立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形,“至少”或“是否存在”等正向思维转化为逆向思维,空间与平面的转化,相等问题与不等问题的转化等 .示例 解法关键2018北京卷 在平面直角坐标系中,记 d 为点P(cos ,sin )到直线 x-my-2=0 的距离 .当 ,m 变化时, d 的最大值为 ( )A.1 B.2C.3 D.4P 为单位圆上一点,原问题转化为圆心(定点)到直线的距离,而直线过定点,这样进一步转化为圆心与直线所过定点的距离问题,答案选 C2018全国卷 已知函数 f(x)=2sinx+sin2x,则 f(x)的最小值是 .
12、利用导数的符号与导数为 0 着手进行求解,答案: -3322017全国卷 设 A,B 是椭圆 C: + =1 长轴的x23y2m两个端点 .若 C 上存在点 M 满足 AMB=120,则 m 的取值范围是 ( )A.(0,19, + )B.(0, 9, + )3C.(0,14, + )D.(0, 4, + )3将椭圆上的点 M 转化为短轴的一个端点去处理,答案选 A2017全国卷 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x( - ,0)时, f(x)=2x3+x2,则 f(2)= . 根据函数的性质,把f(2)中的自变量转化为小于零时去解,答案:12测题1.已知 P 为抛物线 C:y2
13、=8x 上一点,直线 l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则 P 到这两条直线的距离之和的最小值为 ( ) A.2 B.2 348C. D.161534 1817342.若关于 x 的不等式 2x+1-2-x-a0 的解集包含区间(0,1),则 a 的取值范围为 ( )A. B.(- ,1)(-,72C. D.(- ,1(-,72)3.函数 f(x)=(log2x)2-x 的零点个数为 ( )A.1 B.2C.3 D.44.已知平面向量 , , 满足| |=| |=| |=1, = .若 =x +y (x,yR),则 x+yOAOBOC OA OB OC OAOB12 OCOAOB的最
14、大值是 ( )A.1 B.33C.2 D.2339角度一1.A 解析 由已知得 x,y,z 为正实数,设 k=log2x=log3y=log5z0,可得 =21-k1, =31-k1, =51-k1, 函数 f(x)=x1-k 在(0, + )上单调递增, 1 时,2 -x3 时, f(x)0;当 -33 时,若( x-1)f(x)0,则 x-10,解得 x3;当 -30,则 x-10 的解集是( -3,1)(3, + ).故选 B.113. 解析 由 an+1=1+(-1)nan+(-2)n(nN *)得,当 n 为奇数时,有 an+1=(-2)n,当 n 为2-21013偶数时,有 an+
15、1=2an+2n,所以数列 an的所有偶数项构成以 -2 为首项,以 4 为公比的等比数列,所以 S100=(a1+a3+a5+a99)+(a2+a4+a6+a100)=2(a2+a4+a6+a98)+(22+24+26+298)+(a2+a4+a6+a100)=3(a2+a4+a6+a100)-2a100+(22+24+26+298)=3 -2(-2)99+-2(1-450)1-4= .4(1-449)1-4 2-210134.2(1 m3 即可) 解析( m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)中,当 m=1 或 3 时,表示的曲线不是双曲线;当 m1 且 m3 时,原式可化为
16、+ =1,若表示的曲线为双曲线,则(3 -m)(m-1)3.综上可知,当 m3 时,曲线是双曲线,当 1 m3 时,曲线不是双曲线 .角度四1.D 解析 由题意得,抛物线 C:y2=8x 的准线为 l1:x=-2,焦点为 F(2,0).过点 P 作 PM l1于 M,由抛物线的定义可得 |PM|=|PF|.设点 P 到直线 l2的距离为 d,则 d+|PM|=d+|PF|.结合图形可得,点 P 到直线 l1,l2的距离之和的最小值即为抛物线的焦点到 l2的距离,即为= .故选 D.|32+30|32+52 1834172.D 解析 原不等式等价于 a ,x(0,1),易知函数 y=2x+1-
17、在区间(0,1)(2x+1-12x)min 12x上为增函数,当 x=0 时, y=1,故 a1 .故选 D.3.C 解析 函数 f(x)零点的个数即为方程(log 2x)2-x=0,即(log 2x)2=x 的解的个数,从而可以转化为函数 y=(log2x)2的图像与直线 y=x 的交点的个数 .在同一个坐标系中画出函数y=(log2x)2的图像以及直线 y=x,可以发现两条曲线有 3 个交点,从而可知函数 f(x)的零点有3 个,故选 C.124.D 解析 由 | |=1 可设 C(cos ,sin ),O(0,0).又由 = ,| |=| |=1,可设OC OAOB12 OA OBA(1,0),B , .由已知可得 cos =x+ ,sin = y,即得 y= ,x=cos - ,则 x+y=cos 12 32 y2 32 2sin3 sin3+ = sin + ,所以 x+y 的最大值是 ,故选 D.sin3 23 3 233
